Analysis 2.2

Bremsschuh

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=-e^{x-a}+e^{2x}$ ; $a \in \mathbb{R}$ . Die Graphen der Schar $f_a$ sind $G_a$ .

Ermittle die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_a$ mit den beiden Koordinatenachsen in Abhängigkeit von $a$ .

Gib das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x\rightarrow +\infty$ und $x\rightarrow -\infty$ an.

(5P)

Weise nach, dass jeder Graph $G_a$ im Punkt $E_a (-a-ln2\mid f_a(-a-ln2))$ eine zur $x$ -Achse parallele Tangente besitzt.

Zeig, dass $E_0$ ein lokaler Extrempunkt von $G_0$ ist.

Bestimme dessen Koordinaten sowie die Art des Extremums.

(8P)

Genau ein Graph $G_a$ hat einen Wendepunkt an der Stelle $x=-1$ .

Berechne den Abstand dieses Wendepunktes zum Koordinatenursprung $O$ .

Diagramm einer mathematischen Funktion mit Achsen, Kurven und einem markierten Bereich.

Abb. 1

(5P)

Der Graph $G_1$ und die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-4x+1-\frac{1}{e}$ begrenzen gemeinsam mit der $x$ -Achse eine Fläche, die dem Querschnitt eines Bremsschuhs entspricht, der das Wegrollen von Fahrzeugen verhindert ( $1\,\text{LE}=25\,\text{cm}$ ).

Die „Tiefe“ des Bremsschuhs beträgt $20\,\text{cm}$ .

Zeig, dass sich $G_1$ und $g$ auf der $y$ -Achse schneiden.

Berechne das Volumen eines solchen Bremsschuhs.

(12P)

Ermittle die Größe des Winkels, den $G_1$ und $g$ im Punkt $A(0\mid 1-\frac{1}{e})$ einschließen.

(5P)

Der Produzent der Bremsschuhe möchte auf der Querschnittsfläche des Bremsschuhs sein rechteckiges Firmenlogo mit den Seitenlängen $5\,\text{cm}$ und $15\,\text{cm}$ so einstanzen lassen, dass die längere der beiden Seiten parallel zur $x$ -Achse verläuft.

Untersuche, ob das möglich ist.

(5P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

Aufgabe 1.2: Bremsschuh

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{G_a}$ mit der $\boldsymbol{x}$ -Achse bestimmen

Zur Bestimmung der Nullstellen benutzt du deinen CAS.

Mathematische Gleichung zur Nullstellenbestimmung mit einer Funktion und einer Lösungsanweisung.

Abb. 1: Nullstelle von $f_a(x)$

Der Schnittpunkt mit der $x$ -Achse ist demnach $S_{x_a}(-a\,|\,0)$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{G_a}$ mit der $\boldsymbol{y}$ -Achse bestimmen

Hierzu ist es sinnvoll, $x=0$ in die Funktionsgleichung von $f_a$ einzusetzen.

$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& -e^{0-a} +e^{2 \cdot 0} \\[5pt] f_a(0)&=& -e^{-a} +e^0 \\[5pt] f_a(0)&=& -e^{-a} +1 \end{array}$

Somit ist der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse $S_{y_a}(0\,|\, -e^{-a} +1)$ .

$\blacktriangleright$ Verhalten der Funktionswerte für $\boldsymbol{x \rightarrow\pm \infty}$ angeben

Hierfür benötigst du die lim-Funktion in deinem CAS.

Mathematische Berechnungen und Grenzwertanalysen in einer Softwareoberfläche.

Abb. 2: Verhalten der Funktionswerte für $x \to \pm \infty$

$\blacktriangleright$ Extrempunkt nachweisen

Damit der Graph an einem Punkt eine zur $x$ -Achse parallele Tangente hat, muss an dieser Stelle die Steigung der Funktion null sein. Deshalb leitest du die Funktion zunächst ab und setzt $x=-a-ln2$ in die Ableitung ein.

Mathematische Berechnungen in einer Software, einschließlich Funktionen und Ableitungen.

Abb. 3: Steigung von $f(x)$ bestimmen

Wie du siehst ist die Steigung bei $x= -a - ln2$ gleich null.

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass für $\boldsymbol{a = 0}$ der Punkt $\boldsymbol{E_0}$ ein lokaler Extrempunkt von $\boldsymbol{G_0}$ ist

Um dies zu zeigen, kannst du die Bedingungenen für eine Extemstelle $x_E$ anwenden.

Notwendige Bedingung: $f‘_0(x_E) = 0$
Hinreichende Bedingung: $f‘‘_0(x_E) \neq 0$

Die erste Ableitung ist bereits gegeben. Du benötigst also noch die zweite Ableitung von $f_a(t)$ . Hast du diese bestimmt, setzt du sie mit Hilfe deines CAS gleich null. Danach setzt du den so gefundenen Wert in die zweite Ableitung ein um eine Aussage darüber treffen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt.

Mathematische Berechnungen mit Funktionen und Ableitungen in einem Software-Interface.

Abb. 4: Bestimmung des Extrempunkts

Da $f_0‘‘(x_{E_0}) > 0$ ist, hast du bewiesen, dass für $a=0$ der Punkt $E_0$ ein lokaler Extrempunkt von $G_0$ ist.

$\blacktriangleright$ Art des Extremums bestimmen

Um dies zu bestimmen, kannst du die hinreichende Bedingung für eine Tiefstelle $x_T$ und Hochstelle $x_H$ überprüfen.

Hinreichende Bedingung Tiefstelle: $f‘‘_0(x_T) > 0$
Hinreichende Bedingung Hochstelle: $f‘‘_0(x_H) < 0$

Da $f_0‘‘(x_{E_0}) = \frac{1}{2} > 0$ ist, handelt es sich bei $E_0$ um eine Tiefstelle.

$\blacktriangleright$ Koordinaten von $E_0$ bestimmen

Hierfür kannst du zunächst $f_0(x_{E_0})$ bestimmen. Dies kannst du mit deinem CAS tun.

Mathematische Gleichung auf einem Taschenrechner-Bildschirm.

Abb. 5: Bestimmung des $y$ -Werts des Extrempunkts

Damit lauten die Koordinaten des Tiefpunktes $E_0(-\ln(2) \,|\, -\frac{1}{4})$ .

$\blacktriangleright$ Abstand des Wendepunks zum Ursprung berechnen

In dieser Aufgabe ist dir ein $x$ -Wert eines Wendepunkts gegeben, für den du den Abstand zum Koordinatenursprung $O$ bestimmen sollst. Um den Abstand zu bestimmen, musst du zunächst die Koordinaten des Wendepunkts bestimmen. Hierfür setzt du den gegebenen Wert $x=-1$ in die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung von $f_a$ ein und löst diese nach a auf.

Den so ermittelten Wert setzt du als $a$ in die Ursprungsfunktion ein. Mit dieser Funktion lässt sich der $y$ -Wert des Wendepunkts bestimmen.

Mathematische Gleichungen und Berechnungen auf einem Bildschirm.

Abb. 6: Bestimmung der Koordinaten des Wendepunkts

Die Koordinaten des Wendepunkts sind also $W(-1 \mid -3 \cdot e^{-2})$ .

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass sich $G_1$ und $g$ auf der $Y$ -Achse schneiden

Hier kannst du zunächst damit beginnen, den Funktionsterm $f_1$ des Graphen $G_1$ zu bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} f_1(x) &=& -e^{x-1} + e^{2x} \end{array}$

Als nächstes kannst du in beiden Funktionstermen $f_1$ und $y$ den Wert $x=0$ einsetzen.

$\begin{array}[t]{rll} f_1(0) &=& -e^{0-1} + e^0 \\[5pt] f_1(0) &=& -e^{-1} + 1 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} y (x=0) &=& 4 \cdot 0 +1- \frac{1}{e} \\[5pt] y (x=0) &=& 1- e^{-1} \\[5pt] y (x=0) &=& -e^{-1} + 1 \end{array}$

Somit ist $f_1(0)=y (x=0)$ , was bedeutet, dass beide Graphen die $Y$ -Achse an der selben Stelle schneiden und somit einen Schnittpunkt auf der $Y$ -Achse besitzen.

$\blacktriangleright$ Das Volumen des Bremsschuhs berechnen

Hier kannst du zunächst damit beginnen, den Flächeninhalt des sichbaren Querschnitts des Bremsschuhs zu berechnen. Da es sich hier um den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven und der X-Achse handelt, müssen die Integrale der Funktionen $f_1$ und $y$ addiert werden. Die zu wählenden Start- und Endwerte sind hier die jeweiligen $X$ -Werte der Schnittpunkte der Graphen mit den Koordinatenachsen.

Hast du die Fläche des Querschnitts bestimmt, multiplizierst du diese mit der Tiefe des Bremsschuhs um das Volumen zu bestimmen.

1. Schritt: Grenzen des Integrals bestimmen

Die Schnittstellen der beiden Graphen mit de $y$ -Achse befinden sich jeweils bei $x=0$ . Die Schnittstelle des Graphen $G_1$ mit der $x$ -Achse kann man aus der Grafik auslesen. Sie befindet sich bei $x=-1$ .

Um die Schnittstelle von $g$ mit der $x$ -Achse zu bestimmen, kannst du den Funktionsterm $y$ gleich Null setzen.

$\begin{array}[t]{rll} y &=& 0 \\[5pt] 0 &=& -4x+1-\frac{1}{e} &\quad \scriptsize \mid +4x\;\\[5pt] 4x &=& 1-\frac{1}{e} &\quad \scriptsize \mid :4 \;\\[5pt] x &=& \frac{1}{4} - \frac{1}{4e} \end{array}$

Alternativ kannst du die Schnittstellen mit den Koordinatenachsen auch mit Hilfe des "solve-Befehls" in deinem CAS berechnen.

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Den Flächeninhalt bestimmst du mit deinem CAS.

Mathematische Gleichungen und Integrale auf einem Bildschirm angezeigt.

Abb. 7: Bestimmung des Integrals

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass $1 \text{LE} = 25\text{cm}$ ist.

$\begin{array}[t]{rll} A &=& c \cdot (25\text{cm})^2 \\[5pt] A &=& 156,084 \text{cm}^2 \end{array}$

3. Schritt: Volumen berechnen

Um das Volumen des Bremsschuhs zu bestimmen, musst du nun lediglich den Flächeninhalt mit der "Tiefe" multiplizieren.

$\begin{array}[t]{rll} V&=& A \cdot 20\text{cm} \\[5pt] V&=& 156,084 \text{cm}^2 \cdot 20cm \\[5pt] V&=& 3.121,6875 \text{cm}³ \end{array}$

Das Volumen des Bremsschuhs beträgt also ungefähr $3.122$ cm³.

$\blacktriangleright$ Größe des Winkels zwischen $G_1$ und $g$ in deren Schnittpunkt $A$ berechnen

Den Schnittwinkel zweier Kurven in einem bestimmten Punkt kannst du durch folgende Formel berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} tan(\alpha)&=& \left|{\frac {m_1-m_2}{1+m_1m_2}}\right| \\[5pt] \end{array}$

Hierbei sind $m_1$ und $m_2$ die Steigung der beiden Kurven im Schnittpunkt. Diese kannst du über die jeweilige Ableitung berechnen.

Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einer Software-Oberfläche.

Abb. 8: Bestimmung der Steigung

Nun kannst du diese Werte in die Formel einfügen.

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \left|{\frac {1,632+4}{1+1,632\cdot(-4)}}\right| \\[5pt] \tan(\alpha)&=& 1,019 \\[5pt] \alpha &=& \arctan(1,019) \\[5pt] \alpha &\approx& 45,5° \end{array}$

Damit beträgt die Größe des Winkels $\alpha$ im Schnittpunkt ungefähr $45,5°$ .

$\blacktriangleright$ Prüfen, ob das Logo des Produzenten passt

Hier kannst du auf die Information zurückgreifen, dass $1\text{LE} = 25$ cm sind. Du kannst also zunächst die Größe des Rechtecks im Maßstab berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} 5\text{cm}\cdot\frac{1\text{LE}}{25\text{cm}} &=& \frac{1}{5} \text{LE} &=& 0,2 \text{LE} \\[5pt] 15\text{cm}\cdot\frac{1\text{LE}}{25\text{cm}} &=& \frac{3}{5} \text{LE} &=& 0,6 \text{LE} \end{array}$

Du kannst nun annehmen, dass die rechte obere Ecke des Logos genau auf der Geraden $g$ liegt. Dann gilt für diesen Punkt $Q$ :

$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{5} &=& -4x_Q +1 - \frac{1}{e} \\[5pt] x_Q &\approx& 0,1 \end{array}$

Nun kannst du sehen, dass der linke obere Punkt $R$ mindestens bei $x_R=0,1-0,6 = -0,5$ liegen muss. Dann gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f_1(-0,5)&=& -e^{-1,5} + e^{-1} \\[5pt] f_1(-0,5)&\approx& 0,145 \end{array}$

Da $f_1(-0,5) \lt 0,2$ , kann das Logo in der angegebenen Weise nicht auf der Querschnittsfläche eingestanzt werden.

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Aufgabe 1.2: Bremsschuh

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{G_a}$ mit der $\boldsymbol{x}$ -Achse bestimmen

Zur Bestimmung der Nullstellen benutzt du deinen CAS.

Mathematische Gleichung zur Definition und Lösung einer Funktion.

Abb. 1: Nullstelle von $f_a(x)$

Der Schnittpunkt mit der $x$ -Achse ist demnach $S_{x_a}(-a\,|\,0)$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{G_a}$ mit der $\boldsymbol{y}$ -Achse bestimmen

Hierzu ist es sinnvoll, $x=0$ in die Funktionsgleichung von $f_a$ einzusetzen.

$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& -e^{0-a} +e^{2 \cdot 0} \\[5pt] f_a(0)&=& -e^{-a} +e^0 \\[5pt] f_a(0)&=& -e^{-a} +1 \end{array}$

Somit ist der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse $S_{y_a}(0\,|\, -e^{-a} +1)$ .

$\blacktriangleright$ Verhalten der Funktionswerte für $\boldsymbol{x \rightarrow\pm \infty}$ angeben

Hierfür benötigst du die lim-Funktion in deinem CAS.

Mathematische Gleichungen und Grenzwertbetrachtungen in einer Grafik dargestellt.

Abb. 2: Verhalten der Funktionswerte für $x \to \pm \infty$

$\blacktriangleright$ Extrempunkt nachweisen

Mathematische Gleichungen und Ableitungen auf einem Diagramm dargestellt.

Abb. 3: Steigung von $f(x)$ bestimmen

Wie du siehst ist die Steigung bei $x= -a - ln2$ gleich null.

Hinweis: Je nach Modell deines CAS erhältst du
$f2(-a-ln(2))= 2 \cdot e^{-2 \cdot (a+ln2)} - e^{-2 \cdot a - ln2}$ . Dieser Ausdruck ist für alle Werte von $a$ null.

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass für $\boldsymbol{a = 0}$ der Punkt $\boldsymbol{E_0}$ ein lokaler Extrempunkt von $\boldsymbol{G_0}$ ist

Um dies zu zeigen, kannst du die Bedingungenen für eine Extemstelle $x_E$ anwenden.

Notwendige Bedingung: $f‘_0(x_E) = 0$
Hinreichende Bedingung: $f‘‘_0(x_E) \neq 0$

Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einer Computeralgebrasoftware.

Abb. 4: Bestimmung des Extrempunkts

Da $f_0‘‘(x_{E_0}) > 0$ ist, hast du bewiesen, dass für $a=0$ der Punkt $E_0$ ein lokaler Extrempunkt von $G_0$ ist.

$\blacktriangleright$ Art des Extremums bestimmen

Um dies zu bestimmen, kannst du die hinreichende Bedingung für eine Tiefstelle $x_T$ und Hochstelle $x_H$ überprüfen.

Hinreichende Bedingung Tiefstelle: $f‘‘_0(x_T) > 0$
Hinreichende Bedingung Hochstelle: $f‘‘_0(x_H) < 0$

Da $f_0‘‘(x_{E_0}) = \frac{1}{2} > 0$ ist, handelt es sich bei $E_0$ um eine Tiefstelle.

$\blacktriangleright$ Koordinaten von $E_0$ bestimmen

Hierfür kannst du zunächst $f_0(x_{E_0})$ bestimmen. Dies kannst du mit deinem CAS tun.

Mathematische Gleichung mit Exponential- und Logarithmusfunktionen.

Abb. 5: Bestimmung des $y$ -Werts des Extrempunkts

Damit lauten die Koordinaten des Tiefpunktes $E_0(-0,693 \,|\, -\frac{1}{4})$ .

$\blacktriangleright$ Abstand des Wendepunks zum Ursprung berechnen

Den so ermittelten Wert setzt du als $a$ in die Ursprungsfunktion ein. Mit dieser Funktion lässt sich der $y$ -Wert des Wendepunkts bestimmen.

Mathematische Gleichungen und Berechnungen in einem digitalen Format.

Abb. 6: Bestimmung der Koordinaten des Wendepunkts

Die Koordinaten des Wendepunkts sind also $W(-1 \mid -3 \cdot e^{-2})$ .

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass sich $G_1$ und $g$ auf der $Y$ -Achse schneiden

Hier kannst du zunächst damit beginnen, den Funktionsterm $f_1$ des Graphen $G_1$ zu bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} f_1(x) &=& -e^{x-1} + e^{2x} \end{array}$

Als nächstes kannst du in beiden Funktionstermen $f_1$ und $y$ den Wert $x=0$ einsetzen.

$\begin{array}[t]{rll} f_1(0) &=& -e^{0-1} + e^0 \\[5pt] f_1(0) &=& -e^{-1} + 1 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} y (x=0) &=& 4 \cdot 0 +1- \frac{1}{e} \\[5pt] y (x=0) &=& 1- e^{-1} \\[5pt] y (x=0) &=& -e^{-1} + 1 \end{array}$

Somit ist $f_1(0)=y (x=0)$ , was bedeutet, dass beide Graphen die $Y$ -Achse an der selben Stelle schneiden und somit einen Schnittpunkt auf der $Y$ -Achse besitzen.

$\blacktriangleright$ Das Volumen des Bremsschuhs berechnen

Hast du die Fläche des Querschnitts bestimmt, multiplizierst du diese mit der Tiefe des Bremsschuhs um das Volumen zu bestimmen.

1. Schritt: Grenzen des Integrals bestimmen

Um die Schnittstelle von $g$ mit der $x$ -Achse zu bestimmen, kannst du den Funktionsterm $y$ gleich Null setzen.

Alternativ kannst du die Schnittstellen mit den Koordinatenachsen auch mit Hilfe des "solve-Befehls" in deinem CAS berechnen.

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Den Flächeninhalt bestimmst du mit deinem CAS.

Mathematische Gleichungen und Integrale mit definierten Funktionen f1 und f2.

Abb. 7: Bestimmung des Integrals

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass $1 \text{LE} = 25\text{cm}$ ist.

$\begin{array}[t]{rll} A &=& c \cdot (25\text{cm})^2 \\[5pt] A &=& 156,084 \text{cm}^2 \end{array}$

3. Schritt: Volumen berechnen

Um das Volumen des Bremsschuhs zu bestimmen, musst du nun lediglich den Flächeninhalt mit der "Tiefe" multiplizieren.

$\begin{array}[t]{rll} V&=& A \cdot 20\text{cm} \\[5pt] V&=& 156,084 \text{cm}^2 \cdot 20cm \\[5pt] V&=& 3.121,6875 \text{cm}³ \end{array}$

Das Volumen des Bremsschuhs beträgt also ungefähr $3.122$ cm³.

$\blacktriangleright$ Größe des Winkels zwischen $G_1$ und $g$ in deren Schnittpunkt $A$ berechnen

Den Schnittwinkel zweier Kurven in einem bestimmten Punkt kannst du durch folgende Formel berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} tan(\alpha)&=& \left|{\frac {m_1-m_2}{1+m_1m_2}}\right| \\[5pt] \end{array}$

Hierbei sind $m_1$ und $m_2$ die Steigung der beiden Kurven im Schnittpunkt. Diese kannst du über die jeweilige Ableitung berechnen.

Mathematische Gleichungen und Ableitungen von Funktionen f1 und f2.

Abb. 8: Bestimmung der Steigung

Nun kannst du diese Werte in die Formel einfügen.

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \left|{\frac {1,632+4}{1+1,632\cdot(-4)}}\right| \\[5pt] \tan(\alpha)&=& 1,019 \\[5pt] \alpha &=& \arctan(1,019) \\[5pt] \alpha &\approx& 45,5° \end{array}$

Damit beträgt die Größe des Winkels $\alpha$ im Schnittpunkt ungefähr $45,5°$ .

$\blacktriangleright$ Prüfen, ob das Logo des Produzenten passt

Hier kannst du auf die Information zurückgreifen, dass $1\text{LE} = 25$ cm sind. Du kannst also zunächst die Größe des Rechtecks im Maßstab berechnen.

Du kannst nun annehmen, dass die rechte obere Ecke des Logos genau auf der Geraden $g$ liegt. Dann gilt für diesen Punkt $Q$ :

$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{5} &=& -4x_Q +1 - \frac{1}{e} \\[5pt] x_Q &\approx& 0,1 \end{array}$

Nun kannst du sehen, dass der linke obere Punkt $R$ mindestens bei $x_R=0,1-0,6 = -0,5$ liegen muss. Dann gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f_1(-0,5)&=& -e^{-1,5} + e^{-1} \\[5pt] f_1(-0,5)&\approx& 0,145 \end{array}$

Da $f_1(-0,5) \lt 0,2$ , kann das Logo in der angegebenen Weise nicht auf der Querschnittsfläche eingestanzt werden.

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]