Analytische Geometrie 3.1 - Doppelpyramide

Analytische Geometrie: Doppelpyramide

Gegeben sind die Punkte $A(5 \mid -5 \mid 12),$ $B(5 \mid 5 \mid 12)$ und $C(-5 \mid 5 \mid 12).$

Zeige, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist.

(2 BE)

Begründe, dass $A,$ $B$ und $C$ Eckpunkte eines Quadrats sein können, und gib die Koordinaten des vierten Eckpunkts $D$ dieses Quadrats an.

(3 BE)

Im Folgenden wird die abgebildete Doppelpyramide betrachtet. Die beiden Teilpyramiden $ABCDS$ und $ABCDT$ sind gleich hoch.
Der Punkt $T$ liegt im Koordinatenursprung, der Punkt $S$ ebenfalls auf der $z$ -Achse.
Die Seitenfläche $BCT$ liegt in einer Ebene $E.$

Diagramm eines geometrischen Körpers mit Punkten und Achsen zur Darstellung von Raumkoordinaten.

Die Doppelpyramide hat 12 Kanten. Jede Kante liegt auf einer Geraden, die durch zwei Eckpunkte der Doppelpyramide festgelegt ist. Die Kante $\overline{BT}$ der Doppelpyramide liegt auf der Geraden $g_1.$
Gib jeweils zwei Eckpunkte an, durch die eine Gerade $g_2$ und eine Gerade $g_3$ verlaufen, für die gilt:

$g_1$ und $g_2$ sind windschief
$g_1$ und $g_3$ sind echt parallel

(2 BE)

Ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks $BCT.$

(3 BE)

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $12y-5z=0$ )

(3 BE)

Bestimme die Größe des Winkels, den die Seitenfläche $BCT$ mit der Fläche $ABCD$ einschließt.

(3 BE)

Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen $E_k : ky -5z = 5k-60$ mit $k \in \mathbb{R}.$

Alle Ebenen der Schar schneiden sich in einer Gerade. Weise nach, dass die Kante $\overline{BC}$ auf dieser Geraden liegt.

(2 BE)

Ermittle diejenigen Werte von $k,$ für die $E_k$ mit der Seitenfläche $ADS$ mindestens einen Punkt gemeinsam hat.

(4 BE)

Die Seitenfläche $ADT$ liegt in der Ebene $F.$ Gib einen Normalenvektor von $F$ an und begründe deine Angabe, ohne die Koordinaten von $A$ und $D$ zu verwenden.
Bestimme denjenigen Wert von $k,$ für den $E_k$ senkrecht zu $F$ steht.

(4 BE)

Die Doppelpyramide wird so um die $x$ -Achse gedreht, dass die bisher mit $BCT$ bezeichnete Seitenfläche in der $xy$ -Ebene liegt und der bisher mit $S$ bezeichnete Punkt eine positive $y$ -Koordinate hat.
Bestimme diese $y$ -Koordinate und veranschauliche dein Vorgehen durch eine Skizze.

(4 BE)

Die Ebene $H$ mit $H: z = 4$ teilt die Doppelpyramide in zwei Teilkörper.
Ermittle die Volumina der beiden Teilkörper.

(5 BE)

Die Doppelpyramide wird durch eine Ebene $G$ geschnitten. Die Schnittfläche der Ebene $G$ mit der Doppelpyramide ist ein Drachenviereck. Der Schnittpunkt der Diagonalen dieses Drachenvierecks ist der Punkt $M(4 \mid 4 \mid 12).$ Ein Eckpunkt dieses Drachenvierecks ist der Punkt $T.$
Ermittle die Koordinaten der anderen drei Eckpunkte des Drachenvierecks.

(5 BE)

(40 BE)

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Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn mindestens zwei Seiten die gleiche Länge haben.

$\overrightarrow{AB}=\pmatrix{0\\10\\0}\quad\overrightarrow{BC}=\pmatrix{-10\\0\\0}$
$\mid\overrightarrow{AB}\mid=10\quad\mid\overrightarrow{BC}\mid=10$

Somit ist das Dreieck gleichschenklig.

Damit die drei Punkte den Eckpunkten eines Quadrats entsprechen, muss das Dreieck $ABC$ einen rechten Winkel haben. Das Skalarprodukt von zwei Richtungsvektoren muss also null sein.

$\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{BC}=\pmatrix{0\\10\\0}\circ \pmatrix{-10\\0\\0}=0$

Nun wird der Punkt $D$ ermittelt. Es gilt:

$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}=\pmatrix{0\\-10\\0}$
$\pmatrix{-5\\5\\12}+\pmatrix{0\\-10\\0}=\pmatrix{-5\\-5\\12}$

$\overrightarrow{OD}=\pmatrix{-5\\-5\\12}$

Zwei Geraden sind windschief zueinander, wenn sie sich in einem Punkt schneiden. $g_1$ und $g_2$ sind windschief, wenn $g_2$ durch die Punkte $A$ und $T$ verlaufen.

$g_1$ und $g_3$ verlaufen paralell zueinander, wenn $g_3$ durch die Punkte $D$ und $S$ verläuft.

Zunächst wird der Mittelpunkt $M$ der Strecke $\mid\overrightarrow{BC}\mid$ bestimmt:

$\overrightarrow{OM}=\pmatrix{0\\5\\12}$

Nun wird die Länge der Strecken $\mid\overrightarrow{MT}\mid$ und $\mid\overrightarrow{BC}\mid$ berechnet:

$\mid\overrightarrow{MT}\mid=\mid-\pmatrix{0\\5\\12\\}\mid=\sqrt{0^2+5^2+12^2}$ $=\sqrt{169}=13$
$\mid\overrightarrow{BC}\mid=\mid-\pmatrix{-10\\0\\0\\}\mid=\sqrt{100}=10$

$A_{BCT}=\mid\overrightarrow{MT}\mid\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\mid\overrightarrow{BC}\mid=13\cdot\dfrac{1}{2}\cdot10$ $=65$

Die Punkte $B$ , $C$ und $T$ liegen in der Ebenen $E$ . Als Stützpunkt kann der Punkt $T$ verwendet werden. Als Spannvektoren werden $\overrightarrow{BT}$ und $\overrightarrow{BC}$ gewählt.

$E:\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\0\\0\\}+s\cdot\overrightarrow{BT}+s\cdot\overrightarrow{BC}$ $=\pmatrix{0\\0\\0\\}+s\cdot\pmatrix{-5\\-5\\-12\\}+t\cdot\pmatrix{-10\\0\\0\\}$

Es ergibt sich:
$\text{I}:x=-5s-10t$
$\text{II}:y=-5s$
$\text{III}:z=-12s$

Nun wird das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren berechnet. Es gibt den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ an.
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{0\\12\\-5\\}$

Somit lautet die Koordinatenform:
$12y-5z=0$

$\tan(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Die Gegenkathete entspricht der halben Strecke $\mid\overrightarrow{ST}\mid$ . Die Ankathete entspricht der halben Strecke $\mid\overrightarrow{BC}\mid.$

$\tan(\alpha)=\dfrac{0,5\cdot\mid\overrightarrow{ST}\mid}{\mid\overrightarrow{BC}\mid}=\dfrac{0,5\cdot24}{0,5\cdot10}=\dfrac{12}{5}$

$\alpha=67,4°$

Wenn die Punkte $B$ und $C$ in der Ebenenschar $E_k$ liegen, liegt die gesamte Gerade $\overrightarrow{BC}$ ebenfalls in $E_k$ Die beiden Punkte werden also in die Ebenengleichung eingesetzt.

$B:\quad k\cdot5-5\cdot12=5\cdot k +60$
$C:\quad k\cdot5-5\cdot12=5\cdot k +60$

Somit liegt $\overrightarrow{BC}$ in $E_k.$

Zunächst wird der allgemeine Schnittpunkt $S_k$ von der Ebenenschar und der $x$ -Achse bestimmt:

$k\cdot0-5\cdot1=5k-60$
$z=12-k$

$S_k(0\mid0\mid12-k)$

Damit es mindestens einen Schnittpunkt zwischen $E_k$ und $ADS$ gibt, müssen die $z$ -Koordinaten des Schnittpunkts mindestens 12 und höchstens 24 betragen. Für $k$ gilt somit:

$-12\leq k\leq0$

Der Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$ der Ebenen $F$ entspricht dem Normalenvektor der Ebenen $E$ an der $xz$ -Ebene gespiegelt.

$\overrightarrow{n_F}=\pmatrix{0\\-12\\-5\\}$

Zwei Ebenen stehen senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren null ergibt.

$\pmatrix{0\\-12\\-5\\}\circ\pmatrix{0\\k\\-5\\}=0-12k+25$

$-12k+25=0$
$12k=25$

$k=\dfrac{25}{12}$

Der Winkel $\beta$ liegt zwischen der Ebene $BCT$ und der $xz$ -Ebene. Somit ergibt sich für den Kosinus:

$\cos(\beta)=\dfrac{y_S}{24}$

$\beta$ kann aus mit Hilfe von $\alpha$ aus Teilaufgabe f) bestimmt werden:

$\beta=90°-\alpha=90°-67,4°=22,6°$

Somit gilt:

$y_S=\cos(\beta)\cdot24=\cos(22,6°)\cdot24$ $=22,16$

Diagramm mit Koordinaten, Linien und Winkeln zur Darstellung geometrischer Beziehungen.

Der erste Teilkörper $\(A$ ist eine kleine Pyramide. Der zweite Teilkörper ist ein eine abgeschnittene Doppelpyramide. Zunächst wird das Volumen der kleinen Pyramide berechnet.