Wahlaufgaben

1.5 Analysis

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=a \cdot x^2.$

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $\left(4 \;\left\lvert\; f_{\frac{1}{2}}(4)\right.\right).$

Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente $t$ an.

(1 BE)

Weise nach, dass für jeden Wert $u \in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(u \mid f_a(u)\right)$ die $y$ -Achse im Punkt $\left(0 \mid-f_a(u)\right)$ schneidet.

(4 BE)

1.6 Analysis

Für eine Zahl $a\gt0$ zeigt die Abbildung den Graphen $G$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-2 a x^2+a^2 x$ sowie die Gerade $h.$

$G$ und $h$ schneiden sich im Koordinatenursprung und $h$ verläuft senkrecht zur Tangente an $G$ im Koordinatenursprung. Zudem berühren sich $G$ und die $x$ -Achse im Punkt $(a \mid 0).$

Betrachtet wird dasjenige Rechteck, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

Die beiden gemeinsamen Punkte von $G$ und der $x$ -Achse sind zwei benachbarte Eckpunkte des Rechtecks.
Eine Diagonale liegt auf der Gerade $h.$

Skizziere das Rechteck in der Abbildung und zeige, dass der Flächeninhalt des Rechtecks unabhängig von $a$ ist.

(5 BE)

1.7 Analytische Geometrie

Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung).

Die Eckpunkte $A(1\mid2\mid 1),$ $B,$ $C(-3\mid-6\mid 9)$ und $D$ des Oktaeders liegen in der Ebene $H$ mit der Gleichung $2 x_1+x_2+2 x_3=6.$

Weise nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt.

(2 BE)

Bestimme die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in $H$ liegen.

(3 BE)

1.8 Analytische Geometrie

Gegeben sind die Ebene $E:-x+2 z=-3$ und die Geradenschar mit der Gleichung

$g_a: \overrightarrow{x}=\pmatrix{3a+2\\-3\\a}+r\cdot\pmatrix{-2\\2\\-a};$ $r \in \mathbb{R}; a \in \mathbb{R}.$

Untersuche die Lagebeziehung zwischen $g_a$ und $E$ in Abhängigkeit von $a$ und berechne ggf. die Koordinaten des Schnittpunkts.

(5 BE)

1.9 Stochastik

Ein Produzent stellt gleichartige Geräte in großer Serie her. Das Auftreten der Fehler $A$ oder $B$ führt dazu, dass ein Gerät defekt ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Gerät defekt ist, beträgt $p=0,2.$

Zwei Geräte werden zufällig ausgewählt.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eines der beiden Geräte defekt ist.

(2 BE)

Die Fehler $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig. Der Fehler $A$ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,1$ auf, der Fehler $B$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $p_B.$ Berechne die Wahrscheinlichkeit $p_B.$

(3 BE)

1.10 Stochastik

Die drei nicht sichtbaren Seiten des abgebildeten Würfels sollen jeweils mit einer der Zahlen $3, 4, 5$ oder $6$ beschriftet werden. Dabei können Zahlen auch mehrfach verwendet werden.

Nach der Beschriftung soll der Würfel folgende Eigenschaften haben:

Beim einmaligen Werfen ist der Erwartungswert für die erzielte Zahl gleich $4.$
Auf den sechs Seiten des Würfels kommen genau drei verschiedene Zahlen vor.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird, beträgt $\frac{1}{2}.$

Untersuche, ob es möglich ist, die nicht sichtbaren Seiten des Würfels so zu beschriften, dass er alle drei Eigenschaften besitzt.

(5 BE)

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1.5 Analysis

Die Tangente $t,$ gegeben durch die Gleichung $y=mx+n,$ hat eine positive Steigung, einen $y$ -Achsenabschnitt von $n=-8$ und schneidet die $x$ -Achse bei $2.$ Für die Steigung $m$ folgt somit:

$m=\dfrac{0-(-8)}{2-0}=\dfrac{8}{2}=4$

Somit ergibt sich die Gleichung $y=4x-8.$

Die allgemeine Gleichung der Tangente ist gegeben durch $y=mx+n.$ Für die Ableitung von $f_a(x)$ gilt:

$\(f_a$

Somit folgt $f_a(u)=au^2$ und $\(m=f_a$ Einsetzen der Koordinaten des Punktes $(u\mid f_a(u)),$ an dem die Tangente den Graphen berührt, in die Gleichung der Tangente liefert somit:

$\begin{array}[t]{rll} au^2&=& 2au\cdot u + n &\quad \scriptsize \mid\;-2au^2 \\[5pt] -au^2&=& n \end{array}$

Somit gilt $n=-au^2=-f_a(u)$ und die Tangente schneidet die $y$ -Achse damit im Punkt $(0\mid-f_a(u)).$

1.6 Analysis

$\;$

Rechteck skizzieren

Unabhängigkeit des Flächeninhalts zeigen

Die Länge der Seite des Rechtecks, die auf der $x$ -Achse verläuft, ergibt sich durch die Differenz der $x$ -Werte der beiden Punkte, in denen $G$ die $x$ -Achse berührt, als $a.$ Für die Ableitung der Funktion $f$ gilt:

$\(f$

Da $h$ senkrecht zur Tangente an $G$ im Koordinatenursprung verläuft, ergibt sich mit Hilfe von $\(f$ die Steigung von $h$ als $\(-\frac{1}{f$ Somit folgt $h(x)=-\frac{1}{a^2}x.$ Für die Länge der kürzeren Rechteckseite folgt damit:

$\vert h(a)\vert = \left\vert-\dfrac{1}{a^2}\cdot a\right\vert = \dfrac{1}{a}$

Damit folgt für den Flächeninhalt $A$ des Rechtecks $A=a\cdot\frac{1}{a}=1,$ womit dieser unabhängig von $a$ ist.

1.7 Analytische Geometrie

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{-3\\-6\\9}-\pmatrix{1\\2\\1}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{-4\\-8\\8}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2} \\[5pt] &=&\sqrt{144} \\[5pt] &=&12 \end{array}$

Der Ortsvektor des Mittelpunkts $M$ der Strecke $\overline{AC}$ ergibt sich wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AC} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\2\\1}+\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{-4\\-8\\8} \\[5pt] &=&\pmatrix{-1\\-2\\5} \end{array}$

Aus der Ebenengleichung von $H$ lässt sich zudem der folgende Normalenvektor ablesen:

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{2\\1\\2}$

Es gilt $\vert\overrightarrow{n}\vert=\sqrt{2^2+1^2+2^2}$ $=\sqrt{9}=3.$ Da die Kantenlänge des Würfels $12$ beträgt, ist der Abstand des gesuchten Eckpunktes des Oktaeders zu $M$ durch $6$ gegeben. Ein möglicher Ortsvektor ergibt sich somit als:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}+2\cdot\overrightarrow{n}&=&\pmatrix{-1\\-2\\5}+2\cdot\pmatrix{2\\1\\2} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\0\\9} \end{array}$

Mögliche Koordinaten für den gesuchten Punkt sind somit gegeben durch $(3\mid0\mid9).$

1.8 Analytische Geometrie

$\;$

Ein Punkt der Geradenschar $g_a$ hat die folgenden allgemeinen Koordinaten:

$(3a+2-2r\mid-3+2r\mid a-ar)$

Einsetzen dieser in die Ebenengleichung von $E$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$2r\cdot(1-a) = -(1-a)$

Für $a=1$ nehmen beide Seiten für alle Werte von $r$ den Wert Null an, das heißt die Gerade $g_1$ liegt vollständig in $E.$ Für $a\neq1$ liefert Dividieren von beiden Seiten durch $1-a$ die Gleichung $2r=-1,$ das heißt $r=-\frac{1}{2}.$ Einsetzen von $r$ in die Gleichung der Geradenschar liefert somit:

$\pmatrix{3a+2\\-3\\a}-\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{-2\\2\\-a}$ $=\pmatrix{3a+2+1\\-3-1\\a+\frac{1}{2}a}=\pmatrix{3a+3\\-4\\\frac{3}{2}a}$

Für $a\neq1$ schneiden sich $g_a$ und $E$ somit im Punkt $S_a$ mit den Koordinaten $S_a\left(3a+3\mid-4\mid \frac{3}{2}a\right).$

1.9 Stochastik

$2 \cdot 0,2 \cdot(1-0,2)=0,32$

Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät funktioniert, also keiner der beiden Fehler auftritt, folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $p_B:$

$\begin{array}[t]{rll} (1-0,2)&=&(1-p_A)\cdot(1-p_B) \\[5pt] 0,8&=&0,9\cdot(1-p_B) \quad \scriptsize \mid\;-0,9\\[5pt] -0,1&=&-0,9p_B \quad \scriptsize \mid\;:(-0,9)\\[5pt] \dfrac{1}{9}&= &p_B \end{array}$

1.10 Stochastik

$\;$

Da jede Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewürfelt wird, folgt mit Hilfe des Erwartungswerts $E=4$ für die Summe $x=x_1+x_2+x_3$ der Zahlen auf den drei nicht sichtbaren Seiten des Würfels:

Rechenweg anzeigen

$x=13$

Die Zahlen $3,5$ und $5$ ergeben zusammen $13$ und erfüllen auch die zweite Bedingung. Für die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird, folgt in diesem Fall:

$\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{4}{6}+2\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}$

Somit ist für diese Beschriftung der restlichen drei Seiten auch die dritte Bedingung erfüllt.

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