Aufgabe 2.2

Gib für das Verhalten der Funktionswerte von für und an.
Begründe, dass keine Funktion eine Nullstelle hat und weise nach, dass alle Graphen symmetrisch zur -Achse verlaufen.

Zeige, dass alle Graphen denselben lokalen Extrempunkt besitzen und ermittle dessen Art und Koordinaten.
Untersuche auf mögliche Wendepunkte.

Der Graph wird von den Parallelen zur -Achse mit der Gleichung in den Punkten und geschnitten. und der Punkt bilden ein Dreieck.
Zeichne in das Koordinatensystem eines der möglichen Dreiecke ein.
Begründe ohne Rechnung, dass keines der möglichen Dreiecke einen minimalen Flächeninhalt haben kann, aber ein solchen Dreieck mit maximalem Flächeninhalt existiert.
Ermittle eine Gleichung, mit der man in Abhängigkeit vom -Wert des im Quadranten liegenden Eckpunktes den Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen kann.

Begründe, dass es zu jedem Graphen der Schar einen zweiten Graphen der Schar gibt, der mit identisch ist. Ermittle die reellen Zahlen und für die die Graphen und durch den Punkt verlaufen.

Eine langgezogene Kurve auf einer Landstraße kann im Intervall in sehr guter Näherung durch den Graphen modelliert werden.
Im Punkt mündet sie tangential, d.h. ohne Knick, in eine zunächst geradlinig verlaufende Schnellstraße.
Zeige, dass ein Teil dieser Schnellstraße für näherungsweise durch einen Teil der Geraden mit der Gleichung modelliert werden kann.

Die Schnellstraße verläuft ab dem Punkt aus der Teilaufgabe d) für eine Strecke von bis zum Punkt geradlinig und führt dann knickfrei durch eine scharfe Rechtskurve auf eine Bundesstraße. Ermittle die Koordinaten des Punktes
[Zur Kontrolle: ]
Die Rechtskurve kann durch eine quadratische Parabel beschrieben werden, auf der unter anderem der Punkt liegt.
Stelle ein Gleichungssystem zur Ermittlung der Parabelgleichung auf.

Die Fläche, die von den beiden Koordinatenachsen, der Landstraße, der Schnellstraße und der Geraden eingeschlossen wird, nutzt ein Landwirt zu für den Anbau von Getreide.
Ermittle die Größe der Getreideanbaufläche und gib diese in Hektar an.

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  Verhalten der Funktionswerte angeben Es ist vorgegeben. Daher gilt für : und Insgesamt gilt also für Für gilt: und Insgesamt gilt also für : Für gilt und für gilt ebenfalls   Fehlende Nullstelle begründen Die Funktionsterme von bestehen aus zwei Summanden, die beide Funktionsterme von Exponentialfunktionen mit positivem Vorzeichen sind. Reine Exponentialfunktionen, deren Graphen nicht entlang der -Achse verschoben wurden, besitzen keine Nullstellen und sind für jedes Argument strikt positiv.
Aus diesem Grund sind beide Summanden, unabhängig von immer positiv, wodurch die Summe der beiden nicht null oder negativ werden kann. besitzt also unabhängig von keine Nullstelle.   Achsensymmetrie nachweisen Die Graphen verlaufen achsensymmetrisch zur -Achse, wenn unabhängig von gilt Es gilt für alle Die zugehörigen Graphen sind also achsensymmetrisch zur -Achse.

Für alle mit besitzt den lokalen Tiefpunkt   Graphen auf mögliche Wendepunkte untersuchen Mit dem notwendigen Kriterium für Wendepunkte ergibt sich: Diese Gleichung hat wie in Teilaufgabe a) beschrieben keine Lösung. Die Graphen können also keine Wendepunkte besitzen, da keine Stelle das notwendige Kriterium erfüllt.

  Dreieck einzeichnen   Begründen, dass es kein Dreieck mit minimalem Flächeninhalt gibt Der Wert von ist durch begrenzt. Für gilt für den Flächeninhalt analog gilt auch für für den Flächeninhalt Beides ist an der Skizze zu erkennen. Kleiner als null kann ein Flächeninhalt nicht werden, weshalb der minimale Flächeninhalt für das angenommen werden würde, das am nächsten an oder liegt. Ein solches existiert aber aufgrund der Eigenschaften der reellen Zahlen nicht.
Es gibt also kein Dreieck mit minimalem Flächeninhalt.   Begründen, dass es ein Dreieck mit maximalem Flächeninhalt gibt Der Flächeninhalt des Dreiecks kann in Abhängigkeit von mithilfe einer stetigen Funktion beschrieben werden. Für diese gilt wie oben beschrieben für und für ebenfalls Dazwischen ist sie nicht null und insbesondere nicht konstant. Innerhalb des Intervalls muss der Graph von also einen lokalen Hochpunkt besitzen.
Also gibt es einen maximalen Funktionswert von und damit auch ein Dreieck mit maximalem Flächeninhalt.   Gleichung ermitteln Die Dreiecke sind gleichseitig mit der -Achse als Symmetrieachse. Die Länge der Grundseite ergibt sich daher über die -Koordinate des im ersten Quadranten liegenden Eckpunktes: Die Höhe des Dreiecks ist die Differenz der -Koordinaten von und dem im ersten Quadranten liegenden Eckpunkt, also: Der Flächeninhalt ergibt sich dann in Abhängigkeit von zu:

  Identischen Graphen begründen Für jedes Paar von mit gilt für alle Da gilt für stimmen für diese Wertepaare alle Funktionswerte überein. Die Graphen von und sind also identisch. Dabei existiert für jedes mit ein solches   Parameterwerte berechnen Es muss gelten Mit dem solve-Befehl des CAS folgt: Für und liegt der Punkt auf den Graphen und

  Modellierung zeigen Die Gerade , die das Streckenstück der Schnellstraße modelliert, muss folgende Bedingungen erfüllen:

1. Die Schnellstraße schließt im Punkt an die Landstraße an. muss also ebenfalls durch den Punkt verlaufen:
   
2. Der Anschluss verläuft ohne Knick. muss also eine Tangente an im Punkt sein, also die gleiche Steigung haben wie im Punkt
   

Aus 2. folgt: Für die fehlende Koordinate von gilt: Einsetzen in die Geradengleichung liefert: Der Teil der Schnellstraße kann also für näherungsweise durch die Gerade mit der Gleichung modelliert werden.

  Koordinaten ermitteln Der Punkt muss zwei Bedingungen erfüllen:

1. liegt auf der Schnellstraße, also auf der Geraden mit
2. Der Abstand von zu beträgt Eine Umrechnung des Maßstabs liefert:
   
   Der Abstand von zu muss also betragen.

Mit 2. ergibt sich folgende Gleichung: Die zweite Lösung kommt nicht in Frage, da die Straße von aus geradlinig weiterläuft und nicht abbiegt. Es ist also und Die Koordinaten von lauten   Gleichungssystem aufstellen Die Parabel ist quadratisch und kann daher durch eine Gleichung der Form beschrieben werden. Es müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

1. liegt auf also
2. liegt auf also
3. Der Übergang soll knickfrei sein, also

Es ist: Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

  Größe der Anbaufläche berechnen Die Fläche kann in drei Teilflächen aufgeteilt werden. Die linke grüngefärbte Fläche kann mithilfe eines Integrals über berechnet werden: Die zweite blau eingefärbte Fläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen: und Der Flächeninhalt ergibt sich also zu: Die dritte rot gefärbte Fläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen: und Für den Flächeninhalt folgt: Insgesamt ergibt sich folgender Flächeninhalt: Da der Landwirt aber nur der Fläche bebaut, muss dies noch einbezogen werden: Die Getreideanbaufläche ist ca. groß.

  Verhalten der Funktionswerte angeben Es ist vorgegeben. Daher gilt für : und Insgesamt gilt also für Für gilt: und Insgesamt gilt also für : Für gilt und für gilt ebenfalls   Fehlende Nullstelle begründen Die Funktionsterme von bestehen aus zwei Summanden, die beide Funktionsterme von Exponentialfunktionen mit positivem Vorzeichen sind. Reine Exponentialfunktionen, deren Graphen nicht entlang der -Achse verschoben wurden, besitzen keine Nullstellen und sind für jedes Argument strikt positiv.
Aus diesem Grund sind beide Summanden, unabhängig von immer positiv, wodurch die Summe der beiden nicht null oder negativ werden kann. besitzt also unabhängig von keine Nullstelle.   Achsensymmetrie nachweisen Die Graphen verlaufen achsensymmetrisch zur -Achse, wenn unabhängig von gilt Es gilt für alle Die zugehörigen Graphen sind also achsensymmetrisch zur -Achse.

Für alle mit besitzt den lokalen Tiefpunkt   Graphen auf mögliche Wendepunkte untersuchen Mit dem notwendigen Kriterium für Wendepunkte ergibt sich: Diese Gleichung hat wie in Teilaufgabe a) beschrieben keine Lösung. Die Graphen können also keine Wendepunkte besitzen, da keine Stelle das notwendige Kriterium erfüllt.

  Dreieck einzeichnen   Begründen, dass es kein Dreieck mit minimalem Flächeninhalt gibt Der Wert von ist durch begrenzt. Für gilt für den Flächeninhalt analog gilt auch für für den Flächeninhalt Beides ist an der Skizze zu erkennen. Kleiner als null kann ein Flächeninhalt nicht werden, weshalb der minimale Flächeninhalt für das angenommen werden würde, das am nächsten an oder liegt. Ein solches existiert aber aufgrund der Eigenschaften der reellen Zahlen nicht.
Es gibt also kein Dreieck mit minimalem Flächeninhalt.   Begründen, dass es ein Dreieck mit maximalem Flächeninhalt gibt Der Flächeninhalt des Dreiecks kann in Abhängigkeit von mithilfe einer stetigen Funktion beschrieben werden. Für diese gilt wie oben beschrieben für und für ebenfalls Dazwischen ist sie nicht null und insbesondere nicht konstant. Innerhalb des Intervalls muss der Graph von also einen lokalen Hochpunkt besitzen.
Also gibt es einen maximalen Funktionswert von und damit auch ein Dreieck mit maximalem Flächeninhalt.   Gleichung ermitteln Die Dreiecke sind gleichseitig mit der -Achse als Symmetrieachse. Die Länge der Grundseite ergibt sich daher über die -Koordinate des im ersten Quadranten liegenden Eckpunktes: Die Höhe des Dreiecks ist die Differenz der -Koordinaten von und dem im ersten Quadranten liegenden Eckpunkt, also: Der Flächeninhalt ergibt sich dann in Abhängigkeit von zu:

  Identischen Graphen begründen Für jedes Paar von mit gilt für alle Da gilt für stimmen für diese Wertepaare alle Funktionswerte überein. Die Graphen von und sind also identisch. Dabei existiert für jedes mit ein solches   Parameterwerte berechnen Es muss gelten Mit dem solve-Befehl des CAS folgt: Für und liegt der Punkt auf den Graphen und

  Modellierung zeigen Die Gerade , die das Streckenstück der Schnellstraße modelliert, muss folgende Bedingungen erfüllen:

1. Die Schnellstraße schließt im Punkt an die Landstraße an. muss also ebenfalls durch den Punkt verlaufen:
   
2. Der Anschluss verläuft ohne Knick. muss also eine Tangente an im Punkt sein, also die gleiche Steigung haben wie im Punkt
   

Aus 2. folgt: Für die fehlende Koordinate von gilt: Einsetzen in die Geradengleichung liefert: Der Teil der Schnellstraße kann also für näherungsweise durch die Gerade mit der Gleichung modelliert werden.

  Koordinaten ermitteln Der Punkt muss zwei Bedingungen erfüllen:

1. liegt auf der Schnellstraße, also auf der Geraden mit
2. Der Abstand von zu beträgt Eine Umrechnung des Maßstabs liefert:
   
   Der Abstand von zu muss also betragen.

Mit 2. ergibt sich folgende Gleichung: Die zweite Lösung kommt nicht in Frage, da die Straße von aus geradlinig weiterläuft und nicht abbiegt. Es ist also und Die Koordinaten von lauten   Gleichungssystem aufstellen Die Parabel ist quadratisch und kann daher durch eine Gleichung der Form beschrieben werden. Es müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

1. liegt auf also
2. liegt auf also
3. Der Übergang soll knickfrei sein, also

Es ist: Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

  Größe der Anbaufläche berechnen Die Fläche kann in drei Teilflächen aufgeteilt werden. Die linke grüngefärbte Fläche kann mithilfe eines Integrals über berechnet werden: Die zweite blau eingefärbte Fläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen: und Der Flächeninhalt ergibt sich also zu: Die dritte rot gefärbte Fläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen: und Für den Flächeninhalt folgt: Insgesamt ergibt sich folgender Flächeninhalt: Da der Landwirt aber nur der Fläche bebaut, muss dies noch einbezogen werden: Die Getreideanbaufläche ist ca. groß.