Analysis 2.2 - Plutonium

Analysis: Plutonium

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktion $f$ vierten Grades.
Die Tangente im Wendepunkt $W \left(4\mid 18\right)$ des Graphen hat die Steigung $-4.$

Graph einer Funktion mit grüner Linie, Achsenbeschriftungen und Gitterlinien.

Abb. 1

Zeichne die beschriebene Tangente in die Abbildung 1 ein.
Gib die beiden Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ an.

(3 BE)

Der Graph von $\(f$ hat einen Tiefpunkt.
Gib die Koordinaten dieses Tiefpunkts an und begründe deine Angabe.

(3 BE)

Beurteile die folgende Aussage:

Für jede Stammfunktion $F$ von $f$ gilt $F(x+2)\gt F(x)+20$ für jeden Wert von $x\in \left[0;5\right].$

(3 BE)

Für jeden Wert von $k\in\mathbb{R}^+$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_k$ mit
$h_k(x)=10\cdot(1-e^{-kx})\cdot e^{-x}$ betrachtet. Der Graph von $h_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.
Für die erste Ableitungsfunktion $\(h$ von $h_k$ gilt $\(h$
Die Abbildung 2 zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $h_1.$

Graph einer Funktion mit einer Kurve im positiven Bereich der x-Achse und einem Minimum bei x=1.

Abb. 2

Begründe, dass $h_k$ nur die Nullstelle $x=0$ hat.
Gib den Grenzwert von $h_k$ für $x \rightarrow + \infty$ an.

(3 BE)

Begründe mithilfe des abgebildeten Graphen (Abb. 2), dass der Extrempunkt von $G_1$ ein Hochpunkt ist.

(2 BE)

Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts von $G_k$ .

(2 BE)

Betrachtet werden die Tangente an $G_k$ im Koordinatenursprung und die Gerade, die zu dieser Tangente im Koordinatenursprung senkrecht steht. Diese beiden Geraden schneiden die Gerade mit der Gleichung $y=1.$

Zeige rechnerisch, dass der Abstand der beiden Schnittpunkte $d(k)=10+\dfrac{1}{10k}$ ist.

(5 BE)

Betrachtet man den Abstand $d(k)$ aus Teilaufgabe 2d) für alle Werte von $k,$ so ist dieser für einen Wert von $k$ am kleinsten.
Bestimme diesen Wert und gib den zugehörigen Abstand an.

(3 BE)

Durch den Koordinatenursprung, den Punkt $Q\left(u\mid0\right)$ und den Punkt $P \left(u\mid h_1(u) \right)$ auf dem Graphen von $h_1$ wird ein Dreieck festgelegt.
Ermittle eine Funktionsgleichung für die Funktion $A,$ mit der der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ$ in Abhängigkeit von $u$ berechnet werden kann.

(3 BE)

Am $26.$ April $1986$ ereignete sich in der Ukraine ein Reaktorunfall, bei dem radioaktives Plutonium- $241$ freigesetzt wurde. Plutonium- $241$ zerfällt exponentiell, d.h. in jedem Jahr nimmt die Masse des vorhandenen Plutonium- $241$ um einen konstanten prozentualen Anteil ab.

Im Folgenden wird der Zerfall einer bestimmten Menge Plutonium- $241$ betrachtet. Dieser Zerfall wird durch die Funktion $p$ mit $p(x)=200\cdot\mathrm{e}^{-0,0480x}$ und $x\in \mathbb{R^+_0}$ beschrieben.
Dabei ist $x$ die Zeit in Jahren, die seit dem Reaktorunfall vergangen ist, und $p(x)$ die Masse des verbliebenen Plutonium- $241$ in Milligramm.

Gib die Bedeutung des Faktors $200$ im Sachzusammenhang an und berechne den prozentualen Anteil, um den die Masse des Plutonium- $241$ in jedem Jahr abnimmt.

(3 BE)

Bestimme das Jahr, in dessen Verlauf erstmals weniger als ein Milligramm des Plutonium- $241$ vorhanden sein wird.

(3 BE)

Bei dem Zerfall des Plutonium- $241$ entsteht radioaktives Americium- $241$ , das ebenfalls exponentiell zerfällt. Im verwendeten Modell gibt die Funktion $a$ mit $a(x)=207\cdot(1-\mathrm{e}^{-0,0464x})\cdot \mathrm{e}^{-0,0016x}$ für jedes Jahr die Masse des vorhandenen Americium- $241$ in Milligramm an.

Der Graph von $a$ kann für einen Wert von $k$ aus dem Graphen der Funktion $h_k$ aus Aufgabe 2 erzeugt werden, indem man diesen in $x$ -Richtung und in $y$ -Richtung streckt.
Gib die beiden Streckungsfaktoren an und bestimme den passenden Wert von $k.$

(3 BE)

Gib die Bedeutung der Aussage $\dfrac{a(73)-a(0)}{73} \approx 2,4$ im Sachzusammenhang an.
Begründe deine Angabe.

(4 BE)

(40 BE)

Analysis: Plutonium

Tangente einzeichnen:

Graph mit zwei Funktionen in verschiedenen Farben, dargestellt auf einem Koordinatensystem.

Nullstellen von $\(f$ angeben:

Die beiden Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ befinden sich bei $x=2$ und $x=8$ .

Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $\(f$ angeben:

Aus der Aufgabenstellung folgt, dass die Steigung im Wendepunkt $-4$ beträgt. In unmittelbarer Umgebung vom Wendepunkt $W$ ist die Steigung des Graphen von $f$ größer als $-4$ .
Daraus folgt, dass der Graph von $\(f$ den Tiefpunkt $(4|-4)$ hat.

Aussage beurteilen:

Die Aussage ist richtig.
Für jeden Wert $x_0\in[0;5]$ ist $F(x_0+2)\,-F(x_0)$ der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse und den Geraden mit den Gleichungen $x=x_0$ und $x=x_0+2$ einschließt. Der Inhalt dieser Fläche ist für jeden dieser Werte von $x_0$ größer als der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $2\,[\text{LE}]$ und $10\,[\text{LE}]$ , das heißt größer als $20\,[\text{FE}]$ .

Nullstelle von $h_k$ begründen:

$\begin{array}[t]{rll} h_k(x)&=& 0&\\[5pt] 10\cdot(1-\mathrm{e}^{-kx})\cdot \mathrm{e}^{-x}&=& 0& \quad\scriptsize (\mathrm{e}^{-x}\neq 0 \,\text{für alle} \, x)\\[5pt] 1-\mathrm{e}^{-kx}&=&0& \quad\scriptsize (\mathrm{e}^0=1) \\[5pt] x&=& 0 \end{array}$

Daraus folgt, dass $h_k$ nur die Nullstelle $x=0$ hat.

Grenzwert von $h_k$ für $x\rightarrow +\infty$ bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to+\infty}h_k(x)&=& 0 \end{array}$

Art des Extrempunktes von $G_1$ begründen:

Monotonieverhalten analysieren:

Für alle $x\lt x_{\,\text{Extrempunkt}}$ gilt: $\(h$ ist monoton wachsend.
Für alle $x\gt x_{\,\text{Extrempunkt}}$ gilt: $\(h$ ist monoton fallend.

Daraus folgt für den Graphen $\(G$ (Graph der ersten Ableitungsfunktion von $h_1$ ):
$\(G$ hat einen Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ .

Damit ist bewiesen, dass der Extrempunkt von $G_1$ ein Hochpunkt ist.

Koordinaten des Hochpunktes von $G_k$ bestimmen:

Notwendige Bedingung: $\(h_k$

$x= \dfrac{1}{k}\cdot \mathrm{ln}(k+1)$

Vollständige Lösung anzeigen

Alternativ kannst du die Lösung auch mit deinem CAS berechnen.

Setze $x=\dfrac{1}{k}\cdot \mathrm{ln}(k+1)$ in $h_k(x)$ ein:

$h_k\left(\dfrac{1}{k}\cdot \mathrm{ln}(k+1)\right)=\left(10-\dfrac{10}{k+1}\right)\cdot (k+1)^{-\frac{1}{k}}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Koordinaten des Hochpunktes von $G_k$ lauten

$H\left(\frac{1}{k}\cdot \mathrm{ln}(k+1) \,\bigg \vert \, \left(10-\dfrac{10}{k+1}\right)\cdot (k+1)^{-\frac{1}{k}} \right)$ .

Abstand der beiden Schnittpunkte bestimmen:

Steigung der Tangente an $G_k$ im Koordinatenursprung:

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Die Tangente hat die Steigung $m_1=10k$ .

Für zueinander senkrechte Geraden gilt:

$m_1\cdot m_2=-1$

Daher beträgt die Steigung der senkrechten Gerade zur Tangente $m_2=-\dfrac{1}{10k}$ .

Schnittpunkte mit der Geraden $y=1$ :

$S_1 \left(\dfrac{1}{10k}\,\bigg \vert \,1\right)$ und $S_2(-10k\mid1)$

Abstand der Schnittpunkte:

Der Abstand der beiden Schnittpunkte $d(k)$ entspricht der Länge der Strecke $\vert\overrightarrow{S_2S_1}\vert$

$d(k)=10k+\dfrac{1}{10k}$

Vollständige Lösung anzeigen

Damit ist bewiesen, dass der Abstand der beiden Schnittpunkte $d(k)=10+\dfrac{1}{10k}$ ist.

Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $d$ bestimmen:

Der Tiefpunkt kann mit Hilfe eines CAS-Taschenrechners bestimmt werden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 2: Minimum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Minimum

Der Tiefpunkt des Graphen von $d$ befindet sich bei $T\left(\dfrac{1}{10} \,\bigg \vert \, 2\right)$ .

Für $k=\dfrac{1}{10}$ ist der Abstand der beiden Schnittpunkte aus Teilaufgabe 2d) am kleinsten.
Der Abstand der beiden Schnittpunkte beträgt $d\left(\dfrac{1}{10}\right)=2 \,[\text{LE}]$ .

Funktionsgleichung für die Funktion $A$ ermitteln:

$A_{\text{Dreieck}}= \dfrac{1}{2} \cdot \text{Grundseite}\cdot \text{Höhe}$

$\begin{array}[t]{rll} A(u)&=& \dfrac{1}{2}\cdot u\cdot10(1- \mathrm e^{-u})\cdot \mathrm e^{-u} \\[5pt] &=& 5\cdot u \cdot(\mathrm e^{-u}- \mathrm e^{-2u}) \end{array}$

Bedeutung des Faktor $200$ angeben:

Der Faktor $200$ gibt die Masse zum Zeitpunkt des Unfalls in Milligramm an.

Prozentualen Anteil berechnen:

$\mathrm e ^{-0,048}\approx 0,953$

$1-0,953=0,047\mathrel{\widehat{=}} 4,7\,\%$

Jährlich nimmt die Masse um etwa $4,7\,\%$ ab.

Jahr bestimmen:

$x\lt \dfrac{\ln(200)}{0,048} \approx 110,4$

Vollständige Lösung anzeigen

$1986+110=2096$

Im Jahr $2096$ wird erstmals weniger als ein Milligramm des Plutonium- $241$ vorhanden sein.

Streckungsfaktoren und Wert von $k$ bestimmen:

$h_k(x)=10\cdot (1-\mathrm e^{-kx})\cdot \mathrm e^{-x}$

$a(x)=207\cdot (1-\mathrm e^{-0,0464x})\cdot \mathrm e^{-0,0016x}$

Streckungsfaktor in $y$ -Richtung:

$207:10=20,7$

Streckungsfaktor in $x$ -Richtung:
$\dfrac{1}{0,0016}=625$

Wert von $k$ :

$k=\dfrac{-0,0464}{-0,0016}=29$

Bedeutung der Aussage $\dfrac{a(73)-a(0)}{73}\approx2,4$ angeben:

Die Masse des Americium- $241$ nimmt in den ersten $73$ Jahren nach dem Reaktorunfall im Mittel pro Jahr um $2,4$ Milligramm zu.
Begründen können wir die Aussage damit, dass die mittlere Änderung pro Jahr $\dfrac{a(73)-a(0)}{73-0}$ beträgt, wobei $a(0)=0$ gilt. Da der Wert des gegebenen Terms positiv ist, handelt es sich bei der Änderung um eine Zunahme.