Analytische Geometrie 3 - Körper

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$ mit $A(6\mid3\mid 0),$ $B(0\mid6\mid 0),$ $C(3\mid0\mid 0),$ $D(6\mid3\mid 6),$ $E(0\mid6\mid 6)$ und $F(3\mid0\mid 12).$

Die Punkte $D, E$ und $F$ liegen in der Ebene $L.$ Ermittle eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.
(zur Kontrolle: $2 x_1+4 x_2+3 x_3-42=0$ )

(3 BE)

Bestimme die Größe des Winkels, den $L$ mit der $x_1 x_2$ -Ebene einschließt.

(2 BE)

BW Mathe Abi 2023 Analytische Geometrie Koerper

Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden zwischen der Ebene $L$ und der $x_1 x_2$ -Ebene.

(3 BE)

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ kann mit dem Term $6 \cdot 6$ $-\dfrac{1}{2}$ $\cdot 3$ $\cdot 3-2$ $\cdot \dfrac{1}{2}$ $\cdot 3$ $\cdot 6$ berechnet werden.
Veranschauliche diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.

(3 BE)

Berechne das Volumen des Körpers $ABCDEF.$

(3 BE)

Die Gerade $g$ geht durch die Punkte $P_1(1\mid0\mid 0)$ und $P_2(0\mid1\mid 0).$ Die Ebene $N$ enthält die $x_3$ -Achse und einen Punkt $P,$ der auf der Geraden $g$ liegt. Der Punkt $P$ soll so gewählt werden, dass die Ebene $N$ mit allen vier Kanten $\overline{BC}, \overline{EF}, \overline{AB}, \overline{DE}$ des Körpers $ABCDEF$ jeweils einen gemeinsamen Punkt hat.
Ermittle alle Punkte auf der Geraden $g,$ für die diese Bedingung erfüllt ist.

(4 BE)

Auf der Kante $\overline{AD}$ liegt der Punkt $Q,$ auf der Kante $\overline{BE}$ der Punkt $R(0\mid6\mid 2).$
Das Dreieck $FQR$ hat in $Q$ einen rechten Winkel. Bestimme die $x_3$ -Koordinate von $Q.$

(4 BE)

Der Körper wird so um die Strecke $\overline{AB}$ gedreht, dass die Punkte $E$ und $D$ nach der Drehung in der $x_1x_2$ -Ebene liegen und dabei eine positive $x_2$ -Koordinate haben.
Durch die Drehung wird der Punkt $C$ auf den Punkt $C^*$ abgebildet. Die Koordinaten des Punktes $C^*$ sollen bestimmt werden.
Beschreibe einen Lösungsweg zur Bestimmung der Koordinaten von $C^*.$

(5 BE)

Betrachtet werden nun die Ebenenschar $H_{d}: 2 x_1+x_2+2 x_3$ $=d$ und der Körper $ABCDEF$ in seiner ursprünglichen Lage.

Weise nach, dass gilt:
Für einen Wert von $d$ liegt die Strecke $\overline{BC}$ in der Ebene $H_d.$

(2 BE)

Der Punkt $A$ liegt in der Ebene $H_{15}.$ Die Schnittpunkte der Ebene $H_{15}$ mit dem Körper $ABCDEF$ sind Eckpunkte eines Dreiecks.
Ermittle die Koordinaten eines weiteren Eckpunktes dieses Dreiecks.

(2 BE)

Zu eine Aufgabenstellung im Zusammenhang mit dem Körper $ABCDEF$ und der Ebenenschar $H_d$ wird folgende Rechnung durchgeführt:

Rechnung anzeigen

Erläutere die einzelnen Rechenschritte und formuliere eine Aufgabenstellung.

(5 BE)

Es gibt Werte $d_0 \in \mathbb{R},$ so dass folgende Aussage wahr ist:

Für alle $d\gt d_0$ gilt, dass die Ebene $H_d$ und der Körper $ABCDEF$ keine gemeinsamen Punkte haben.

Gib den kleinstmöglichen Wert von $d_0$ an. Begründe deine Angabe.

(4 BE)

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Ein Normalenvektor von $L$ folgt mit Hilfe des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{DF} & \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\3\\0}\times \pmatrix{-3\\-3\\6}& \\[5pt] &=& \pmatrix{18\\36\\27}& \\[5pt] &=& 9\cdot \pmatrix{2\\4\\3} \end{array}$

Einsetzen in die allgemeine Koordinatengleichung:

$L: 2\cdot x_1+4\cdot x_2+3\cdot x_3= d$

Durch Punktprobe mit $D$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot 6+4\cdot 3+3\cdot 6&=& d& \\[5pt] 42 &=& d \end{array}$

Eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform ist somit gegeben durch:

$L: 2x_1+4x_2+3x_3=42$

Als Normalenvektor der $x_1x_2$ -Ebene kann $\pmatrix{0 \\0\\1}$ gewählt und somit der Winkel berechnet werden.

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\pmatrix{2\\4\\3}\circ \pmatrix{0\\0\\1}}{\sqrt{2^2+4^2+3^2}} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{\sqrt{29}} \end{array}$

Daraus folgt: $\alpha \approx 56^{\circ}$

Für die Koordinaten der Spurpunkte ergibt sich:

$S_{x_1}(21\mid 0\mid 0)$

$S_{x_2}(0\mid 10,5\mid 0)$

Mit $S_{x_1}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{S_{x_1}S_{x_2}}$ als Richtungsvektor folgt eine Gleichung der Schnittgeraden:

$s:\overrightarrow{x}$ $=\pmatrix{21\\0\\0}$ $+r\cdot\pmatrix{-21\\10,5\\0},\;r\in\mathbb{R}$

Flächeninhalt der Grundfläche:

Rechenweg anzeigen

$A_{ABC} = \dfrac{27}{2}$

Der Körper kann unterteilt werden in ein dreiseitiges Prisma, dessen Grundfläche das Dreieck $ABC$ bildet, und eine dreiseitige Pyramide mit der Spitze $F$ , welche sich oberhalb des Prismas befindet.

Das Volumen des dreiseitigen Prismas ergibt sich mit:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Prisma}}&=& A_{ABC}\cdot h& \\[5pt] &=& \dfrac{27}{2} \cdot 6& \\[5pt] &=& 81 \;[\text{VE}] \end{array}$

Das Volumen der dreiseitigen Pyramide folgt durch:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Pyramide}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot A_{ABC} \cdot h &\\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{27}{2} \cdot 6 &\\[5pt] &=& 27 \;[\text{VE}] \end{array}$

Das Gesamtvolumen des Körpers ist also gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& A_{\text{Prisma}}+A_{\text{Pyramide}}& \\[5pt] &=& 81+27& \\[5pt] &=& 108 \;[\text{VE}] \end{array}$

Für die Geradengleichung von $g$ folgt:

$g:\overrightarrow{x}$ $=\pmatrix{1\\0\\0}$ $+r\cdot\pmatrix{-1\\1\\0},\;r\in\mathbb{R}$

Wenn die Gerade, die durch den Ursprung und $P$ verläuft, einen Schnittpunkt mit der Strecke $\overline{AB}$ hat, werden die vier Kanten $\overline{BC},\overline{EF},\overline{AB}$ und $\overline{DE}$ von der Ebene $N$ geschnitten.

Punkte auf $g$ ermitteln, die die Bedingung erfüllen

Da die $x_1$ - und $x_3$ -Koordinate von $B$ jeweils null sind, schneidet die Gerade $g$ die Gerade durch den Ursprung $O$ und $B$ im Punkt $P_2(0\mid1\mid0)$
Für den Schnittpunkt von $g$ mit der Geraden durch $O$ und $A$ folgt:

$\pmatrix{1\\0\\0}$ $+r\cdot\pmatrix{-1\\1\\0}$ $= s\cdot\pmatrix{6\\3\\0}$

Aus der ersten Zeile folgt $r=-6s+1,$ einsetzen in die zweite Zeile liefert mit dem solve-Befehl des CAS:

$s=\dfrac{1}{9}$

Der Schnittpunkt hat damit die Koordinaten $S(\frac{2}{3}\mid\frac{1}{3}\mid0).$
Alle Punkte der Geraden $g,$ die zwischen $P_2$ und $S$ liegen, erfüllen damit die Bedingung.

Sei $a$ die gesuchte $x_3$ -Koordinate von $Q$ , dann gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{Q R} \circ \overrightarrow{Q F}&=& 0&\\[5pt] \pmatrix{-6\\3\\2-a} \circ \pmatrix{-3\\-3\\12-a}&=& 0 \\[5pt] 9+(2-a) \cdot(12-a) &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} a_1&=&3 \\[5pt] a_2&=&11 \end{array}$

Da $Q$ auf der Kante $\overline{BE}$ liegt, kommt für die $x_3$ -Koordinate nur $a_1=3$ infrage.

Der Punkt $C^*$ liegt senkrecht über einem Punkt $L$ , der auf der Strecke $\overline{A B}$ liegt. Dabei ist $L$ der Lotfußpunkt von $C$ auf die Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ . Zunächst müssen die Koordinaten von $L$ ermittelt werden. Danach wird der Abstand der Punkte $C$ und $L$ berechnet. Die $x_1$ - und $x_2$ -Koordinate des Punktes $C^*$ ergeben sich aus denen von $L$ . Die $x_3$ -Koordinate von $C^*$ hat den Wert des Abstands der Punkte $C$ und $L$ .

Einsetzen der Koordinaten von $B$ und $C$ in die Ebenengleichung der Schar $H_d$ liefert:

$d$ $= 2\cdot0$ $+6$ $+2\cdot0$ $= 6$

$d$ $= 2\cdot 3$ $+ 0$ $+ 2\cdot0$ $= 6$

Somit liegt die Strecke $\overline{BC}$ für $d=6$ in $H_d.$

Einsetzen der Koordinaten eines allgemeinen Punktes von beispielsweise der Strecke $\overline{CF}$ in die Ebenengleichung von $H_{15}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 6+0+2t&=&15 &\quad \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] 2t&=&9 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] t&=&4,5 \end{array}$

Da $t\leq12$ gilt, liegt der Schnittpunkt mit den Koordinaten $S(3\mid0\mid4,5)$ auf der Strecke $\overline{CF}$ und ist damit ein weiterer Eckpunkt des Dreiecks.

Rechenschritte erläutern

Im ersten Schritt wird die Lotgerade von dem Punkt $E$ zur Ebene $H_d$ gebildet.
Danach wird der Wert des Parameters $\lambda$ für den Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene $H_d$ in Abhängigkeit von $d$ berechnet.
Zum Schluss werden dann die Werte von $d$ bestimmt, für die der Abstand zwischen dem Punkt $E$ und der Ebene $H_d$ den Wert $1$ hat.

Aufgabenstellung formulieren

Bestimme die Werte des Parameters $d,$ für die der Abstand des Punktes $E$ zur Ebene $H_d$ genau $1\;\text{LE}$ beträgt.

Je größer $d$ ist, desto „höher“ liegt die Ebene $H_d$ . Da der Punkt $E$ in der Ebene $H_{18}$ liegt, der Punkt $D$ in der Ebene $H_{27}$ und der Punkt $F$ in der Ebene $H_{30},$ folgt $d_0=30.$

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