Analytische Geometrie 3.1 - Tunnel

Ein Berg wird von seiner Südseite zu seiner Nordseite durch einen Autotunnel unterquert.
Der Verlauf des Autotunnels kann als Teil einer Geraden modelliert werden. Die -Ebene befindet sich auf der Höhe des Meeresspiegels.
Auf der Südseite beginnt der Tunnel im Punkt und endet auf der Nordseite im Punkt

Gib eine Gleichung der Geraden an, mit deren Hilfe man den Verlauf des Autotunnels modellieren kann.
Berechne die Länge des Autotunnels.
Ermittle den Winkel, in dem die Gerade zur -Ebene ansteigt.

In der Mitte des Autotunnels befindet sich eine Nothaltebucht, die vereinfacht modellhaft als Punkt beschrieben werden kann.
Gib die Koordinaten des Punktes an.
Von der Nothaltebucht führt ein Lüftungsrohr senkrecht zum Meeresspiegel nach oben.
Das Lüftungsrohr ragt aus der Oberfläche des Berges hinaus. Die Oberfläche des Berges kann in diesem Bereich durch eine Ebene beschrieben werden mit
Ermittle die Länge des Lüftungsrohrs.

Ein Bahntunnel verläuft geradlinig zwischen den Punkten und .

Zeige, dass der Bahntunnel den Autotunnel nicht kreuzt.
Hinweis: Die Querschnitte der Tunnel können vernachlässigt werden. Beschreibe die Lagebeziehung der Geraden, durch die die beiden Tunnel modelliert werden.
Gib eine Gleichung einer Ebene an, zu der diese beiden Geraden parallel verlaufen.

Die Lok eines langen Güterzuges fährt um 09:10 Uhr in den Bahntunnel hinein.
Der letzte Wagen ist um 09:13 Uhr vollständig aus dem Bahntunnel herausgefahren. Der Güterzug bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit durch den Bahntunnel.
Prüfe, ob der Zug die zulässige Höchstgeschwindigkeit von einhält.

Vom Punkt ist eine geradlinige Zufahrt in den Autotunnel geplant.
Bestimme den Punkt , in dem die Zufahrt auf den Autotunnel treffen muss, damit sie die kleinstmögliche Länge hat.

Die geradlinige Zufahrt vom Punkt zum Autotunnel wird schließlich nicht so gebaut, dass sie die kleinstmögliche Länge hat, sondern so, dass ihre Länge beträgt.
Begründe, dass es dafür nur genau eine Möglichkeit gibt.

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  Geradengleichung angeben Die Gerade, die den Verlauf des Autotunnels modellieren soll, muss durch die Punkte und verlaufen. Du kannst beispielsweise als Stützpunkt und als Richtungsvektor verwenden:   Länge des Autotunnels berechnen Die Länge des Autotunnels wird durch die Länge der Strecke beschrieben. Diese kannst du über den Vektorbetrag des zugehörigen Verbindungsvektors berechnen: Der Tunnel ist also ca. lang.   Winkel berechnen Bestimme den Schnittwinkel der Geraden mit der -Ebene mithilfe der zugehörigen Formel: Die Gerade steigt zur -Ebene um ca. an.

  Koordinaten angeben Der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke Dessen Koordinaten kannst du mit der zugehörigen Formel berechnen: Die Koordinaten des Punkts der die Nothaltebucht modellhaft beschreibt, lauten   Länge des Lüftungsrohrs ermitteln Das Lüftungsrohr beginnt im Punkt und verläuft senkrecht zum Meeresspiegel, also senkrecht zur -Ebene. Der Verlauf des Lüftungsrohrs kann also mithilfe folgender Gerade beschrieben werden: Die Gerade beschreibt also den Verlauf des Lüftungsrohrs, die Ebene aus der Aufgabenstellung beschreibt die Oberfläche des Berges.
Der Punkt, in dem das Lüftungsrohr aus dem Berg hinausragt, wird daher durch den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene beschrieben.
Die Koordinaten der Punkte auf lauten Diese kannst du in die Ebenengleichung von einsetzen: Einsetzen von in die Geradengleichung von liefert: Der Punkt, an dem das Luftrohr aus dem Berg ragt, wird also durch die Koordinaten beschrieben.
Die Länge des Luftrohrs, das innerhalb des Berges liegt, kann durch die Länge der Strecke beschrieben werden: Das Luftrohr verläuft innerhalb des Berges also in einer Länge von Aus dem Berg ragt es noch hinaus. Also ist es lang.

  Zeigen, dass sich die Tunnel nicht kreuzen Der Verlauf des Bahntunnels kann durch die Gerade mit der folgenden Gleichung beschrieben werden: Überprüfe nun, ob sich die Gerade die den Verlauf des Autotunnels beschreibt, und die Gerade die den Verlauf des Bahntunnels beschreibt, schneiden: Daraus erhältst du folgendes Gleichungssystem: Die dritte Gleichung kannst du nach umformen: Dies kannst du beispielsweise in die erste Gleichung einsetzen: Einsetzen in liefert: Überprüfe die Ergebnisse nun durch Einsetzen in die zweite Gleichung: Dies ist eine falsche Aussage. Die berechneten Werte für und erfüllen die zweite Gleichung also nicht. Das Gleichungssystem ist daher nicht lösbar. Das bedeutet, dass sich die Geraden und nicht schneiden. Der Autotunnel und der Bahntunnel können sich also nicht kreuzen.   Lagebeziehung der Geraden beschreiben Die beiden Geraden schneiden sich nicht. Sie können also parallel zueinander verlaufen oder windschief sein. Parallel sind sie, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind. Überprüfe also, ob es einen Wert gibt, sodass folgendes gilt: Für die erste Zeile müsste sein. Damit wären aber die unteren beiden Zeilen nicht erfüllt. Die beiden Richtungsvektoren sind also nicht linear abhängig. Die beiden Geraden sind windschief.   Ebenengleichung angeben Die Ebene soll parallel zu beiden Geraden verlaufen. Du kannst also die beiden Richtungsvektoren der beiden Geraden als Spannvektoren verwenden.
Den Stützvektor musst du nun so wählen, dass keine der beiden Geraden in der Ebene liegt. Verwende beispielsweise den Koordinatenursprung und überprüfe jeweils noch einmal mit einem beliebigen Punkt der Gerade, ob dieser Punkt in der Ebene liegt. Die Ebenengleichung lautet dann: Der Stützpunkt von liegt nicht in dieser Ebene und damit liegt auch die gesamte Gerade nicht in der Ebene. Gleiches gilt für den Stützpunkt von Die Ebene mit der Gleichung ist also parallel zu beiden Geraden.

  Einhalten der Geschwindigkeit überprüfen 1. Schritt: Länge des Bahntunnels berechnen Den Vektorbetrag kannst du auch mithilfe des norm-Befehls deines CAS berechnen: Der Bahntunnel ist also ca. lang. 2. Schritt: Gesamtstreckenlänge berechnen Um Uhr fährt die Lok des Güterzuges in den Tunnel. Der Rest des Zuges befindet sich in dem Moment also noch außerhalb des Tunnels.
Um Uhr ist der Güterzug vollständig aus dem Tunnel herausgefahren. Die Zugspitze befindet sich in dem Moment also bereits hinter dem Tunnel.
Der Zug legt in den Minuten also die Tunnellänge und seine eigene Länge zurück. Die gesamte zurückgelegte Strecke ist also: 3. Schritt: Geschwindigkeit berechnen Der Zug fährt also mit einer Geschwindigkeit von ca. durch den Tunnel. Er hält die zulässige Höchstgeschwindigkeit ein.

  Punkt bestimmen Der Punkt liegt auf der Geraden und hat daher folgende Koordinaten: muss nun so gewählt werden, dass der Punkt auf mit dem kleinsten Abstand zu ist.
Der Verbindungsvektor liegt daher senkrecht zur Geraden Das Skalarprodukt von mit dem Richtungsvektor von muss also Null sein. Die darausentstehende Gleichung kannst du auch mit dem solve-Befehl deines CAS lösen: Für folgt also: Damit die Zufahrt die kleinstmögliche Länge hat, muss die Koordinaten besitzen.

  Anzahl Möglichkeiten begründen Bezeichne den neuen Punkt, in dem die Zufahrt auf den Autotunnel trifft mit soll ebenfalls auf der Geraden liegen und hat daher Koordinaten der Form: Da auf der Strecke liegen muss, muss zudem sein. Die Strecke soll lang sein. Die daraus entstehende Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen: Der zweite Wert von ist negativ, wodurch der zugehörige Punkt auf der Geraden nicht zwischen den Punkten und liegt. Bei dieser Lösung würde die Zufahrt also nicht auf den Autotunnel treffen. Es gibt nur die Lösung Zu jedem Wert von gehört genau ein Punkt auf der Geraden. Es gibt also nur einen Punkt, in dem die Zufahrt auf den Autotunnel treffen kann, sodass die Zufahrt vom Punkt aus lang wäre.