Analysis 2.2 - Stau

Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau. An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)$ $=x$ $\cdot(8-5 x)$ $\cdot(1-\frac{x}{4})^2$ beschrieben werden. Dabei gibt $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an.

Nenne die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat, und begründe anhand der Struktur des Funktionsterms von $f,$ dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt.

(3 BE)

Es gilt $f(2)\lt 0.$
Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.

(1 BE)

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt. Zeige, dass der zugehörige Wert der momentanen Änderungsrate zwischen $2 \;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ und $3 \;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ liegt.

(3 BE)

Gib den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist.
Begründe deine Angabe.

(2 BE)

Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion $f$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x)=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2 \cdot(4-x)^3$ von Bedeutung.

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:
$\quad$ Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die
$\quad$ Funktion s angegeben werden.
Bestätige rechnerisch, dass sich der Stau um 10:00 Uhr vollständig aufgelöst hat.

(4 BE)

Berechne die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr und bestimme für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge.

(3 BE)

Bestimme denjenigen Zeitpunkt zwischen 06:00 Uhr und 10:00 Uhr, zu dem die Staulänge $0,5 \;\text{km}$ geringer ist als eine Stunde vorher.

(3 BE)

Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 1 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde. Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat.

Abb. 1

Markiere diesen Zeitpunkt in der Abbildung 1, begründe deine Markierung und veranschauliche deine Begründung in der Abbildung 1.

(3 BE)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_k$ mit $h_{k}(x)$ $=(x-3)^k+1$ und $k \in \mathbb{N}\backslash\{0\}.$

Das Verhalten von $h_k$ für $x \rightarrow-\infty$ ist abhängig von $k.$
Gib die dabei auftretenden Fälle des Verhaltens und für diese Fälle jeweils einen passenden Wert von $k$ an. Begründe jeweils die Angabe des Werts von $k.$

(3 BE)

Ermittle die Koordinaten derjenigen Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

(3 BE)

Wenn $k$ gerade ist, haben diese Graphen der Schar einen dritten Punkt $A$ gemeinsam. Wenn $k$ ungerade ist, haben diese Graphen der Schar einen dritten Punkt $B$ gemeinsam. Gib die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ an.

(2 BE)

Die Graphen von $h_1$ und $h_3$ schließen eine Fläche vollständig ein, die aus zwei Teilflächen besteht. Ermittle die Größe des Flächeninhalts.

(5 BE)

Zeige rechnerisch, dass für $k \geq 2$ jeder Graph von $h_k$ entweder einen Tiefpunkt oder einen Sattelpunkt hat.

(3 BE)

Die erste Ableitungsfunktion von $h_k$ wird mit $\(h_k{ }$ bezeichnet.
Beurteile die folgende Aussage:
Es gibt genau einen Wert von $k,$ für den der Graph von $\(h_k{ }$ Tangente an den Graphen von $h_k$ ist.

(5 BE)

Die Graphen von $h_k$ und $\(h_k$ werden in der Abbildung 2 für $k=4$ beispielhaft für gerade Werte von $k$ gezeigt, in der Abbildung 3 für $k=5$ beispielhaft für ungerade Werte von $k.$

Abb. 2

Abb. 3

Für $k \geq 4$ werden die Punkte $P\left(4 \mid h_k(4)\right),$ $\(Q\left(4 \mid h_k$ $R\left(2 \mid h_k(2)\right)$ und $\(S\left(2 \mid h_k$ betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks.
Begründe, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist, und zeige, dass die folgende Aussage richtig ist:
Für jeden geraden Wert von $k$ mit $k \geq 4$ stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für $k$ und der Flächeninhalt des Trapezes für $k+1$ überein.

(7 BE)

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Es gilt $x_1=06:00\;\text{Uhr},\;x_2=07:36\;\text{Uhr}$ und $x_3=10:00\;\text{Uhr}.$
Da der Funktionsterm von $f$ aus vier Linearfaktoren besteht, von denen zwei übereinstimmen, existieren keine weiteren Nullstellen.

Um $08:00\;\text{Uhr}$ nimmt die Staulänge ab.

1. Schritt: Ableitung von $f$ berechnen

$f(x)=x$ $\cdot(8-5 x)$ $\cdot\left(1-\dfrac{x}{4}\right)^2$ $= -\dfrac{5}{16}x^4$ $+3x^3$ $-9x^2$ $+8x$

$\(f$ $= -\dfrac{5}{4}x^3$ $+9x^2$ $-18x$ $+8$

2. Schritt: Notwendige Bedingung

$\(f$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{E_1}&\approx&0,62 \\[5pt] x_{E_2}&\approx&2,58 \\[5pt] x_{E_3}&=&4 \end{array}$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung

Die zweite Ableitung von $f$ ergibt sich als:

$\(f$ $= -\dfrac{15}{4}x^2+18x-18$

Da der Stau sich um $10:00\;\text{Uhr}$ auflöst, reicht es die ersten beiden Nullstellen zu betrachen. Einsetzen dieser in $\(f$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Die Staulänge nimmt also bei $x=0,62,$ das heißt, da $0,62\cdot 60 = 37,2\;[\text{min}]$ gilt, um ca. $06:37\;\text{Uhr},$ am stärksten zu.

Zeigen, dass $2\leq f(0,62)\leq3$ gilt

Einsetzen von $x=0,62$ in die Funktionsgleichung von $f$ liefert:

$f(0,62)$ $=-\dfrac{5}{16}\cdot 0,62^4$ $+3\cdot 0,62^3$ $-9\cdot 0,62^2$ $+8\cdot 0,62$ $\approx 2,17\;\left[\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\right]$

Damit liegt die momentane Änderungsrate also zwischen $2\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und $3\;\frac{\text{km}}{\text{h}}.$

Mit der graphischen Darstellung der Funktion im CAS folgt: Der Graph der Funktion $f$ nimmt zwischen der ersten und zweiten Nullstelle positive Werte an und zwischen der zweiten und dritten Nullstelle negative Werte. Die Funktion $f$ beschreibt die Änderungsrate der Staulänge, womit der Stau bei der zweiten Nullstelle, um $07:36\;\text{Uhr},$ am längsten ist.

Aussage begründen

$s(x)$ $=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2$ $\cdot (4-x)^3$ $= -\dfrac{1}{16}x^5$ $+ \dfrac{3}{4}x^4$ $-3x^3$ $+ 4x^2$

$\(s$ $= -\dfrac{5}{16}x^4$ $+ 3x^3$ $-9x^2$ $+ 8x$ $= f(x)$

Zudem gilt $s(0)$ $=\left(\dfrac{0}{4}\right)^2$ $\cdot (4-0)^3$ $= 0.$ Da $f$ die momentane Änderungsrate der Staulänge beschreibt, gibt $s$ somit die Staulänge an.

Auflösung des Staus um $10:00\;\text{Uhr}$ rechnerisch zeigen

$s(10)$ $=\left(\dfrac{4}{4}\right)^2$ $\cdot (4-4)^3$ $= 1$ $\cdot 0$ $= 0$

Zunahme der Staulänge berechnen

Einsetzen von $x=0,5$ bzw. $x=2$ in die Funktionsgleichung von $s$ liefert für die Staulängen um $06:30\;\text{Uhr}$ bzw. $08:00\;\text{Uhr}:$

$s(0,5)$ $=\left(\dfrac{0,5}{4}\right)^2$ $\cdot (4-0,5)^3$ $= \dfrac{1}{64}$ $\cdot (3,5)^3$ $\approx 0,7\;[\text{km}]$

$s(2)$ $=\left(\dfrac{2}{4}\right)^2$ $\cdot (4-2)^3$ $= \dfrac{1}{4}$ $\cdot 8$ $= 2\;[\text{km}]$

Die Länge des Staus hat zwischen $06:30\;\text{Uhr}$ und $08:00\;\text{Uhr}$ damit um ca. $2-0,7$ $= 1,3\;[\text{km}]$ zugenommen.

Durchschnittliche Änderungsrate bestimmen

$\frac{1,3\;\text{km}}{1,5\;\text{h}}$ $\approx 0,9\frac{\text{km}}{\text{h}}.$

Die Aussage aus der Aufgabenstellung kann durch die Gleichung $s(x)=s(x-1)-0,5$ beschrieben werden. Eingabe dieser Gleichung in den CAS und nach $x$ auflösen liefert als Nullstellen im Intervall $[0;4]:$

$x_1=0,53$ $x_2=2,32$

Da $x_1\lt1$ und der Stau erst um $06:00\;\text{Uhr}$ entsteht, ist $x_2=2,32$ der gesuchte Wert für $x.$ Mit $0,32\cdot60=19,2 \;[\text{min}]$ entspricht der gesuchte Zeitpunkt ca. $08:19\;\text{Uhr}.$

Die Länge des Staus wird durch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ im Intervall $[0;b]$ mit der $x$ -Achse einschließt beschrieben. Ist die Flächenbilanz der Flächen, die der Graph mit der $x$ -Achse für $1,5\leq x\leq a$ oberhalb der $x$ -Achse und $a\leq x \leq b$ unterhalb der $x$ -Achse einschließt, gleichgroß, so entspricht $b$ dem gesuchten Zeitpunkt.

Da der Exponent $k$ gerade oder ungerade sein kann, treten die folgenden beiden Fälle auf:

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to-\infty} h_k(x)&=&-\infty \\[5pt] \lim\limits_{x\to-\infty} h_k(x)&=&\infty \end{array}$

Der erste Fall trifft unter anderem für $k=1$ ein, der zweite zum Beispiel für $k=2,$ da in diesen Fällen der Exponent der Klammer ungerade bzw. gerade ist.

Da $0^k$ und $1^k$ die einzigen Ausdrücke sind, die für alle $k$ den gleichen Wert annehmen, folgt, dass $h_k(x)$ für $x-3=0$ und $x-3=1,$ also für $x=3$ und $x=4,$ unabhängig von $k$ den gleichen Wert annimmt. Einsetzen liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} h_k(3)&=&0^k+1 &=& 1 \\[5pt] h_k(4)&=&1^k+1 &=& 2 \end{array}$

Die gesuchten Punkte haben somit die Koordinaten $P_1(3\mid 1)$ und $P_2(4\mid 2).$

Wenn der Ausdruck in der Klammer $-1$ ergibt, nehmen alle Funktionen der Schar mit geradem $k$ bzw. mit ungeradem $k$ jeweils den gleichen Wert an. Es folgt:

$A(2\mid 2)$

$B(2\mid 0)$

Gleichsetzen von $h_1(x)$ und $h_3(x)$ liefert mit dem solve-Befehl des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&2 \\[5pt] x_2&=&3 \\[5pt] x_3&=&4 \end{array}$

Für die eingeschlossene Fläche folgt mit Hilfe des CAS:

$\displaystyle\int_{2}^{3}(h_3(x)-h_1(x))\;\mathrm dx$ $+ \displaystyle\int_{3}^{4}(h_1(x)-h_3(x))\;\mathrm dx$ $= \dfrac{1}{2}\;[\text{FE}]$

Notwendige Bedingung

$\(h_k$

Auflösen von $\(h_k$ $= k\cdot(x-3)^{k-1}$ nach $x$ mit Hilfe des CAS liefert:

$x=3$

Tiefpunkt oder Sattelpunkt zeigen

Wenn $k$ gerade ist, gilt $\(h_k$ für $x\lt3$ und $\(h_k$ für $x\gt3.$ Damit ist der Punkt mit den Koordinaten $(3 \mid 1)$ für alle geraden Werte von $k$ ein Tiefpunkt.
Wenn $k$ ungerade ist und $k \geq 2,$ gilt $\(h_k$ für $x\lt3$ und $\(h_k$ für $x\gt3.$ Damit ist der Punkt mit den Koordinaten $(3 \mid 1)$ für alle ungeraden Werte von $k$ ein Sattelpunkt.

$\(h_k$ $= k\cdot(x-3)^{k-1}$

Eine Tangente ist immer eine Gerade. Da $\(h_k{ }$ durch das Ableiten vom Grad $k-1$ ist, kommen für die lineare Form $k=1$ und $k=2$ infrage.

$\(\begin{array}[t]{rll} h_1$

Da die Funktion $h_1(x)$ allerdings eine Gerade mit Steigung $1$ ist und $\(h_1$ eine konstante Funktion, kann die Aussage nur für $k=2$ gelten.

1. Schritt: Funktionswerte von $h_2$ und $\(h_2$ vergleichen

Gleichsetzen von $h_2(x)=(x-3)^2+1$ und $\(h_2$ mittels des CAS und mit dem solve-Befehl nach $x$ auflösen liefert:

$x=4$

2. Schritt: $\(h_2$ und $\(h_2$ vergleichen

Die zweite Ableitung von $h_2(x)$ ist gegeben durch $\(h_2$ Nach Aufgabenteil b) gilt $h_2(4)=2.$ Da die Funktionenswerte von $h_2$ und $\(h_2$ für $x=4$ übereinstimmen, folgt insgesamt $\(h_2$ $=2$ $=h_2(4)$ $\( =h_2$ Damit ist die Aussage aus der Aufgabenstellung korrekt.

Trapezform begründen

Die Punkte $P$ und $Q,$ sowie die Punkte $R$ und $S$ haben jeweils übereinstimmende $x$ -Koordinaten. Damit sind die Seiten $\overline{PQ}$ und $\overline{RS}$ parallel.

Aussage zeigen

Bei geradem $k$ folgt für die Flächeninhalte der Trapeze mit Hilfe des CAS:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} A_{k}&=&2k\;[\text{FE}] \\[5pt] A_{k+1}&=&2k\;[\text{FE}] \end{array}$

Die Aussage aus der Aufgabenstellung ist somit richtig.

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