Hilfsmittelfreier Teil

1.1 Analysis

Der abgebildete Graph $G_f$ stellt eine Funktion $f$ dar.

Abb. 1

Einer der folgenden Graphen $\text{I},$ $\text{II}$ oder $\text{III}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$ Gib diesen Graphen an. Begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

Abb. 2: Graph $\text{I}$

Abb. 3: Graph $\text{II}$

Abb. 4: Graph $\text{III}$

(3 BE)

Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f.$ Gib das Monotonieverhalten von $F$ im Intervall $[1;3]$ an. Begründe deine Angabe.

(2 BE)

1.2 Analysis

Gegeben ist die Funktion $\(f$ mit $\(f$ .

Der Punkt $P(-1\mid 10)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $f$ .
Bestimme eine Gleichung von $f$ .

(3 BE)

Für die Funktion $f$ gilt: $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx=0$ mit $a,b\in\mathbb{R}$ ; $a\neq b$ und $f(a)=f(b)=0$ . Gib die Anzahl und Lage der Nullstellen der Funktion $f$ an.
Begründe deine Entscheidung.

(2 BE)

1.3 Analytische Geometrie

Gegeben sind die Ebene $E:4x-y+2z=9$ und die Ebene $H:x-2y+z=1$ .

Begründe, dass die Ebenen $E$ und $H$ nicht parallel zueinander sind.

(2 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ursprungsgeraden, die sowohl zur Ebene $E$ als auch zur Ebene $H$ parallel ist.

(3 BE)

1.4 Analytische Geometrie

Die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\2\\0}+r\cdot\pmatrix{2\\4\\1}$ mit $r\in\mathbb{R}$ und die Ebene $E:x+2y-2z=2$ schneiden sich im Punkt S.

Berechne die Koordinaten von $S$ .

(3 BE)

Der Punkt $P_1$ liegt auf $g$ , aber nicht in $E$ . Die Abbildung zeigt die Ebene $E$ , die Gerade $g$ sowie einen Repräsentanten des Vektors $\overline{SP_1}$ .
Für den Punkt $P_2$ gilt: $\overline{OP_2}=\overline{OP_1}-4\cdot\overline{SP_1}$ wobei $O$ den Koordinatenursprung bezeichnet.
Zeichne die Punkte $S$ , $P_1$ und $P_2$ in die Abbildung ein.

Abb. 5

(3 BE)

1.5 Stochastik

Erscheinen beim Wurf von fünf Würfeln fünf gleiche Zahlen, so spricht man von einem Kniffel.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit fünf idealen Würfeln einen Kniffel zu erhalten.

(2 BE)

Erhält man ein Paar gleicher Zahlen und eine andere Zahl auf allen restlichen drei Würfeln, so spricht man vom Full House.
Hat man beim ersten Wurf sein Ziel noch nicht erreicht, darf man einen zweiten Wurf wagen.

Jasmin hat vier gleiche Zahlen gewürfelt, sie benötigt jedoch ein Full House. Nun will sie nur mit einem der vier Würfel mit gleicher Zahl weiterwürfeln. Paul schlägt vor, zusätzlich den Würfel mit der einzelnen Zahl zum Würfeln aufzunehmen.
Untersuche, wer die bessere Gewinnstrategie hat.

(3 BE)

1.6 Stochastik

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit "0" beschriftet, einer mit "1" und einer mit "2", die beiden anderen Sektoren sind mit "9" beschriftet.

Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen 2, 0, 1 und 9 in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden.

Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens 11 beträgt.

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1.1 Analysis

$\blacktriangleright$ Graphen zuordnen

Die erste Ableitungsfunktion beschreibt die Steigung des Graphen der Ausgangsfunktion $f.$
Gehe also nacheinander die Graphen $\text{I}$ bis $\text{III}$ durch und überprüfe, ob markante Funktionswerte zu der Steigung des Graphen von $f$ passen.

Graph $\text{I}$ schneidet die $x$ -Achse an den Stellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2.$ Der Graph von $f$ muss an diesen Stellen also die Steigung $0$ haben. Dies trifft zu, da der Graph von $f$ an diesen Stellen offensichtlich Extrempunkte besitzt.
Weiterhin kannst du ablesen, dass Graph $\text{I}$ die $y$ -Achse ca. im Punkt $(0\mid -0,8)$ schneidet. An der Stelle $x=0$ muss der Graph von $f$ also die Steigung $-0,8$ besitzen. Zeichnest du eine Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ in Abbildung 2 ein, so kannst du abschätzen, dass diese in etwa die Steigung $-0,8$ besitzt.
Du kannst also davon ausgehen, dass diese beiden Bedingungen dafür sprechen, dass Graph $\text{I}$ zur Ableitungsfunktion von $f$ gehört.
Graph $\text{II}$ schneidet die $x$ -Achse an den Stellen $x_1 \approx -3,5$ und $x_2\approx 3,5.$ An diesen Stellen müsste der Graph von $f$ also die Steigung $0$ haben. Dies ist aber nicht der Fall. Graph $\text{II}$ kann also nicht zur Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ gehören.
Graph $\text{III}$ besitzt zwar die gleichen Schnittpunkte mit der $x$ -Achse wie Graph $\text{I}$ und passt in diesem Kriterium daher zur gesuchten Ableitungsfunktion, schneidet die $y$ -Achse aber im Punkt $(0\mid -2).$ Der Graph von $f$ müsste daher an der Stelle $x=0$ die Steigung $-2$ besitzen. Oben haben wir aber bereits abgelesen, dass die Steigung an dieser Stelle ca. $-0,8$ beträgt. Graph $\text{III}$ kann daher nicht zur gesuchten Ableitungsfunktion von $f$ gehören.

Graph $\text{I}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$

$\blacktriangleright$ Monotonieverhalten angeben

Im Intervall $[1;3]$ liegt der Graph von $f$ unterhalb der $x$ -Achse. $f$ besitzt daher negative Funktionswerte auf dem gesamten Intervall. Da $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, ist $f$ die erste Ableitungsfunktion von $F$ und beschreibt demnach die Steigung des Graphen von $F.$
Da die Funktionswerte von $f$ auf dem Intervall $[1;3]$ negativ sind, ist die Steigung des Graphen von $F$ auf diesem Intervlal negativ. Die Funktion $F$ fällt also streng monoton auf dem Intervall $[1;3].$

1.2 Analysis

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen

Gesucht ist eine Stammfunktion von $\(f$ deren Graph durch den Punkt $P$ verläuft. Mithilfe der Integrationsregeln erhältst du zunächst eine Gleichung für die Stammfunktionen von $\(f$

$f_c(x)=...$

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Bestimme nun $c$ so, dass $f_c(-1) = 10$ ist, damit $P(-1\mid 10)$ auf dem Graphen von $f$ liegt:

$c=8$

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Eine Gleichung von $f$ lautet $f(x)= x^3 -3x^2 -6x + 8.$

$\blacktriangleright$ Anzahl der Nullstellen angeben

Da $\(f$ eine ganzrationale Funktion zweiten Grades ist, handelt es sich bei $f$ um eine ganzrationale Funktion dritten Grades. $f$ kann also maximal drei Nullstellen besitzen.
Angegeben ist, dass $a$ und $b$ zwei unterschiedliche Nullstellen von $f$ sind. $f$ besitzt also mindestens zwei Nullstellen.
In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx =0$ ist. Das Integral $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx$ gibt die Flächenbilanz der Flächen zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse an. Die Flächeninhalte der Flächen, die oberhalb der $x$ -Achse liegen, zählen positiv in diese Bilanz, die Flächeninhalt der Flächen, die unterhalb der $x$ -Achse liegen, zählen negativ hinein.

Damit die Flächenbilanz Null ist, muss gleich viel der Fläche unterhalb und oberhalb der $x$ -Achse liegen.
Der Graph von $f$ muss zwischen den beiden Nullstellen $a$ und $b$ also sowohl teilweise oberhalb der $x$ -Achse als auch unterhalb der $x$ -Achse verlaufen. Er muss an mindestens einer Stelle also die $x$ -Achse schneiden.
Daher hat $f$ also mindestens drei Nullstellen. Da sie gleichzeitig höchstens drei Nullstellen besitzen kann, hat $f$ genau drei Nullstellen.

$\blacktriangleright$ Lage der Nullstellen angeben

Wegen der Eigenschaft $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx =0$ liegt die dritte Nullstelle $c$ genau mittig zwischen $a$ und $b,$ da der Graph von $f$ punktsymmetrisch zum Punkt $(c\mid 0)$ ist.

1.3 Analytische Geometrie

$\blacktriangleright$ Begründen, dass die Ebenen nicht parallel sind

Damit die Ebenen $E$ und $H$ parallel sind, müssten ihre Normalenvektoren parallel zueinander sein. Ein Normalenvektor von $E$ ist laut Ebenengleichung $\overrightarrow{n}_E = \pmatrix{4\\-1\\2},$ einer von $H$ ist $\overrightarrow{n}_H=\pmatrix{1\\-2\\1}.$ Damit die beiden Vektoren parallel sind, müssten sie linear abhängig sein, dazu müsste es eine Zahl $a\in \mathbb{R}$ geben mit:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_E &=& a\cdot \overrightarrow{n}_H \\[5pt] \pmatrix{4\\-1\\ 2 } &=& a\cdot \pmatrix{1\\-2\\1} \end{array}$

Damit die erste Zeile erfüllt ist, müsste $a = 4$ sein. Damit wären aber die anderen beiden Zeilen nicht erfüllt. Es gibt also kein $a,$ sodass die Gleichung erfüllt ist. Die beiden Normalenvektoren sind also nicht linear abhängig und die Ebenen daher nicht parallel.

$\blacktriangleright$ Geradengleichung bestimmen

Damit eine Gerade parallel zu einer Ebene verläuft, muss ihr Richtungsvektor orthogonal zum Normalenvektor der Ebene verlaufen. Bestimme also einen Richtungsvektor $\overrightarrow{r}= \pmatrix{a\\b\\c}$ , der sowohl zu $\overrightarrow{n}_E = \pmatrix{4\\-1\\2}$ als auch zu $\overrightarrow{n}_H=\pmatrix{1\\-2\\1}$ orthogonal ist. Dies ist der Fall, wenn jeweils das Skalarprodukt der beiden Vektoren Null ist. Es ergibt sich also folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& ...= 0 \\[10pt] \text{II}\quad& ... = 0 \\[5pt] \end{array}$

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Es handelt sich nun um ein lineares Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit drei Variablen. Du kannst also eine der drei Variablen beliebig setzen. Setze beispielsweise $c =1.$ Dann erhältst du:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& ... = 0 \\[10pt] \text{II}\quad&... = 0 \\[5pt] \end{array}$

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Du kannst nun beispielsweise die erste Gleichung nach $b$ umformen:

$b= 4a +2$

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Dies kannst du nun in die zweite Gleichung einsetzen:

$a = -\frac{3}{7}$

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Damit kannst du nun wiederum $b$ berechnen:

$b= \frac{2}{7}$

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Ein möglicher Richtungsvektor der Geraden ist also $\pmatrix{-\frac{3}{7} \\ \frac{2}{7} \\ 1}.$ Da die Gerade durch den Ursprung verlaufen soll, kannst du diesen als Stützpunkt verwenden und erhältst:

$g: \, \overrightarrow{x} = s\cdot \pmatrix{-\frac{3}{7} \\ \frac{2}{7} \\ 1},\,$ $s\in \mathbb{R}$

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Die Ursprungsgerade $g$ mit

$s\cdot \pmatrix{-\frac{3}{7} \\ \frac{2}{7} \\ 1},$ $s\in \mathbb{R}$

ist parallel zu beiden Ebenen $E$ und $H.$

1.4 Analytische Geometrie

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunkts berechnen

Für die Punkte auf der Geraden $g$ gilt:

$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{2r \\ 2+4r \\ r}$

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Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein:

$r=-\frac{1}{4}$

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Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{-\frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{4}}$

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Die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $E$ lauten also $S\left( -\frac{1}{2} \mid 1 \mid -\frac{1}{4}\right).$

$\blacktriangleright$ Punkte einzeichnen

$S$ ist der Schnittpunkt der Gerade und der Ebene. Zeichne diesen zuerst ein. $P_1$ erhältst du dann, indem du den eingezeichneten Vektor $\overrightarrow{SP_1}$ an $S$ anlegst. Anschließend erhältst du $P_2,$ indem du ausgehend von $P_1$ viermal den entgegengesetzten Vektor $\overrightarrow{SP_1}$ anlegst.

Abb. 2: Einzeichnen der Punkte

1.5 Stochastik

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für einen Kniffel berechnen

Die Wahrscheinlichkeit für einen Kniffel mit der Zahl $1$ erhältst du über die Pfadmultiplikationsregel:

$P(1)= \frac{1}{6^5}$

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Kniffel mit einer anderen Zahl ist genauso groß. Es gibt also $6$ verschiedene Pfade, die zu einem Kniffel führen und diese haben jeweils die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6^5}.$
Mit der Pfadadditionsregel folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Kniffel})&=& 6\cdot \frac{1}{6^5} \\[5pt] &=& \frac{1}{6^4} \end{array}$

Bei fünf idealen Würfeln beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Knifffel $\frac{1}{6^4}.$

$\blacktriangleright$ Gewinnstrategien untersuchen

Berechne die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Jasmin:
Jasmin wählt nur einen Würfel und würfelt mit diesem neu. Damit sie ein Full House schafft, muss sie mit diesem einen Würfel genau die Zahl werfen, die einzeln vorkam. Sie hat also die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ genau die gesuchte Zahl zu werfen.

Paul
Paul schlägt vor, mit zwei Würfeln zu würfeln. Er wählt einen der Würfel mit der mehrfachen Zahl und den Würfel mit der einzelnen Zahl. Um ein Full House zu bekommen, muss er mit beiden Würfeln die gleiche Zahl würfeln. Welche Zahl das ist, ist egal. Die einzige Bedingung ist, dass es nicht die gleiche Zahl ist, die zuvor schon mehrfach geworfen wurde.
Es gibt also fünf mögliche Pfade, die zum gewünschten Ergebnis führen, die jeweils die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}$ haben. Es folgt also:

$5\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$

Es ist $\frac{1}{6} = \frac{6}{36}$ und $\frac{5}{36} \lt \frac{6}{36}.$ Jasmin hat also die bessere Gewinnstrategie.

1.6 Stochastik

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:

$p=\frac{2}{625}$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{625}$ werden die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ genau in der angegebenen Reihenfolge erzielt.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Die Summe der beiden erzielten Zahlen kann nur dann mindestens $11$ betragen, wenn es sich bei den erzielten Zahlen um eine $9$ und eine $2$ oder um eine $9$ und eine $9$ handelt. Mit den Pfadregeln folgt:

$p=\frac{8}{25}$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{8}{25}$ beträgt die Summe der beiden erzielten Zahlen mindestens $11.$

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