Analytische Geomtrie 3.2 - Würfel

Analytische Geometrie: Würfel

Betrachtet wird der abgebildete Würfel mit $A \left(0 \mid 0\mid 0\right),$ $B\left(3\mid -3 \mid 3\right),$ $G \left(0 \mid 0\mid 9\right)$ und $H\left(-3 \mid 3\mid 6\right).$

Berechne das Volumen des Würfels.

(2 BE)

Begründe, dass das Viereck $ABGH$ ein Rechteck ist, und zeichne dieses in die Abbildung ein.

(3 BE)

Das Viereck $ABGH$ liegt in der Ebene $L.$
Bestimme eine Gleichung von $L$ in Parameterform und Koordinatenform.

[Kontrollergebnis: $x + y = 0$ ]

(3 BE)

3D-Darstellung eines geometrischen Körpers mit Koordinatenachsen x, y, z und mehreren Punkten.

Bestimme die Größe des Winkels, den die Ebene $L$ mit der $xz$ -Ebene einschließt.

(2 BE)

Ermittle die Koordinaten von $F$ .

(5 BE)

Die Gerade durch $B$ und $G$ schneidet die $xy$ -Ebene im Punkt $S.$
Bestimme das Verhältnis, in dem $B$ die Strecke $\overline{SG}$ teilt.

(2 BE)

Die Ebene, die durch die Mittelpunkte der Kanten $\overline{BC},\overline{CG},\overline{AD}$ und $\overline{DH}$ verläuft, teilt den Würfel in zwei Teilkörper.
Begründe mithilfe einer Skizze, dass das Volumen des kleineren Teilkörpers ein Achtel des Volumens des Würfels ist.

(5 BE)

Gegeben ist die Schar der Ebenen $z=k$ mit $k\in\mathbb{R}.$
Gib in Abhängigkeit von $k$ die unterschiedlichen Arten der Figuren an, in denen die Ebenen für $0\lt k \lt9$ den Würfel schneiden.

(3 BE)

(25 BE)

Analytische Geometrie: Würfel

Volumen des Würfels berechnen:

Die Kantenlängen eines Würfels sind alle gleich lang und somit lässt sich das Volumen eines Würfels mit $V_{Würfel}=a\cdot a\cdot a=a^3$ berechnen.

Kantenlänge $\vert\,\overrightarrow{AB}\,\vert$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \bigg\vert\,\overrightarrow{AB}\,\bigg\vert&=& \bigg\vert\,\pmatrix{3\\-3\\3}-\pmatrix{0\\0\\0}\,\bigg\vert \\[5pt] &=& \sqrt{3^2+(-3)^2+3^2}\\[5pt] &=& \sqrt{27} \end{array}$

Volumenberechnung:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Würfel}}&=& \left(\sqrt{27}\right)^3 \\[5pt] &=& 81\sqrt{3}\,[VE]\\[5pt] &\approx& 140,30\,[VE] \end{array}$

Das Volumen des Würfels beträgt $81\sqrt{3}\, [VE]$ .

Form des Vierecks $ABGH$ begründen:

Die Merkmale eines Rechtecks sind einerseits, dass alle Innenwinkel rechte Winkel sind, und dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.
Die Kanten $\overline{AB}$ und $\overline{GH}$ und die Seitendiagonalen $\overline{AH}$ und $\overline{BG}$ sind jeweils gleich lang.
Da $\overline{BG}$ auf der Seitenfläche $BFGC$ liegt, steht $\overline{BG}$ senkrecht zu $\overline{AB}$ . Ebenso mit der selben Argumentation steht $\overline{AH}$ senkrecht zu $\overline{GH}$ .
Mit diesen Seitenverhältnissen innerhalb des Würfels ist bewiesen, dass es sich bei $ABGH$ um ein Rechteck handelt.

Rechteck $ABGH$ zeichnen:

3D-Darstellung eines geometrischen Körpers mit Achsenbeschriftung.

Ebenengleichung $L$ in Koordinatenform aufstellen:

Spannvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AG}$ aufstellen:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& \pmatrix{3-0\\-3-0\\3-0}\\[5pt] &=& \pmatrix{3\\-3\\3} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AG}&=& \pmatrix{0-0\\0-0\\9-0}\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\9} \end{array}$

Normalenvektor aufstellen:

Einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ kannst du mit dem Kreuzprodukt von $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AG}$ berechnen.

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{1\\1\\0}$

Vollständige Lösung anzeigen

Normalenform aufstellen und in Koordinatenform umwandeln:

$\begin{array}[t]{rll} L:0&=& \pmatrix{1\\1\\0}\circ \left[\pmatrix{x\\y\\z}-\pmatrix{0\\0\\0}\right] \\[5pt] L:0&=&x+y\\[5pt] \end{array}$

Eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform ist gegeben durch $L: x+y=0$ .

Größe des Winkels $\varphi$ bestimmen:

Ein Normalenvektor der $xz$ -Ebene ist gegeben durch $\overrightarrow{n_{xz}}=\pmatrix{0\\1\\0}$ .

$\varphi= 45^{\circ}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Winkel, den die Ebene $L$ mit der $xz$ -Ebene einschließt, ist $45^{\circ}$ groß.

alternative Lösung:

Da $L$ die $z$ -Achse enthält und den Winkel halbiert, den die positive $x$ -Achse und die negative $y$ -Achse einschließen, beträgt die Größe des gesuchten Winkels $45^{\circ}$ .

Koordinaten des Punktes $F$ bestimmen:

Die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ von $\overline{BG}$ sind gegeben durch $M(1,5\mid -1,5\mid 6)$ .

Koordinaten des Punktes $F$ ermitteln:

Die Strecke $\overline{CF}$ steht senkrecht zu der Ebene $L$ .

$\overrightarrow{OF}=\pmatrix{1,5-\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}\\-1,5-\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}\\6}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Koordinaten des Punktes $F$ liegen bei $F\left(1,5-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,\bigg \vert \, -1,5-\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}\,\bigg \vert \, 6\right)$ .

Verhältnis berechnen:

Geradengleichung $g$ durch die Punkte $B$ und $G$ aufstellen:

$\begin{array}[t]{rll} g:\overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OB}+r\cdot\overrightarrow{BG}\quad , r\in\mathbb{R}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}&=& \pmatrix{3\\-3\\3}+r\cdot\pmatrix{0-3\\0-(-3)\\9-3}\\[5pt] &=& \pmatrix{3\\-3\\3}+r\cdot\pmatrix{-3\\3\\6}\\[5pt] \end{array}$

Koordinaten des Schnittpunktes $S$ bestimmen:

Eine Gleichung der $xy$ -Ebene ist gegeben durch $Z: z=0$ .

$g$ mit der $xy$ -Ebene schneiden:

$\begin{array}[t]{rll} 3+6r&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] 6r&=&-3 &\quad \scriptsize \mid\; :6\\[5pt] r&=&-\dfrac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=&\pmatrix{3\\-3\\3}-\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{-3\\3\\6} \\[5pt] &=&\pmatrix{4,5\\-4,5\\0} \end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ lauten $S(4,5|-4,5|0)$ .

Teilungsverhältnis bestimmen:

$\dfrac{\vert\,\overline{SB}\,\vert}{\vert\,\overline{BG}\,\vert}=\dfrac{1}{2}$

Vollständige Lösung anzeigen

$B$ teilt die Strecke $\overline{SG}$ im Verhältnis $1:2$ .

Volumen des kleineren Teilkörpers erläutern:

Skizze:

Diagramm eines Quadrats mit Punkten F, G, B und C sowie gestrichelten Linien.

Begründung:

Bei dem kleineren Teilkörper handelt es sich um ein Prisma, wessen Grundfläche eine Teilfläche der Seitenfläche $BFGC$ ist. Der Inhalt dieser Teilfläche beträgt ein Achtel des Inhalts der Seitenfläche $BFGC$ . Die Höhe des Prismas stimmt mit der Kantenlänge des Würfels überein.

Damit ist bewiesen, dass das Volumen des kleineren Teilkörpers ein Achtel des Volumens des Würfels ist.

Schnittfiguren erläutern:

Für $0\lt k\leq 3$ und $6\leq k \lt 9$ handelt es sich bei der jeweiligen Schnittfigur um ein Dreieck.
Für $3\lt k \lt 6$ handelt es sich bei der jeweiligen Schnittfigur um ein Sechseck.

(Tipp: Um diese Vorangehensweise zu veranschaulichen, setze die Zahlen von $0-9$ in die gegebene Schar ein und vergleiche die unterschiedlichen Figuren miteinander. Es kann auch helfen sich das Ganze einmal aufzuzeichnen.)