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Abi-Aufgaben LK (WTR)

Abi-Aufgaben LK (CAS)

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Analytische Geometrie 3.2 - Würfel

Würfel

Die Abbildung zeigt den Würfel $ABCDEFGH$ mit $A(0\mid 0\mid 0)$ und $G(5\mid 5\mid 5)$ in einem kartesischen Koordinatensystem.
Die Ebene $T$ schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten $I(5\mid 0\mid 1)$ , $J(2\mid 5\mid 0)$ , $K(0\mid 5\mid 2)$ und $L(1\mid 0\mid 5)$ .

Würfel

Abb. 4

a)

Zeichne das Viereck $IJKL$ in die Abbildung ein.

(2 BE)

b)

Zeige, dass das Viereck $IJKL$ ein Trapez ist, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

(3 BE)

c)

Ermittle eine Gleichung der Ebene $T$ in Koordinatenform.
[zur Kontrolle: $T:5x+4y+5z=30$ ]

(3 BE)

d)

Spiegelt man $T$ an der Ebene mit der Gleichung $x=2,5$ , so erhält man die Ebene $T‘$ .
Zeige, dass $T‘$ durch die Gleichung $-5x+4y+5z=5$ beschrieben wird.
Berechne die Größe des Winkels, unter dem sich $T$ und $T‘$ schneiden.

(6 BE)

e)

Die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche $IJKL$ liegt auf der Strecke $\overline{FG}$ .
Untersuche, ob die Höhe dieser Pyramide $\dfrac{18}{\sqrt{66}}$ betragen kann.
Gib an, welcher Punkt auf der Strecke $\overline{FG}$ den größten Abstand zur Ebene $T$ hat.
Begründe deine Angabe.

(6 BE)

Betrachtet wird die Schar der Geraden $g_a:\overrightarrow{x}=\pmatrix{2,5\\0\\3,5}+r\cdot\pmatrix{0\\-10a\\\frac{2}{a}}$ mit $a\in \mathbb R^+$ und $r\in \mathbb R.$

f)

Begründe ohne zu rechnen, dass keine Gerade der Schar in der Ebene mit der Gleichung $z=3,5$ liegt.

(2 BE)

g)

Untersuche, ob die Schnittgerade von $T$ und $T‘$ zur betrachteten Schar gehört.

(4 BE)

(25 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

© - SchulLV.

a)

$\blacktriangleright$ Viereck einzeichnen

Viereck

Abb. 1: Viereck einzeichnen

b)

$\blacktriangleright$ Trapezform mit zwei gleich langen Seiten zeigen

In der Abbildung von oben kannst du erkennen, dass die beiden parallelen Seiten des Trapezes vermutlich die beiden Seiten $\overline{LI}$ und $\overline{KJ}$ sind. Für die zugehörigen Verbindungsvektoren folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{LI} &=& \pmatrix{4\\0\\-4} \\[5pt] \overrightarrow{KJ} &=& \pmatrix{2\\0\\-2} \end{array}$

Es gilt $\overrightarrow{LI} = 2\cdot \overrightarrow{KJ}.$ Die beiden Vektoren $\overrightarrow{LI}$ und $\overrightarrow{KJ}$ sind also linear abhängig und damit parallel zueinander. Daher sind auch die zugehörigen Vierecksseiten $\overline{LI}$ und $\overline{KJ}$ parallel zueinander. Es handelt sich bei dem Viereck $IJKL$ daher um ein Trapez.
Gefordert ist nun noch zu zeigen, dass die beiden anderen gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Die Länge der Seiten $\overline{LK}$ und $\overline{IJ}$ kannst du mithilfe des Vektorbetrags berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \overline{LK}&= \sqrt{35} \\[10pt] \overline{IJ}&= \sqrt{35} \\[10pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Es ist also $\overline{LK} = \overline{IJ}.$ Die beiden gegenüberliegenden Seiten $\overline{LK}$ und $\overline{IJ}$ sind also gleich lang. Das Viereck $IJKL$ ist also ein Trapez, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

c)

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Koordinatenform ermitteln

Ein Normalenvektor von $T$ kann über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren beispielsweise der drei Punkte $I,$ $J$ und $K$ bestimmt werden. Das Kreuzprodukt kannst du auch mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen.

$\overrightarrow{n} = 2\cdot \pmatrix{5\\4\\5}$

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Für die Ebenengleichung kann nun sowohl der gekürzte Normalenvektor als auch der ursprüngliche verwendet werden. Mit einer Punktprobe mithilfe der Koordinaten eines der vier Punkte folgt:

$d = 30$

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Eine Gleichung von $T$ in Koordinatenform lautet:

$T: \,...$

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d)

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung zeigen

Spiegle zunächst einen Punkt von $T$ an der Ebene mit $x=2,5.$ Die gespiegelte Ebene $T‘$ muss diesen gespiegelten Punkt $P‘$ sowie die Schnittgerade von $T$ und der Ebene mit $x=2,5$ enthalten.

1. Schritt: Einen Punkt von $T$ spiegeln

Betrachte beispielsweise den Punkt $I(5\mid 0\mid 1),$ der in $T$ liegt. Da die Ebene $U$ mit der Gleichung $x=2,5$ parallel zur $yz$ -Ebene verläuft, ändert sich bei einer Spiegelung eines beliebigen Punktes $P$ an dieser Ebene lediglich die $x$ -Koordinate. Die $y$ - und $z$ -Koordinate bleiben gleich.
Der neue Spiegelpunkt $I‘$ muss den gleichen Abstand zur Ebene mit $x=2,5$ besitzen, wie sein Original $I.$ Die $x$ -Koordinate von $I‘$ muss also $x‘ = 0$ sein. Dann haben beide Punkte einen Abstand von $2,5$ zur Ebene mit $x=2,5.$

$I‘(0\mid 0\mid 1).$

2. Schritt: Schnittgerade bestimmen

Bestimme die Schnittgerade von $T$ mit der Ebene, an der gespiegelt werden soll, also mit $x=2,5.$ Setze dazu $x=2,5$ in die Ebenengleichung von $T$ ein:

$4y +5z= 17,5$

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Setze nun eine der beiden Koordinaten als Geradenparameter fest, beispielweise $y = t.$ Dann erhältst du:

$z=3,5 - 0,8t$

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Für die Punkte auf der Schnittgeraden $s$ gilt nun:

$s: ...$

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3. Schritt: Ebenengleichung bestimmen

$T‘$ muss die Gerade $s$ und den Punkt $I‘$ enthalten. Ein Vektor, der die Ebene aufspannt ist daher der Richtungsvektor von $s$ mit $\pmatrix{0\\1\\-0,8}.$ Ein zweiter Spannvektor ist der Verbindungsvektor von $I‘$ und dem Stützpunkt $S$ von $s,$ den du aus der Geradengleichung ablesen kannst $S(2,5\mid 0 \mid 3,5).$

$\overrightarrow{I‘S} = \pmatrix{2,5\\0\\2,5}$

Einen Normalenvektor von $T‘$ kannst du nun über das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren bestimmen:

$\overrightarrow{n}_{T‘} = -0,5\cdot \pmatrix{-5\\4 \\ 5}$

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Da alle Vielfachen von $\pmatrix{2,5 \\ -2 \\ - 2,5 }$ Normalenvektoren von $T‘$ sind, kann man nun entweder den ursprünglichen Vektor $\pmatrix{2,5\\-2\\-2,5}$ oder den erweiterten Vektor $\pmatrix{-5\\4\\5}$ für die Ebenengleichung von $T‘$ verwenden.
Da du zeigen sollst, dass $T‘$ durch die Gleichung $-5x +4y+5z = 5$ beschrieben werden kann, musst du allerdings $\pmatrix{-5\\4\\5}$ verwenden. Die Ebenengleichung von $T‘$ in Koordinatenform hat also folgende Form:

$T‘: \, -5x +4y +5z = d$

Eine Punktprobe mit den Koordinaten von $I‘$ liefert:

$d = 5$

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Die Ebene $T‘$ kann also durch die Gleichung $-5x +4y +5z = 5$ beschrieben werden.

$\blacktriangleright$ Größe des Schnittwinkels berechnen

Die Größe des Schnittwinkels $\alpha$ von $T$ und $T‘$ kannst du mithilfe der Normalenvektoren über die entsprechende Formel berechnen:

$\alpha \approx 76^{\circ}$

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Die beiden Ebenen $T$ und $T‘$ schneiden sich unter einem Winkel der Größe von ca. $76^{\circ}.$

e)

$\blacktriangleright$ Mögliche Höhe der Pyramide untersuchen

Die Grundfläche $IJKL$ der Pyramide liegt vollständig in der Ebene $T.$ Die Höhe der Pyramide entspricht daher dem Abstand der Spitze zur Ebene $T.$
Die Spitze liegt auf der Strecke $\overline{FG}.$ Diese ist Teil der Geraden durch die beiden Punkte $F$ und $G.$ Die Koordinaten von $F$ kannst du anhand der Koordinaten von $A$ und $G$ zu $F(5\mid 0\mid 5)$ bestimmen. Die Gerade durch $F$ und $G$ kann daher durch folgende Gleichung beschrieben werden:

$\begin{array}[t]{rll} FG:\, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OF} + t\cdot \overrightarrow{FG} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\0\\5} + t\cdot \pmatrix{0\\5\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\5t\\5} \\[5pt] \end{array}$

Überprüfe, ob es einen Punkt auf dieser Gerade gibt, der zur Ebene $T$ den Abstand $\frac{18}{\sqrt{66}}$ hat und ob dieser auf der Kante $\overline{FG}$ liegt.

1. Schritt: Punkt mit dem Abstand berechnen

Den Abstand eines Punktes zu einer Ebene kannst du mithilfe der Hesseschen Normalenform darstellen. Für die Hessesche Normalenform von $T$ folgt:

$T:\, \frac{5x+4y+5z-30}{ \sqrt{66}} = 0$

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Der Abstand eines Punkts $P(x\mid y\mid z)$ zu $T$ beträgt also:

$d(P,T) = \frac{\left|5x +4y +5z -30\right|}{ \sqrt{66}}$

Einsetzen der Koordinaten der Punkte von $FG$ liefert eine Gleichung, die du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen kannst:

$\begin{array}[t]{rll} t_1 &=& -0,1 \\[5pt] t_2 &=& -1,9 \\[5pt] \end{array}$

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2. Schritt: Lage auf der Kante überprüfen

Die Punkte auf der Geraden durch $F$ und $G$ mit der Gleichung $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{OF} + t\cdot \overrightarrow{FG}$ liegen für $0\leq t \leq 1$ zwischen den Punkten $F$ und $G,$ also auf der Strecke $\overline{FG}.$ Für andere Werte von $t$ liegen die Punkte nicht auf der Strecke $\overline{FG}.$ Beide Werte von $t,$ die oben berechnet wurden, sind negativ. Die zugehörigen Punkte mit dem Abstand $\frac{18}{\sqrt{66}}$ zu $T$ liegen nicht auf der Strecke $\overline{FG}.$
Die Pyramide kann also nicht die Höhe $\frac{18}{\sqrt{66}}$ besitzen.

$\blacktriangleright$ Punkt mit dem größten Abstand angeben

Der Abstand eines Punktes zur Ebene $T$ kann mithilfe der Hesseschen Normalenform wie folgt beschrieben werden:

$d(P,T) = \dfrac{\left|5x +4y +5z -30\right|}{ \sqrt{66}}$

Die Punkte auf der Strecke $\overline{FG}$ können wie oben angegeben für $0\leq t \leq 1$ durch folgenden Ortsvektor beschrieben werden:

$\pmatrix{5\\5t\\5}$

Durch einsetzen in den Term für den Abstand, erhältst du eine Funktion für den benötigten Abstand in Abhängigkeit von $t:$

$d(t) = \dfrac{\left|20+20t \right|}{\sqrt{66}}$

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Aufgrund des Betragsstriches hat der zugehörige Graph folgende Form:

Abstandsfunktion

Abb. 2: Graph der Abstandsfunktion

Von oben weißt du bereits, dass für $t_1 = -0,1$ und $t_2 = -1,9$ der Funktionswert von $d$ identisch ist. Der kleinste Funktionswert Null muss daher zwischen diesen beiden Werten liegen. Der kleinste Funktionswert wird also ebenfalls für ein negatives $t$ angenommen.
Insbesondere für positive Werte von $t$ wird daher mit steigendem Wert von $t$ auch der Funktionswert $d(t)$ größer.
Für $t=0$ wird auf der Geraden $FG$ der Punkt $F$ beschrieben. Für $t=1$ wird auf der Geraden der Punkt $G$ beschrieben. Für $0 \lt t \lt 1$ werden die Punkte zwischen $F$ und $G$ beschrieben.
Da für alle $t\geq 0$ gilt, dass mit steigendem Wert von $t$ auch der Abstand $d(t)$ steigt, ist daher $G$ der Punkt auf $\overline{FG}$ mit dem größten Abstand zu $T.$

f)

$\blacktriangleright$ Lage der Geraden begründen

Damit eine Gerade in der Ebene mit der Gleichung $z=3,5$ liegt, muss die $z$ -Koordinate jedes Punktes auf dieser Geraden $3,5$ sein. Dazu muss die $z$ -Koordinate des Richtungsvektors Null sein.
Bei der Geradenschar $g_a$ ist die $z$ -Koordinate des Richtungsvektors $\frac{2}{a}.$ Diese kann also in keinem Fall Null werden. Daher liegt keine der Geraden $g_a$ in der Ebene mit der Gleichung $z=3,5.$

g)

$\blacktriangleright$ Zugehörigkeit zur Schar überprüfen

Die Schnittgerade von $T$ und $T‘$ ist auch die Schnittgerade von $T$ und der Ebene mit $x=2,5\,,$ an der $T$ gespiegelt wurde. Eine Gleichung dieser Schnittgerade wurde in d) bereits ermittelt:

$s:\, \overrightarrow{x} = ...$

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Die Geraden der Schar $g_a$ besitzen folgende Gleichung:

$g_a: \, \overrightarrow{x} = ...$

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Durch einen Vergleich der Terme lässt sich feststellen, dass die Stützvektoren von $s$ und $g_a$ in jedem Fall identisch sind. Bleibt noch zu überprüfen, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Dies ist der Fall, wenn es ein $c\in \mathbb{R}$ gibt, mit:

$\pmatrix{0 \\ 1\\ -0,8} = c\cdot \pmatrix{0 \\ -10a\\ \frac{2}{a}}$

Aus der zweiten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 1 &=& c\cdot(-10a) &\quad \scriptsize \mid\; :(-10)c \\[5pt] -\frac{0,1}{c} &=& a \end{array}$

Einsetzen in die dritte Gleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} c_1 &=& -0,2 \\[5pt] c_2 &=& 0,2 \end{array}$

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Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} a_1 &=& -\frac{0,1}{c_1} \\[5pt] &=& -\frac{0,1}{-0,2} \\[5pt] &=& 0,5\\[10pt] a_2 &=& -\frac{0,1}{c_2} \\[5pt] &=& -\frac{0,1}{0,2} \\[5pt] &=& -0,5\\[10pt] \end{array}$

Da in der Aufgabenstellung $a\in \mathbb{R}^+$ vorgegeben ist, kommt nur $a_1= 0,5$ und $c_1 = -0,2$ infrage. Da der Richtungsvektor von $s$ also linear abhängig zum Richtungsvektor der Geraden $g_{0,5}$ ist und die Stützvektoren beider Geradengleichungen übereinstimmen, beschreibt die Gleichung von $s$ auch die Gerade $g_{0,5}.$ Die Schnittgerade $s$ von $T$ und $T‘$ ist daher eine Gerade der Schar $g_a.$

Bildnachweise [nach oben]

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