Stochastik 3 - Urlaubsreise

Für ein Land wird die Gruppe derjenigen Personen betrachtet, die im Jahr 2022 eine Urlaubsreise unternahmen. $45\,\%$ dieser Personen sind weiblich. Der Anteil derjenigen, die mit ihrer Urlaubsreise zufrieden waren, beträgt unter den weiblichen Personen $80\,\%$ ; der entsprechende Anteil unter den nicht weiblichen Personen wird mit $a$ bezeichnet.

Für eine Umfrage werden 200 Personen aus der betrachteten Gruppe zufällig ausgewählt. Berechnne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

$A:$

„Mehr als die Hälfte der ausgewählten Personen sind weiblich.“

$B:$

„Höchstens $40\,\%$ der ausgewählten Personen sind weiblich.“

(4 BE)

Aus der Gruppe der Personen, die im Jahr 2022 eine Urlaubsreise unternahmen, wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden die folgenden Ereignisse:

$W:$

„Die Person ist weiblich.“

$Z:$

„Die Person war mit ihrer Urlaubsreise zufrieden.“

Interpretiere den Term $P(W)$ $+P(Z)$ $-2$ $\cdot P(W \cap Z)$ im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Stelle den Sachzusammenhang zu den Ereignissen $W$ und $Z$ in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. Bestimme denjenigen Wert von $a,$ für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person mit ihrer Urlaubsreise zufrieden war, $77,8\,\%$ beträgt.

(4 BE)

Weise nach, dass es in der betrachteten Gruppe für $a=0,7$ weniger weibliche als nicht weibliche Personen geben würde, die mit ihrer Urlaubsreise zufrieden waren.

(2 BE)

Gib denjenigen Wert von $a$ an, für den $W$ und $Z$ stochastisch unabhängig wären, und begründe deine Angabe, ohne zu rechnen.

(3 BE)

Eine ausgewählte Person war mit ihrer Urlaubsreise nicht zufrieden.
Begründe im Sachzusammenhang, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person weiblich ist, mit zunehmendem Wert von $a$ zunimmt.

(3 BE)

Ein großes Reiseunternehmen führt auf seinen Internetseiten ein kostenloses Gewinnspiel durch. Jede Person kann nur einmal an dem Spiel teilnehmen. Als Ergebnis des Spiels wird eine bestimmte Anzahl von Strandkörben angezeigt; diese Anzahl beträgt mindestens 1 und höchstens 5. Im Folgenden sind dazu die möglichen Gewinne beschrieben:

Unter den teilnehmenden Personen, bei denen nur ein Strandkorb angezeigt wird, werden Sachgewinne verlost.
Die teilnehmenden Personen mit zwei, drei, vier oder fünf Strandkörben erhalten jeweils einen Reisegutschein. Der folgenden Tabelle können die Werte der Gutscheine sowie die Wahrscheinlichkeiten für diese Gewinne entnommen werden.

Tabelle anzeigen

Anzahl der Strandkörbe	$2$	$3$	$4$	$5$
Wert des Gutscheins in €	$200$	$500$	$1000$	$10 \;000$
Wahrscheinlichkeit	$8\cdot10^{-4}$	$5\cdot10^{-5}$	$2\cdot10^{-5}$	$3\cdot10^{-6}$

Bei dem Spiel beträgt der Erwartungswert des Gewinns (Sachgewinn und Reisegutschein) pro Person $43,5$ Cent.

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dem Spiel nur ein Strandkorb angezeigt wird, um weniger als ein Tausendstel von $1$ abweicht. Bestimme für die Personen mit einem Strandkorb den Erwartungswert des Gewinns pro Person.

(4 BE)

Es soll davon ausgegangen werden, dass $80000$ Personen an dem Spiel teilnehmen werden. Der Erwartungswert der Anzahl der Personen mit zwei Strandkörben wird mit $\mu$ bezeichnet. Ermittle den kleinsten möglichen ganzzahligen Wert von $c,$ für den die Anzahl der Personen mit zwei Strandkörben mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $80\,\%$ im Intervall $[\mu-c ; \mu+c]$ liegt.

(4 BE)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person nach der Teilnahme am Gewinnspiel eine Reise bei dem Reiseunternehmen bucht, wird mit $p$ bezeichnet. Für das Unternehmen wäre eine Verlängerung des Gewinnspiels für $p \geq 3\,\%$ mit Vorteilen verbunden, für $p\lt 3\,\%$ dagegen mit finanziellen Verlusten. Die Nullhypothese „ $p$ beträgt mindestens $3\,\%$ .“ soll auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden.

Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel für einen Stichprobenumtang von $n=800$ Personen.

(4 BE)

Bei einer Wiederholung der Befragung mit einem Stichprobenumfang von $n=600$ wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn weniger als 11 Personen eine Reise buchen.
Ermittele bei dieser Befragung für zwei geeignete Werte von $p$ den Fehler 2. Art und interpretiere diesen im Sachzusammenhang.

(4 BE)

An einem bestimmten Tag buchen $30$ Personen online eine Reise. $12$ Personen davon sind weiblich. $5$ Personen werden zufällig für ein Gewinnspiel ausgewählt.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass davon alle Personen weiblich sind.

(2 BE)

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den $5$ ausgewählten Personen höchstens $n$ Personen weiblich sind, soll kleiner als $35\,\%$ sein.
Ermittle das größtmögliche $n.$

(4 BE)

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$X:$ Anzahl der weiblichen Personen

$P(A)$ $=P_{0,45}^{200}(X \geq 101)$ $\approx 6,8 \%$

$P(B)$ $=P_{0,45}^{200}(X \leq 80)$ $\approx 8,8 \%$

Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Person entweder weiblich ist oder mit der Reise zufrieden war.

Mit den Pfadregeln folgt:

$0,45 \cdot 0,8+0,55 \cdot a=0,778$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt weiter:

$a = 0,76$

$P(W\cap Z)=0,45\cdot0,8=0,36$

$P(\overline{W}\cap Z)=0,55\cdot 0,7=0,385$

Da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person zufrieden mit der Urlaubsreise war und weiblich ist kleiner als die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Person zufrieden war und nicht weiblich ist, muss es in der Gruppe weniger weibliche als nicht weibliche Personen geben, die mit der Urlaubsreise zufrieden waren.

Für $a=0,8$ ist der Anteil derjenigen, die mit ihrer Urlaubsreise zufrieden waren, unter den nicht weiblichen Personen ebenso groß wie unter den weiblichen. Für diesen Wert von $a$ sind $W$ und $Z$ somit stochastisch unabhängig.

Mit zunehmendem Wert von $a$ nimmt der Anteil derjenigen, die mit ihrer Urlaubsreise nicht zufrieden waren, unter den nicht weiblichen Personen ab, während er unter den weiblichen Personen konstant bleibt. Damit nimmt unter den Personen, die mit ihrer Urlaubsreise nicht zufrieden waren, der Anteil der weiblichen Personen zu.

Wahrscheinlichkeit für einen Strandkorb berechnen

$A:$ Nur ein Strandkorb wird angezeigt

$P(A)$ $= 1-(8 \cdot 10^{-4}$ $+5 \cdot 10^{-5}$ $+2 \cdot 10^{-5}$ $+3 \cdot 10^{-6})$ $=0,999127$

Da $1-0,001$ $= 0,999$ $\lt 0,999127$ gilt, weicht die Wahrscheinlichkeit um weniger als ein Tausendstel von $1$ ab.

Erwartungswert des Gewinns bestimmen

$0,999127 \cdot x$ $+8 \cdot 10^{-4} \cdot 200$ $+5 \cdot 10^{-5} \cdot 500$ $+2 \cdot 10^{-5} \cdot 1000$ $+3 \cdot 10^{-6} \cdot 10000$ $=0,435\;[€]$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$x \approx 0,20\;€$

Wert von $\mu$ bestimmen

$\mu$ $= n\cdot p$ $= 80000 \cdot 8 \cdot 10^{-4}$ $=64$

Wert von $c$ ermitteln

Systematisches Ausprobieren liefert:

$P_{8 \cdot 10^{-4}}^{80000}(55 \leq X \leq 73)$ $\approx 77\,\%$

$P_{8 \cdot 10^{-4}}^{80000}(54 \leq X \leq 74)$ $\approx 81\,\%$

Der kleinstmögliche Wert für $c$ , für den die Anzahl der Personen mit zwei Strandkörben mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $80\,\%$ im Intervall $[\mu-c ; \mu+c]$ liegt, beträgt somit $c=10.$

$Y:$ Anzahl der Personen, die nach der Teilnahme am Gewinnspiel eine Reise buchen

Systematisches Ausprobieren liefert:

$P_{0,03}^{800}(Y \leq 15)$ $\approx 0,0324$

$P_{0,03}^{800}(Y \leq 16)$ $\approx 0,0536$

Da die Wahrscheinlichkeit von $Y \leq 16$ erstmals über dem Signifikanzniveau von $5\,\%$ liegt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn höchstens 15 Personen der Stichprobe eine Reise buchen.

1. Schritt: Fehler 2. Art ermitteln

Zu betrachten sind die Fälle, in denen $p\lt3\,\%$ gilt, aber die Nullhypothese nicht abgelehnt wird. Zwei geeignete Werte sind somit $p=1\,\%$ und $p=2\,\%:$

$P_{0,01}^{600}(Y \geq 11)$ $\approx 0,0418$ $\approx 4,2 \%$

$P_{0,02}^{600}(Y \geq 11)$ $\approx 0,6549$ $\approx 65,5 \%$

2. Schritt: Ergebnisse im Sachzusammenhang interpretieren

Wenn der tatsächliche Wert von $p$ nur leicht unterhalb von $3\,\%$ liegt, ist die Wahrscheinlichkeit groß, die Nullhypothese nicht abzulehnen, obwohl sie nicht zutreffend ist.

$X:$ Anzahl der weiblichen Personen unter den für das Gewinnspiel ausgewählten Personen

$P(X=5)$ $=\dfrac{\pmatrix{12\\5}\cdot\pmatrix{18\\0}}{\pmatrix{30\\5}}$ $\approx 0,6 \,\%$

Mit der Zufallsvariable $X$ aus Aufgabenteil e) soll gelten:

$P(X \leq n)$ $=\dfrac{\pmatrix{12\\0}\cdot\pmatrix{18\\5}}{\pmatrix{30\\5}}$ $+\dfrac{\pmatrix{12\\1} \cdot\pmatrix{18\\4}}{\pmatrix{30\\5}}$ $+\ldots$ $+\dfrac{\pmatrix{12\\n} \cdot\pmatrix{18\\5-n}}{\pmatrix{30\\5}}$ $\lt35\,\%$

Eingabe in den CAS liefert: