Gib je eine reelle Zahl für die Parameter , und an, sodass die Funktionen , und Stammfunktionen der Funktionen , und sind. Bestimme diejenige Stammfunktion von , deren Graph die -Achse im Punkt schneidet.

Von einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist folgendes bekannt:

• ist die Nullstelle der Funktion.
• ist Sattelpunkt des Graphen

Gib ein lineares Gleichungssystem an, mit dem man die Koeffizienten dieser ganzrationalen Funktion dritten Grades ermitteln kann. Hinweis: Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, in dem eine zur -Achse parallele Tangente existiert.

Die Gerade verläuft durch die Punkte und . Gib eine Gleichung der Geraden an. Ermittle eine Gleichung einer Geraden , die die Gerade im Mittelpunkt der Strecke orthogonal schneidet.

In einer Ebene liegen die Punkte und sowie das Dreieck mit dem Punkt . Ermittle eine Parametergleichung der Ebene . Mit der Gleichung hat ein Schüler den Innenwinkel des Dreicks mit dem Scheitelpunkt korrekt berechnet. Gib für die Punkte und mögliche Koordinaten an.

An der Vorbereitung einer Abiturfeier sind insgesamt 30 Mädchen und 25 Jungen beteiligt. Man betrachtet das Ereignis Auf dem Titelbild für die Einladung sind genau Jungen und Mädchen abgebildet. Gib und an, wenn mithilfe des Terms korrekt berechnet werden kann. Auf dem Titelbild sollen die ausgewählten Jungen und Mädchen so in einer Reihe angeordnet werden, dass ein Junge stets zwischen zwei Mädchen steht. Ermittle die Anzahl der Möglichkeiten für die Anordnung auf dem Titelbild.

  Parameter , und bestimmen Lösungsweg A: Stammfunktion bestimmen Du sollst eine reelle Zahl für die Parameter , und angeben, sodass die Funktionen , und Stammfunktionen der Funktionen , und sind. Stelle dazu jeweils eine Stammfunktion der Funktionen auf und lese die Parameter ab. Stammfunktion von berechnen Die Funktionsterme und sind dir gegeben. Um den Parameter zu bestimmen, kannst du eine Stammfunktion von bestimmen und mit dem Funkionsterm vergleichen. Wenn du die beiden Funktionsterme vergleichst, ergibt sich für den Parameter ein Wert von . Stammfunkton von berechnen Dir ist der Term und eine Stammfunktion gegeben. Berechne eine Stammfunktion von : Wenn du die beiden Funktionsterme vergleichst, ergibt sich für den Parameter ein Wert von . Stammfunktion von berechnen Der Funktionsterm und eine Stammfunktion ist dir gegeben. Du kannst eine Stammfunktion von mit Hilfe der linearen Substitution berechnen: Wenn du die beiden Funktionsterme vergleichst, ergibt sich für den Parameter ein Wert von . Der Wert für kann einen beliebigen Wert annehmen, da eine Konstante ist und beim Ableiten wieder wegfällt. Lösungsweg B: Ableitung bestimmen Du sollst eine reelle Zahl für die Parameter , und angeben, sodass die Funktionen , und Stammfunktionen der Funktionen , und sind. Berechne dazu jeweils die Ableitung der Funktion und bestimme den Parameter. Ableitung von berechnen Die Funktionsterme und sind dir gegeben. Um den Parameter zu bestimmen, kannst du die Ableitung von bestimmen und mit dem Funkionsterm . Wenn du die beiden Funktionsterme vergleichst, ergibt sich für den Parameter ein Wert von . Ableitung von berechnen Dir ist der Term und eine Stammfunktion gegeben. Berechne die Ableitung von : Wenn du die beiden Funktionsterme vergleichst, ergibt sich für den Parameter ein Wert von . Ableitung von berechnen Der Funktionsterm und eine Stammfunktion ist dir gegeben. Du kannst die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel berechnen: Wenn du die beiden Funktionsterme vergleichst, ergibt sich für den Parameter ein Wert von .   Stammfunktion, deren Graph die -Achse im Punkt schneidet, bestimmen Um die Stammfunktion von zu bestimmen, deren Graph die Achse im Punkt schneidet, setzt du die - und -Koordinate in die bereits bestimmte, allgemeine Stammfunktion ein. Du hast die Konstante bestimmt. Die gesuchte Stammfunktion ist also .

  Gleichungssystem zur Berechnung einer ganzrationalen Funktion aufstellen Es ist bekannt, dass eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist. Außerdem weißt du, dass ein Sattelpunkt ist. Du sollst nun ein Gleichungssystem angeben, mit dem man die Koeffizienten bestimmen kann, um die Funktion aufzustellen. Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades, diese wird durch die Gleichung beschrieben. Du benötigst diese Gleichung und ebenfalls die erste und zweite Ableitung: Nun kannst du dir überlegen, welche Informationen du aus den Bedingungen, dass eine Nullstelle und ein Sattelpunkt ist, ablesen kannst.

1. Wenn eine Nullstelle ist, dann liegt der Graph der Funktion auf dem Punkt .
2. Dir ist der Punkt als Sattelpunkt gegeben.
3. Die Bedingung für einen Sattelpunkt ist, dass die zweite Ableitung an der Sattelstelle Null sein muss. Deswegen weißt du, dass ist.
4. In der Aufgabenstellung ist dir ein Hinweis gegeben, dass ein Sattelpunkt ein Wendepunkt ist, in dem eine zur Achse parallele Tangente existiert. Daraus ergibt sich eine weitere Bedingung: .

Du kannst diese Bedingungen nun in die allgemeine Funktionsgleichung und ihre Ableitungen einsetzen und erhältst: Du kannst das Gleichungssystem noch vereinfachen:

  Geradengleichung aufstellen Es ist eine Gerade gesucht, die durch die Punkte und geht. Um die Geradengleichung aufstellen zu können, benötigst du einen Stützvektor, zum Beispiel und einen Richtungsvektor . Der Stützvekor ist der Ortsvektor eines Punkts auf der Geraden, der Richtungsvektor ein Verbindungsvektor zweier Punkte auf der Geraden. = == Du kannst nun die Geradengleichung aufstellen und erhältst: . Eine Gleichung der Geraden lautet .   Geradengleichung aufstellen Du sollst eine Gleichung einer Geraden ermitteln, die die Gerade im Mittelpunkt der Strecke orthogonal schneidet. Gehe dazu in folgenden Schritten vor:

1. Mittelpunkt der Strecke berechnen. Diesen kannst du als Stützvektor der Geraden verwenden. Die Formel zur Berechnung des Mittelpunkts lautet .
2. Richtungsvektor von aufstellen, sodass der der Richtungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor von ist. Damit das gilt, muss das Skalarprodukt der beiden Null sein. Du kannst eine Gleichung mit drei Unbekannten aufstellen, zwei davon wählst du beliebig.
3. Geradengleichung von aufstellen.

1. Schritt: Mittelpunkt der Strecke berechnen Du kannst die Ortsvektoren und in die Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke einsetzen: Der Mittelpunkt der Strecke ist also . Der Ortsvekor des Mittelpunkts ist eine Möglichkeit für den Stützvektor der gesuchten Geraden . 2. Schritt: Richtungsvektor von aufstellen Der Richtungsvektor der zu bestimmenden Geraden muss orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden stehen. Zwei Vektoren heißen orthogonal , wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Du kannst für den einen Vektor den Richtungsvektor der Geraden einsetzen, den anderen bestimmst du für den Fall, dass das Skalarprodukt Null wird. Es gibt dafür unendlich viele Lösungen, bestimme eine davon. Du erhältst für die Gerade als möglichen Richtungsvektor =. 3. Schritt: Geradengleichung von aufstellen Du hast nun den Stützvektor und den Richtungsvektor der Geraden berechnet und kannst nun die Geradengleichung aufstellen. Es ergibt sich die Gleichung .

  Ebenengleichung in Parameterform aufstellen Du hast die Punkte , und gegeben und sollst eine Gleichung der Ebene in Parameterform aufstellen, in der diese drei Punkte liegen. Die Gleichung dieser Ebene in Parameterform kannst du wie folgt angegeben: Hierbei versteht man unter

• den Stützvektor der Ebene , der die Verschiebung im Raum angibt
• , die Spannvektoren der Ebene , die die Ebene aufspannen
• , reelle Zahlen, für die die Spannvektoren beliebig lang bzw. kurz werden können und somit alle Punkte auf der Ebene erreicht werden können.

Berechne zunächst den Stützvektor und die Spannvektoren: == == == Wenn du diese Vektoren nun in die Gleichung einsetzt, erhältst du folgende Ebenengleichung: .   Koordinaten der Punkte und bestimmen Die Koordinaten der Punkte und eines Dreiecks sollen bestimmt werden. Den Scheitelpunkt hast du gegeben. Außerdem ist eine Gleichung angegeben, mit der ein Innenwinkel des Dreiecks bereits korrekt berechnet wurde: Der Winkel, der mit dieser Formel berechnet wird, ist der Winkel beim Punkt . Dies erkennst du daran, dass das bei der Cosinus-Formel in der Mitte steht. Die Vektoren und sind Verbindungsvektoren vom Punkt zu einem anderen Eckpunkt. Da du mögliche Koordinaten bestimmen sollst, kannst du auswählen, welcher dieser Vektoren ein Verbindungsvektor von zu oder von zu ist. Wähle zum Beispiel als Verbindungsvektor von zu : Du weißt, dass gilt: =-. Da du bestimmen willst, musst du danach auflösen: =+ Setze den bekannten Verbindungsvektor und den Ortsvektor in die Formel ein: Du hast somit mögliche Koordinaten für bestimmt mit . Du kannst für die Bestimmung von nach dem gleichen Prinzip vorgehen. Betrachte nun den anderen Vektor . Dieser ist nun Verbindungsvektor vom Punkt zum anderen Eckpunkt . Du weißt, dass zur Berechnung eines Verbindungsvekotrs gilt: =-. Da du suchst, musst du danach umstellen: =+ Durch Einsetzen ergibt sich: Du erhältst als mögliche Koordinaten des Punktes .

  Fehlende Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm einzeichnen   und angeben Wenn du die Wahrscheinlichkeit berechnen willst, musst du beachten, dass es sich hier um eine bedingte Wahrscheinlichkeit handelt, das heißt die Berechnung beginnt ab der Bedingung. Die Bedinung wird immer im Index angegeben. Die Berechnung beginnt also hier bei für das Ereignis . Es wird nur einmal gewürfelt, du kannst die Wahrscheinlichkeit direkt ablesen. Die Wahrscheinlichkeit für berechnest du, indem du alle Pfade, die zu führen verfolgst und nach der Pfadmultiplikationsregel die Wahrscheinlichkeiten innerhalb eines Pfades multiplizierst. Die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade werden dann noch nach der Pfadadditionsregel addiert: == Die Wahrscheinlichkeit beträgt also .   Ereignisse für und formulieren Du sollst dir mögliche Ereignisse und überlegen. Dabei musst du darauf achten, dass die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse den auf dem Baumdiagramm eingetragenen Wahrscheinlichkeiten entsprechen. Es ist beschrieben, dass es sich um ein Würfel-Zufallsexperiment handelt. Beim ersten Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für die beiden Ereignisse und jeweils . Es kann hier zum Beispiel zwischen geraden und ungeraden Zahlen unterschieden werden. steht dann beispielsweise für gerade Zahlen und für ungerade Zahlen. Beim zweiten Würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit für bei , für bei . Es kann also hier zwischen den Werten der gewürfelten Zahlen unterschieden werden, zum Beispiel Ereignis steht für die gewürfelten Zahlen und . steht für und .

  Werte für und angeben Das Ereignis lautet: Auf dem Titelbild für die Einladung sind genau Jungen und Mädchen abgebildet. Du weißt, dass insgesamt Mädchen und Jungen beteiligt sind. Du sollst nun mithilfe des Terms: und angeben. Du kannst ablesen, dass den Mädchen zugeordnet werden kann, da insgesamt Mädchen beteiligt sind. Der untere Wert gibt an, dass aus ausgewählt werden, dies entspricht dann dem gesuchten . Das bedeutet, dass Mädchen auf dem Titelbild abgebildet werden.
Da Jungs beteiligt sind, kann ihnen zugeordnet werden. Das gesuchte ist also . Es werden also von Jungen auf dem Titelbild abgebildet.   Anzahl der Möglichkeiten auf dem Titelbild ermitteln Du sollst die Schüler nun so anordnen, dass ein Junge stets zwischen zwei Mädchen steht. Da Mädchen und nur Jungen auf dem Titelbild abgebildet werden, müssen die äußersten Positionen von Mädchen eingenommen werden: Du sollst nun die Anzahl der Möglichkeiten für die Aufstellung bestimmen. Lösungsweg A: Ausprobieren Überlege dir dazu, an welchen Stellen die Jungen und Mädchen jeweils stehen können. Du erhältst folgende Fälle: Fall: Fall: Fall: Fall: Fall: Fall: Fall: Fall: Fall: Fall: Fall: Fall: Es gibt Möglichkeiten die Schüler anzuordnen. Lösungsweg B: Rechnerische Lösung Du hast die Anzahl der Mädchen gegeben, die auf dem Titelbild abgebildet werden, mit und die Anzahl der Jungen mit . Um die Anzahl der möglichen Anordnungen zu bestimmen, kannst du folgende Formel verwenden: Es gibt Möglichkeiten die Schüler anzuordnen.