Analysis 2.2 - Exponentialfunktion

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb R$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=x\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}a\cdot x^2+\frac{1}{2}};a \in \mathbb R$ . Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Kooridnatenursprungs.

Zunächst werden einzelne Funktionen der Schar betrachtet.

Gib die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $f_1$ an.
Weise nach, dass $f_1$ genau eine Nullstelle hat, und gib den Grenzwert von $f_1$ für $x\rightarrow+\infty$ an.

(3 BE)

Die Abblidung 1 zeigt den Graphen von $f_1$ ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem. Ergänze die Koordinatenachsen und skaliere diese passend.

(2 BE)

Abb. 1

Interpretiere den folgenden Sachverhalt geometrisch:

$F_1$

$f_1$

$u>2022$

$F_1(u)-F_1(0)\approx \displaystyle\int_{0}^{2022}f_1(x)\;\mathrm dx$

(3 BE)

Weise nach, dass der vertikale Abstand der Graphen von $f_2$ und seiner ersten Ableitungsfunktion $\(f$ ein relatives Maximum hat.
Ermittle den Wert dieses Maximums.

(6 BE)

Beschreibe die geometrische Bedeutung der Gleichung $\(-\dfrac{1}{f$ .

(3 BE)

Bestimme den Parameter $b$ so, dass die Gleichung $\(-\dfrac{1}{f$ erfüllt ist.

(1 BE)

Der Graph von $f_0$ ist eine Gerade. Gib die Steigung dieser Gerade und die Koordinaten ihres Schnittpunktes mit der $y$ -Achse an.

(2 BE)

Für einen Wert von $a$ liegt der Punkt $P(1\mid \mathrm e)$ auf dem Graphen von $f_a$ .
Berechne für diesen Wert von $a$ die Größe des Winkels, den der Graph von $f_a$ mit der Parallele zur $x$ -Achse durch den Punkt $P$ einschließt.

(4 BE)

Begründe unter Verwendung der Abbildung 2, dass
$\displaystyle\int_{-0,5}^{1}f_{-1}(x)\;\mathrm dx= \displaystyle\int_{0,5}^{1}f_{-1}(x)\;\mathrm dx$ gilt.

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Abb. 2

(2 BE)

Nun werden alle Funktionen der gegebenen Schar betrachtet.

Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen $a, a_1$ und $a_2$ :

$f_a(0)=0$
$\(f$
$f_{a_1}(x)=f_{a_2}\Leftrightarrow a_1=a_2$ oder $x=0$

Gib an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt.

(3 BE)

Zeige, dass die folgende Aussage für jeden Wert von $a$ richtig ist:

Wird der Graph von $f_a$ mit dem gleichen Faktor $k>0$ sowohl in $x$ -Richtung als auch in $y$ -Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar.

(3 BE)

Für $a \in \mathbb{R} \setminus \{ 0\}$ stimmen die Wendestellen von $f_a$ mit den Lösungen der Gleichung $(a\cdot x^2-3)\cdot x=0$ überein. Gib für alle Werte von $a \in \mathbb{R}$ die Anzahl der Wendestellen von $f_a$ an und begründe deine Angabe.

(5 BE)

Beschreibe die Lage der Punkte $(x\mid y)$ mit $x\cdot y \lt 0$ im Koordinatensystem und begründe, dass keiner dieser Punkte auf einem Graphen der Schar liegt. Zeige, dass jeder Punkt, der sowohl eine positive $x$ -Koordinate als auch eine positive $y$ -Koordinate hat, auf genau einem Graphen der Schar liegt.

(5 BE)

Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf eine Gerade. Begründe, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y=x$ handelt.

(3 BE)

Für jeden positiven Wert von $a$ bilden der Hochpunkt $(v\mid f_a(v))$ des Graphen von $f_a$ , der Punkt $(0\mid 2)$ , der Koordinatenursprung und der Punkt $(v\mid 0)$ die Eckpunkte eines Vierecks. Bestimme ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von $a$ , für den das Viereck den Flächeninhalt $144$ hat.

(5 BE)

(50 BE)

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Koordinaten des Hochpunkts angeben

$f_1(x)=x\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}$

Der CAS liefert den Hochpunkt $H(1\mid 1).$

Nullstelle nachweisen

$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=& 0 \\[5pt] x\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}&=& 0 \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x_0=0.$ Da $\mathrm e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\gt 0$ für alle $x\in \mathbb R,$ ist dies die einzige Nullstelle der Funktion.

Grenzwert angeben

$\lim\limits_{x\to\infty}f_1(x)=0$

Für jede reelle Zahl $u \gt 2022$ schließen der Graph von $f_1,$ die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=u$ ein Flächenstück ein. Dessen Inhalt stimmt ungefähr mit dem Inhalt des Flächenstücks überein, das der Graph von $f_1$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=2022$ einschließen.

$f_2(x)=x\cdot \mathrm e^{-x^2+\frac{1}{2}}$
$\(f_2$ $=\mathrm e^{-x^2+\frac{1}{2}}\cdot(1-2x^2)$

Der vertikale Abstand der beiden Funktionen ist durch ihre Differenz gegeben:

Rechenweg anzeigen

$\( \begin{array}[t]{rll} d(x)&=& f_2(x)-f_2$

Von dieser Funktion ist nun das Maximum gesucht.

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

Ableitungen anzeigen

$\( d$

$\(d$

2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden

Gleichung anzeigen

$\( d$

Der solve-Befehl des CAS liefert $x_1\approx-1,43,\,$ $x_2\approx -0,16$ und $x_3\approx 1,09$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

$\(d$
$\(d$
$\(d$

Die beiden Funktionen haben an diesen Stellen also folgende Abstände:

$d(-1,43)\approx 0,35$
$\mid d(-0,16)\mid \approx 1,78$
$d(1,09)\approx1,24$

Der maximale vertikale Abstand beträgt $1,78\,\text{LE}.$

Die Tangente an den Graphen von $f_2$ an der Stelle $x=1+b$ steht senkrecht zur Tangente des Graphen von $f_2$ an der Stelle $x=1.$

Gleichung anzeigen

$\( -\dfrac{1}{-f_2$

Der solve-Befehl des CAS liefert $b=-1.$

$f_0(x)=x\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}}$

Die Steigung ist gegeben durch $\(f$

Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse ist gegeben durch $f_0(0)=0,$ also hat dieser die Koordinaten $S(0\mid 0).$

1. Schritt: Wert von $\boldsymbol a$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f_a(1)&=& \mathrm e \\[5pt] \mathrm e^{-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}}&=& \mathrm e \\[5pt] \end{array}$

Der solve-Befehl des CAS liefert $a=-1.$

2. Schritt: Winkel berechnen

Der gesuchte Winkel lässt sich wie folgt berechnen:

$\(\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& f$

Der gesuchte Winkel beträgt ca. $80^{\circ}.$

Die Flächen, die der Graph von $f_{-1}$ mit der $x$ -Achse im Intervall $[-0,5;0]$ und $[0;0,5]$ einschließt, sind gleich groß. Da die eine Fläche oberhalb und die andere unterhalb der $x$ -Achse liegt, hat das Intregral über das Intervall $[-0,5;0,5]$ den Wert Null.

Aus der ersten Aussage folgt, dass alle Funktionen der Schar für jedes $a \in \mathbb R$ durch den Koordinatenursprung verlaufen.

Aus der zweiten Aussage folgt weiter, dass die Funktionen im Koordinatenursprung außerdem die gleiche Steigung haben.

Aus der dritten Aussage folgt, dass die Graphen der Funktionenschar für unterschiedliche $a$ keinen weiteren gemeinsamen Punkt haben.

Streckt man den Graphen von $f_a$ mit dem Faktor $k$ in $x$ - und $y$ -Richtung, so ergibt sich die folgende Funktion:

$\begin{array}[t]{rll} k\cdot f_a\left(\dfrac{x}{k}\right)&=& k\cdot \dfrac{x}{k}\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}a\cdot\left(\frac{x}{k}\right)^2+\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& x\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{k^2}\cdot x^2+\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& f_{\frac{a}{k^2}}(x) \end{array}$

Es handelt sich also wieder um eine Funktion der Schar mit dem Parameter $\dfrac{a}{k^2}.$

Für $a=0$ gilt $f_0(x)=\sqrt{\mathrm e}\cdot x.$ Die Funktion ist also eine Gerade und hat somit keinen Wendepunkt.

Für $a\neq 0$ sind die Wendestellen durch die Nullstellen der Gleichung $(a\cdot x^2-3)\cdot x= 0$ gegeben. Nach dem Satz vom Nullprodukt hat die Gleichung die Lösung $x_1=0$ sowie:

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot x^2-3&=& 0 \quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] a\cdot x^2&=& 3 \quad \scriptsize \mid\;:a \\[5pt] x^2&=& \dfrac{3}{a} \end{array}$

Für $a \lt 0$ hat die Gleichung nur die Lösung $x_1=0.$ Damit hat $f_a$ genau eine Wendestelle.

Für $a\gt 0$ hat die Gleichung die Lösungen $x_1=0,\,$ $x_2=\sqrt{\dfrac{3}{a}}$ und $x_3=-\sqrt{\dfrac{3}{a}},$ also hat $f_a$ genau drei Wendestellen.

Lage der Punkte beschreiben

Alle Punkte $(x \mid y)$ mit $x \cdot y \lt 0$ liegen im zweiten oder vierten Quadranten.

Begründen, dass keiner der Punkte auf einem Graphen der Schar liegt

Es gilt $\mathrm e^{-\frac{1}{2}a\cdot x^2+\frac{1}{2}}\gt 0$ für alle $x \in \mathbb R.$ Damit folgt $f_a(x)\gt 0$ für $x \gt 0$ und $f_a(x)\lt 0$ für $x \lt 0.$ Also gilt $x\cdot y \geq 0$ für alle Punkte, die auf einem Graphen der Schar liegen.

Zeigen, dass Punkte auf genau einem Graphen der Schar liegen

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& y \\[5pt] a&=& \dfrac{1}{x^2}\left(1-2\cdot \ln\left(\dfrac{y}{x}\right)\right) \end{array}$

Zu jedem Punkt mit positiver $x$ - und $y$ -Koordinate existiert also genau ein zugehöriger Graph der Schar.

$f_a(x)=x\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}a\cdot x^2+\frac{1}{2}}$ $=-(-x\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot a \cdot (-x)^2+\frac{1}{2}})=-f_a(-x)$

Der Graph von $f_a$ ist also symmetrisch zum Koordinatenursprung. Außerdem hat der Graph von $f_1$ nach Teilaufgabe 1a) den Hochpunkt $H(1\mid1).$ Da die Hochpunkte nach Aufgabenstellung alle auf einer Gerade liegen, ist ihre Gleichung durch $y=x$ gegeben.

Für den Flächeninhalt $A$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 144 \\[5pt] v^2 + \dfrac{1}{2} (2-v) \cdot v &=& 144 \\[5pt] v^2 + v - \dfrac{1}{2} \cdot v^2 &=& 144 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot v^2 + v &=& 144 \\[5pt] \end{array}$

Der solve-Befehl des CAS liefert $v=16.$

hochpunkt, graph, exponentialfunktion, viereck, flächeninhalt

Skizze für $a=1$ und $v=1$

Aus Teilaufgabe e) ist bekannt, dass der Hochpunkt auf der Geraden $y=x$ verläuft. Die Hochpunkte haben also die Koordinaten $H(v\mid v).$ Es muss folglich gelten:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(16)&=& 16 \\[5pt] 16 \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} a \cdot 16^{2}+\frac{1}{2}} &=& 16 \quad \scriptsize \mid\; :16 \\[5pt] \mathrm e^{-\frac{1}{2} a \cdot 16^{2}+\frac{1}{2}} &=& 1 \quad \scriptsize \mid\; \ln(\;) \\[5pt] -\dfrac{1}{2} a \cdot 16^{2}+\dfrac{1}{2} &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; - \dfrac{1}{2} \\[5pt] -\dfrac{1}{2} a \cdot 16^{2} &=& - \dfrac{1}{2} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{-2}{16^2} \\[5pt] a &=&\dfrac{1}{16^2} \\[5pt] a &\approx& 0,0039 \\[5pt] \end{array}$

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