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Abi-Aufgaben LK (WTR)

Abi-Aufgaben LK (CAS)

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Analysis 2.2 - Funktionenschar

Funktionenschar

1

Für jeden Wert von $k\in\mathbb{R}^+$ ist eine Funktion $f_k$ durch $f_k(x)=8k\cdot(kx-1)^2\cdot(kx+1)^2;$ $x\in\mathbb{R}$ festgelegt. Die Graphen von $f_k$ werden mit $G_k$ bezeichnet.

$\,$

a)

Berechne die Koordinaten der Punkte, die $G_k$ mit den Koordinatenachsen gemeinsam haben.
Skaliere in der Abbildung $1$ die beiden Achsen so, dass die gezeigte Kurve den Graphen $G_{0,25}$ darstellt.

Graf einer parabolischen Funktion mit symmetrischer Kurve.

Abb. 1:

(4 BE)

$\,$

b)

Beschreibe, wie die Graphen $G_{2k}$ aus $G_k$ hervorgehen.

Begründe, dass $f_k(x)=8k\cdot(k^2x^2-1)^2$ gilt, und zeige, dass $G_k$ symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse sind.

(5 BE)

$\,$

c)

Ermittle, für welche Werte von $k\gt 0$ die Wendepunkte der Graphen $G_{2k}$ und $G_k$ im ersten Quadranten den Abstand $4\,\text{LE}$ besitzen.

(6 BE)

$\,$

d)

Für einen Wert von $k$ gibt es einen Punkt $(x_1\mid f_k(x_1))$ mit $x_1>1$ , für den die Gleichung

$\dfrac{f_k(x_1)-0}{x_1-0}=-\dfrac{1}{f‘_k(x_1)}$ gilt.

Beschreibe die geometrische Bedeutung dieser Gleichung.

(3 BE)

$\,$

$G_k$ schließt im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein. Die Abbildung $2$ zeigt dieses Flächenstück (grau markiert) sowie das Rechteck mit den Eckpunkten $(0\mid f_k(0))$ und $\left(\dfrac{1}{k}\mid 0\right)$ , dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen sind.

Flächenstück

Abb. 2

$\,$

e)

Berechne den Inhalt des Flächenstücks.

(3 BE)

$\,$

f)

Bei Rotation des Rechtecks um die $x$ -Achse entsteht ein Körper, ebenso bei Rotation um die $y$ -Achse.
Skizziere einen der beiden Körper und beschriften Sie die Skizze mit den Maßen des Körpers.
Ermittle denjenigen Wert von $k$ , für den die beiden Körper das gleiche Volumen haben.

(4 BE)

$\,$

g)

Bei Rotation des grau markierten Flächenstücks um die $y$ -Achse entsteht ein weiterer Körper.
Begründe, dass das Volumen dieses Körpers mit zunehmendem Wert von $k$ beliebig klein wird.

(4 BE)

2

Im Folgenden werden die in $\mathbb R$ definierten Funktionen $f$ mit
$f(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2+4$ und $g$ mit $g(x)=(x-2)^2\cdot \mathrm e^x$ betrachtet.

$\,$

a)

Die Funktion $f$ ist eine Funktion der Schar aus Aufgabe 1.
Ermittle den zugehörigen Wert von $k$ .
Zwei Extrempunkte des Graphen von $f$ liegen auf dem Graphen von $g$ .
Berechne die Koordinaten dieser Punkte.

(4 BE)

$\,$

b)

Die Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f$ und $g$ für $0\leq x\leq 2$ .
Ordne jeden der Graphen $\text{I}$ und $\text{II}$ der passenden Funktion zu und begründe deine Zuordnung.

Graphen Zuordnung

Abb. 3

(2 BE)

$\,$

c)

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $P(p\mid g(p))$ mit $0\lt p \lt 2$ .
Ermittle rechnerisch denjenigen Wert von $p$ , für den diese Tangente die $x$ -Achse im Punkt $Q(2\mid 0)$ schneidet.

(5 BE)

(40 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[3]

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1

a)

$\blacktriangleright$ Gemeinsame Punkte mit den Achsen berechnen

Für die gemeinsamen Punkte mit der $x$ -Achse muss $f_k(x)=0$ gelten:

$(kx-1 )^2 \cdot (kx+1)^2=0$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt nun, dass $\text{I})\, kx-1 =0$ oder $\text{II})\, kx+1 =0$ sein muss:

$x_1 = \frac{1}{k}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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$x_2 = -\frac{1}{k}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Die gemeinsamen Punkte mit der $x$ -Achse sind also $S_{x_1}\left(\frac{1}{k} \mid 0\right)$ und $S_{x_2}\left(-\frac{1}{k} \mid 0\right).$ Für die Schnittpunkte mit der $y$ -Achse erhältst du:

$f_k(0) = 8k$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Der Graph von $f_k$ hat mit der $y$ -Achse also den Punkt $S_y(0\mid 8k)$ gemeinsam.

$\blacktriangleright$ Achsen skalieren

Orientiere dich an den berechneten Koordinaten der gemeinsamen Punkte mit den Achsen. Für $k =0,25$ gilt:

$S_{x_1}\left(4 \mid 0\right),$ $S_{x_2}\left(-4 \mid 0\right)$ und $S_y(0\mid 2).$

Skalierung

Abb. 1: Skalierung für $G_{0,25}$

$\,$

b)

$\blacktriangleright$ Zusammenhang der Graphen beschreiben

Es ist:

$f_{2k}(x) = 2\cdot f_k(2x)$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Durch den Faktor $2$ direkt vor dem $x$ findet im Graphen eine Stauchung in $x$ -Richtung um den Faktor $2$ statt. Durch den Faktor $2$ vor dem Funktionsterm findet eine Streckung in $y$ -Richtung statt. Der Graph von $G_{2k}$ geht aus dem Graphen von $G_k$ also durch eine Stauchung in $x$ -Richtung um den Faktor $2$ und eine anschließende Streckung in $y$ -Richtung um den Faktor $2$ hervor.

$\blacktriangleright$ Funktionsterm begründen

$f_k(x) = ...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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$\blacktriangleright$ Symmetrie zeigen

$f_k(-x) = f_k(x)$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Es gilt also $f_k(-x)= f_k(x).$ $G_k$ ist also symmetrisch zur $y$ -Achse.

$\,$

c)

$\blacktriangleright$ Parameterwerte ermitteln

Bestimme zunächst die Koordinaten der Wendepunkte von $G_k$ in Abhängigkeit von $k.$

1. Schritt: Ableitungsfunktionen definieren

Definiere die Funktion $f_k$ sowie ihre ersten drei Ableitungsfunktionen in deinem CAS. Den Befehl für eine Ableitung findest du unter:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Wendestellen anwenden

Für eine Wendestelle $x_W$ muss $f_k‘‘(x_W)=0$ erfüllt sein. Mit dem solve-Befehl deines CAS erhältst du mögliche Wendestellen:

$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& \dfrac{-\sqrt{3}}{3k} \\[5pt] x_2 &=& \dfrac{\sqrt{3}}{3k} \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Wendestellen überprüfen

Da die Wendepunkte betrachtet werden, die für $k\gt 0$ im ersten Quadranten liegen und in dem Fall $x_1 \lt 0$ ist, genügt es $x_2$ zu betrachten:

$f_k‘‘‘(x_2) \neq 0$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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4. Schritt: Zugehörige $y$ -Koordinate bestimmen

$f_k(x_2) = \dfrac{32\cdot k}{9}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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5. Schritt: Parameterwerte bestimmen

Der Graph $G_k$ besitzt im ersten Quadranten genau einen Wendepunkt. Dieser hat die Koordinaten $W_k\left(\frac{\sqrt{3}}{3k} \mid \frac{32k}{9} \right).$
Der Graph $G_{2k}$ besitzt im ersten Quadranten also den Wendepunkt mit den Koordinaten $W_{2k}\left( \frac{\sqrt{3}}{3\cdot (2k)} \mid \frac{32\cdot (2k)}{9} \right)$ also $W_{2k}\left( \frac{\sqrt{3}}{6k} \mid \frac{64k}{9} \right) .$
Der Abstand der beiden Wendepunkte soll $4\,\text{LE}$ betragen. Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} k_1 &\approx& -0,07 \\[5pt] k_2 &\approx& 0,07 \\[5pt] k_3 &\approx& -1,12\\[5pt] k_4 &\approx& 1,12 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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$k_1$ und $k_3$ sind negativ. Für $k_2 \approx 0,07$ und $k_4 \approx 1,12$ besitzen die Wendepunkte von $G_k$ und $G_{2k}$ im ersten Quadranten einen Abstand von $4\,\text{LE}.$

$\,$

d)

$\blacktriangleright$ Geometrische Bedeutung beschreiben

Der Term $\dfrac{f_k(x_1) -0 }{x_1 -0}$ beschreibt die Steigung der Geraden durch den Punkt $(x_1\mid f_k(x_1))$ und den Koordinatenursprung.
Der Term $f_k‘(x_1)$ beschreibt die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_k$ im Punkt $(x_1\mid f_k(x_1)).$ Daher beschreibt $-\dfrac{1}{f_k‘(x_1)}$ die Steigung der Normalen zum Graphen von $f_k$ im Punkt $(x_1\mid f_k(x_1)).$ Mit der Gleichung kann also die Stelle $x_1$ bestimmt werden, durch die eine Gerade verläuft, die an dieser Stelle zum Graphen von $f_k$ orthogonal ist und, die durch den Koordinatenursprung verläuft.

$\,$

e)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Den Inhalt des Flächenstücks kannst du mithilfe eines Integrals berechnen:

$F=\frac{64}{15}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Der Inhalt des Flächenstücks beträgt $\frac{64}{15}$ Flächeneinheiten.

$\,$

f)

$\blacktriangleright$ Körper skizzieren und beschriften

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Rotation um die $x$ -Achse

$Rotation um die <img alt = '\(x\)' class='mathjax-formula' src='https://mathjax.schullv.de/2d711642b726b04401627ca9fbac32f5c8530fb1903cc4db02258717921a4881?color=5a5a5a'/>-Achse$

Abb. 2: Rotation um die $x$ -Achse

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Rotation um die $y$ -Achse

$Rotation um die <img alt = '\(y\)' class='mathjax-formula' src='https://mathjax.schullv.de/a1fce4363854ff888cff4b8e7875d600c2682390412a8cf79b37d0b11148b0fa?color=5a5a5a'/>-Achse$

Abb. 3: Rotation um die $y$ -Achse

$\blacktriangleright$ Parameterwert ermitteln

Bei der Rotation des Rechtecks um eine der Achsen entsteht ein Zylinder. Das Volumen eines Zylinders hängt von seiner Höhe und seinem Radius ab. Für beide möglichen Zylinder sind diese beiden Größen in der jeweiligen Abbildung eingetragen.
Bei der Rotation um die $x$ -Achse gilt:

$V_x=64\pi\cdot k$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Für die Rotation um die $y$ -Achse gilt:

$V_y =\frac{8\pi}{k}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Beide Volumina sollen nun gleich groß sein. Die Gleichung kannst du auch mit dem solve-Befehl deines CAS lösen.

$k=\frac{1}{\sqrt{8}}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Für $k= \frac{1}{\sqrt{8}}$ haben beide Körper das gleiche Volumen.

$\,$

g)

$\blacktriangleright$ Beliebig kleines Volumen begründen

Die graumarkierte Fläche liegt in jedem Fall in dem zugehörigen Rechteck. Das Volumen des Körpers, der durch Rotation des Rechtecks um die $y$ -Achse entsteht, kann laut Aufgabenteil 1 e) wie folgt berechnet werden:

$V_y = \frac{8\pi}{k}$

Für $k\to \infty$ gilt für das Volumen des Körpers, der durch Rotation des Rechtecks um die $y$ -Achse entsteht:

$V_y = \frac{8\pi}{k} \to 0$

Das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Rotation des Rechtecks um die $y$ -Achse entsteht, wird mit zunehmendem Wert von $k$ also beliebig klein. Da die grau markierte Fläche innerhalb des Rechtecks liegt und dadurch kleiner als das Rechteck ist, gilt dies also auch für das Volumen des Rotationskörpers, der bei Rotation der grau markierten Fläche um die $y$ -Achse entsteht.

2

a)

$\blacktriangleright$ Zugehörigen Parameterwert ermitteln

Es ist $k$ gesucht, sodass $f(x)=f_k(x):$

$... = ...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Durch einen Vergleich der Koeffizienten erhältst du beispielsweise:

$k=\frac{1}{2}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass $f$ eine Funktion der Schar $f_k$ ist, musst du die übrigen Koeffzienten nicht überprüfen. Es ist also $f= f_{k}$ mit $k = \frac{1}{2}.$

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte berechnen

Bestimme alle möglichen Extremstellen von $f.$

1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen

$f‘(x) = x^3 -4x$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 0 \\[5pt] x_2 &=& -2 \\[5pt] x_3 &=& 2 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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3. Schritt: Zugehörige Funktionswerte überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& 4 \\[10pt] f(-2)&=& 0 \\[10pt] f(2) &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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4. Schritt: Funktionswerte von $g$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} g(0) &=& 4 \\[10pt] g(-2)&=& 16\mathrm e^{-2} \\[10pt] f(2) &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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An den beiden möglichen Extremstellen $x_1 = 0$ und $x_3 = 2$ stimmen die Funktionswerte von $f$ und $g$ überein. Die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von $f,$ die auf dem Graphen von $g$ liegen lauten also $E_1(0\mid 4)$ und $E_2(2\mid 0).$

$\,$

b)

$\blacktriangleright$ Graphen zuordnen

Du kannst beispielsweise die Funktionswerte von $f$ und $g$ an der Stelle $x=1$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} f(1) &=& 2,25 \\[10pt] g(1) &\approx& 2,72 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Der Funktionswert von $g$ an der Stelle $x=1$ ist also größer als der von $f.$ Graph $\text{II}$ gehört daher zur Funktion $g$ und Graph $\text{I}$ gehört zu $f.$

$\,$

c)

$\blacktriangleright$ Wert berechnen

Die gesuchte Tangente $t$ soll durch den Punkt $P(p\mid g(p))$ und den Punkt $Q(2\mid 0)$ verlaufen. Ihre Steigung kann also in Abhängigkeit von $p$ mithilfe des Differenzenquotienten wie folgt dargestellt werden:

$m_t = (p-2)\cdot \mathrm e^p$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Zudem soll $t$ eine Tangente an den Graphen von $g$ an der Stelle $p$ sein. Also muss für die Steigung zusätzlich gelten:

$m_t = g‘(p)$

Mithilfe der Produktregel und der Kettenregel erhältst du:

$g‘(x) =x\cdot (x-2)\cdot \mathrm e^x$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Es ist also auch:

$m_t = g‘(p)= p\cdot (p-2)\cdot \mathrm e^p$

Beides kannst du nun gleichsetzen:

$p = 1$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Für den Wert $p=1$ schneidet die Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $P(p\mid g(p))$ die $x$ -Achse im Punkt $Q(2\mid 0).$

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