Analysis 2.2 - Flugzeugflügel

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x)= (-ax^2 +2x)\cdot \mathrm e^{-ax};$ $a\in \mathbb{R},$ $a\gt 0.$

Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

Berechne die Nullstellen der Funktion $f_a$ in Abhängigkeit von $a.$

(3 BE)

Gib das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x \rightarrow + \infty$ und $x \rightarrow -\infty$ an.

(2 BE)

Weise nach, dass $\(f_a$ die Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f_a$ ist.

(2 BE)

Die Funktion $f_a$ besitzt genau zwei lokale Extremstellen. Ermittle diese.

Hinweis: Auf die hinreichende Bedingung zur Ermittlung der Extrema kann verzichtet werden.

(zur Kontrolle: $x_{1;2} =\frac{2}{a}\pm \sqrt{\frac{2}{a^2}}$ )

(4 BE)

Bestimme den Parameter $a$ so, dass der horizontale Abstand der beiden lokalen Extrempunkte des Graphen $G_a$ $\sqrt{800}\,\text{LE}$ beträgt.

(3 BE)

Für die Stelle $x_0 = 30-10\sqrt{3}$ der Funktion $f_{0,1}$ gelten folgende Bedingungen:

$\(f_{0,1}$
$\(f_{0,1}$

Gib die Bedeutung der Stelle $x_0$ an.

(1 BE)

Weiterhin wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)= -\frac{3}{4}x\cdot \mathrm e^{-0,1x}$ betrachtet. Der Graph von $h$ wird mit $H$ bezeichnet.

Die Graphen $G_{0,1}$ und $H$ schneiden sich in den Punkten $S_1(0\mid 0)$ und $S_2\left(\frac{55}{2}\mid -\frac{165}{8}\cdot \mathrm e^{-2,75} \right).$
Entscheide, welcher dieser Punkte Schnittpunkt aller Graphen $G_a$ mit $H$ ist.
Begründe deine Entscheidung.

(2 BE)

Die Funktion $h$ besitzt folgende Eigenschaften:

$\lim\limits_{x\to+\infty} h(x)=0;$ $\lim\limits_{x\to-\infty} h(x)=+ \infty$
$\(h$

Begründe mithilfe einer Skizze, dass der Graph $H$ einen Wendepunkt besitzt.

(3 BE)

Der Graph einer Funktion $h^*$ geht aus dem Graphen $H$ hervor. Es gilt:

der Graph $H$ wurde an beiden Koordinatenachsen gespiegelt und
der gespiegelte Graph $H$ wurde danach so verschoben, dass gilt:
$\lim\limits_{x\to-\infty} h^*(x)=1.$

Gib eine Funktionsgleichung von $h^*$ an.

(3 BE)

An den Graphen $H$ wird im Schnittpunkt mit der $x$ -Achse eine Tangente $t$ gelegt.
Die Tangente $t$ schließt mit der $x$ -Achse und der Geraden $x=b$ mit $b \in \mathbb{R},$ $b \gt 0$ eine Fläche von $A= \frac{75}{2} \,\text{FE}$ ein.
Bestimme b.

(5 BE)

Die Konstrukteure einer kleinen Firma haben einen neuartigen Flugzeugflügel entworfen. Dabei werden die Graphen der Funktionen $f_{0,1}$ und $h$ zwischen ihren Schnittpunkten $S_1$ und $S_2$ zur Modellierung des Querschnitts dieses Flugzeugflügels verwendet (vgl. Abbildung).
Es gilt: $1\,\text{LE} = 1\,\text{dm}.$

Diagramm zur Darstellung der Länge von Flugzeugflügeln mit Verbindungslinien zwischen Punkten.

Für die Konstruktion des Flugzeugflügels müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

(I)

Die Länge des Flugzeugflügels ist der horizontale Abstand zwischen $S_1$ und $S_2.$ Diese Länge beträgt $27,5\,\text{dm}.$

(II)

Die maximale vertikale Höhe des Flugzeugflügels lässt sich mithilfe der Differenzfunktion von $f_{0,1}$ und $h$ bestimmen. Sie darf $7,15\,\text{dm}$ nicht überschreiten.

(III)

Der Neigungswinkel zwischen Verbindungslinie $\overline{S_1S_2}$ und der Horizontalen soll kleiner als $7^{\circ}$ sein.

Prüfe, ob diese Bedingungen eingehalten wurden.

(10 BE)

Begründe ohne Rechnung, dass die Länge des Flugzeugflügels kürzer als die Verbindungslinie zwischen $S_1$ und $S_2$ ist.

(2 BE)

Die Richtung, aus der während einer bestimmten Phase des Fluges die Luft anströmt, kann modellhaft durch eine Gerade zwischen $S_1$ und einem Punkt $R(x_R \mid f_{0,1}(x_R))$ mit $x_R \lt 20$ angenommen werden. Im Punkt $R$ ändert der Graph von $f_{0,1}$ seine Krümmungsart.
Weise nach, dass die Größe des Winkels $\delta = \sphericalangle S_2S_1R$ nicht mehr als 18° beträgt.

(zur Kontrolle: $R(12,68\mid 2,61)$ )

(6 BE)

Vereinfachend kann angenommen werden, dass ein Teil eines Flugzeugflügels stets den abgebildeten Querschnitt und eine Tiefe von 2 m besitzt.
Ein moderner Flugzeugflügel besteht zu ca. 53 % aus carbonfaserverstärktem Kunststoff (CFK). CFK hat neben einer besseren Stabilität vor allem den Vorteil der Massereduktion durch eine geringere Dichte (ca. $1,5 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ ) als herkömmliche Stoffe.
Bestimme für den beschriebenen Teil des Flugzeugflügels die benötigte Masse an CFK in kg.

Ohne Nachweis darfst du verwenden, dass $D$ mit

$D(x) = \left( x^2 -\frac{15}{2}x -75 \right)\cdot \mathrm e^{-0,1x}$ eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit

$d(x)= f_{0,1}(x) - h(x)$ ist.

(4 BE)

(50 BE)

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$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& 0 \\[5pt] \left(-ax^2+2x\right)\cdot \mathrm e^{-ax} &=& 0 \\[5pt] \left(-ax+2\right)\cdot x\cdot \mathrm e^{-ax} &=& 0 \end{array}$

Es gilt $\mathrm e^{-ax}\neq 0$ für alle $x\in\mathbb{R}.$ Nach dem Satz vom Nullprodukt ist die Gleichung daher für $x_1=0$ und $-ax+2 =0$ erfüllt:

$\begin{array}[t]{rll} -ax+2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+ax\\[5pt] 2 &=& ax &\quad \scriptsize \mid\; :a\\[5pt] \frac{2}{a} &=& x\\[5pt] x_2 &=& \frac{2}{a} \end{array}$

Die Nullstellen von $f_a$ sind $x_1=0$ und $x_2=\frac{2}{a}.$

Für die einzelnen Faktoren des Funktionsterms gilt:

$\lim \limits_{x \to \infty}\left(-ax^2+2x\right)= -\infty$

$\lim \limits_{x \to -\infty}\left(-ax^2+2x\right)= -\infty$

$\lim \limits_{x \to \infty} \mathrm e^{-ax}=0$

$\lim \limits_{x \to -\infty} \mathrm e^{-ax}=+\infty$

Insgesamt ergibt sich daraus:

$\lim \limits_{x \to +\infty}f_a(x) = 0$

$\lim \limits_{x \to -\infty}f_a(x) = -\infty$

Anwendung der Produktregel:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\(f_a$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

Wegen $\mathrm e^{-ax}\neq 0$ ist dies nach dem Satz vom Nullprodukt genau dann erfüllt, wenn $a^2 x^2-4ax+2=0$ gilt. Mit der $pq$ -Formel folgt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$x_{1,2}= \frac{2}{a}\pm\sqrt{\frac{2}{a^2}}$

$f_a$ besitzt zwei lokale Extremstellen bei $x_1=\frac{2}{a}+\sqrt{\frac{2}{a^2}}$ und $x_2=\frac{2}{a}-\sqrt{\frac{2}{a^2}}.$

Der horizontale Abstand der beiden lokalen Extrempunkte soll $\sqrt{800\text{ LE}}$ betragen:

$a = \pm 0,1$

Vollständige Lösung anzeigen

Wegen $a\gt0$ ist $a=0,1$ der Parameterwert, für den der horizontale Abstand der beiden lokalen Extrempunkte von $G_a$ $\sqrt{800}\,\text{LE}$ beträgt.

An der Stelle $x_0$ besitzt der Graph $G_{0,1}$ einen Wendepunkt.

Es gilt: $f_a(0)= (-a\cdot 0^2 +2\cdot 0)\cdot \mathrm e^{-a\cdot 0} = 0.$

Der Schnittpunkt $S_1(0\mid 0)$ liegt also auf allen Graphen $G_a$ und ist damit Schnittpunkt aller Graphen $G_a$ mit $H.$

Graf einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen x und y.

Für $x\lt 0$ verläuft der Graph $H$ im II. Quadranten. Er schneidet die $x$ -Achse im Koordinatenursprung und hat einen Tiefpunkt, der im IV. Quadranten liegt. Wegen $\lim\limits_{x\to\infty}h(x)=0$ muss der Graph $H$ sein Krümmungsverhalten von der Linkskrümmung zur Rechtskrümmung ändern und somit einen Wendepunkt haben.

Eine Spiegelung an der $x$ -Achse entsteht durch den Faktor $-1.$
Eine Spiegelung an der $y$ -Achse entsteht durch den Faktor $-1$ vor der Variablen $x.$
Es gilt $\lim\limits_{x\to\infty}h(x)=0.$ Eine Verschiebung des Graphen entlang der $y$ -Achse führt auch zur Verschiebung des Grenzwerts.

$h^*(x) =-h(-x)+1$ $= -\frac{3}{4}x\cdot \mathrm e^{0,1x}+1$

1. Schritt: Tangente $t$ bestimmen
Die Steigung von $t$ entspricht der Steigung von $H$ im Punkt $S(0\mid 0).$

$\(m_t= h$ $= \left(\frac{3}{40}\cdot 0 - \frac{3}{4}\right)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 0}$ $=-\frac{3}{4}$

Da $S$ im Koordinatenursprung liegt, muss auch $t$ durch den Koordinatenursprung verlaufen. Daher folgt:

$t(x)= -\frac{3}{4}\cdot x$

2. Schritt: $b$ bestimmen

Grafik eines Koordinatensystems mit einer grünen Kurve, Achsen und beschrifteten Punkten.

Das Dreieck, das $t$ mit der $x$ -Achse und der Geraden zu $x=b$ einschließt, ist rechtwinklig. Für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $b$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A(b) &=&\mid \frac{1}{2}\cdot b\cdot t(b)\mid \\[5pt] &=& \mid \frac{1}{2}\cdot b \cdot \left(-\frac{3}{4}b\right)\mid \\[5pt] &=& \frac{3}{8}b^2 \\[5pt] \end{array}$

Gleichsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} A(b) &=& \frac{75}{2}\\[5pt] \frac{3}{8}b^2 &=&\frac{75}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot\frac{8}{3} \\[5pt] b^2&=&100 \\[5pt] b &=& \pm 10 \end{array}$

Da $b\gt0,$ bleibt die einzige Lösung $b=10.$

(I)

Aus Teilaufgabe g) sind die Koordinaten der Schnittpunkte $S_1(0\mid 0)$ und $S_2\left(\frac{55}{2}\mid -\frac{165}{8}\cdot \mathrm e^{-2,75} \right)$ bekannt.
Der horizontale Abstand ergibt sich aus den $x$ -Koordinaten:

$x_2-x_1$ $=\frac{55}{2}-0$ $=\frac{55}{2}$ $=27,5\,\text{[dm]}$

Die Länge des Flugzeugflügels beträgt somit $27,5\text{ dm}$ und die erste Bedingung ist erfüllt.

(II)

Die maximale vertikale Höhe entspricht dem Maximum der Differenzenfunktion $d$ mit:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$d(x)=\left(-\frac{1}{10}x^2+\frac{11}{4}x\right)\cdot \mathrm e^{-0,1x}$

1. Schritt: Ableitungen bilden
Anwenden der Produktregel:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\( d$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} d$

Wegen $\mathrm e^{-0,1x}\neq 0$ für alle $x\in \mathbb{R},$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt $\frac{1}{100}x^2-\frac{19}{40}x+\frac{11}{4} = 0.$ Mit der $pq$ -Formel folgt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} x_1 &\approx& 6,75 \\[5pt] x_2 &\approx& 40,75 \\[5pt] \end{array}$

Da der Flugzeugflügel nur $27,5\,\text{dm}$ lang ist, liegt $x_2$ nicht im relevanten Bereich und entfällt somit.

3. Schritt: Maximale vertikale Höhe bestimmen
Da die Endpunkte des Flugzeugflügels durch die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ beschrieben werden, kann das Maximum nicht in den Intervallrändern liegen, sodass es bei $x_1$ liegen muss.

$d(6,75)$ $= \left(-\frac{1}{10}\cdot 6,75^2+\frac{11}{4}\cdot 6,75\right)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 6,75}$ $\approx 7,13\,\text{[dm]} \lt 7,15 \,\text{[dm]}$

Die maximale vertikale Höhe beträgt ca. $7,13\,\text{dm},$ sodass die zweite Bedingung ebenfalls erfüllt ist.

(III)

Geometrische Darstellung mit zwei Punkten, einem Winkel α und Linien zwischen den Punkten.

Skizze nicht maßstäblich

$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& \dfrac{\left|y_{S_2}\right|} {x_{S_2}} \\[5pt] \tan \alpha &=& \dfrac{\frac{165}{8}\cdot \mathrm e^{-2,75}}{\frac{55}{2}} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 2,75^{\circ} \lt 7^{\circ}\\[5pt] \end{array}$

Die dritte Bedingung ist also auch erfüllt.

Es wurden alle drei Bedingungen eingehalten.

Der Skizze aus Aufgabenteil k) lässt sich entnehmen, dass die Verbindungslinie $\overline{S_1S_2}$ die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Die Länge des Flugzeugflügels ist $x_{S_2}$ und somit die Länge einer der beiden Katheten.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse immer die längste Seite. Daher ist die Länge des Flugzeugflügels kürzer als die Länge der Verbindungslinie zwischen $S_1$ und $S_2.$

Da der Graph von $f_{0,1}$ im Punkt $R$ sein Krümmungsverhalten ändert, ist $R$ ein Wendepunkt des Graphen von $f_{0,1}.$
Aus Aufgabenteil f) ist bekannt, dass der Graph von $f_{0,1}$ an der Stelle $x_0 =30-10\sqrt{3}$ einen Wendepunkt besitzt. Es muss noch überprüft werden, ob es weitere Wendepunkte gibt.

1. Schritt: Ableitung bilden

Anwenden der Produktregel:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\( f_{0,1}$ $= \left(-0,001 x^2 +0,06 x-0,6 \right)\cdot \mathrm e^{-0,1x}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f_{0,1}$

Wegen $\mathrm e^{-0,1x} \neq 0$ für $x\in\mathbb{R}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 30 - 10\sqrt{3}\approx 12,68 \\[5pt] x_2 &=& 30+ 10\sqrt{3} \approx 47,32 \\[5pt] \end{array}$

Da $x_R\lt20$ in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, entfällt $x_2.$
Zudem ist aus Aufgabenteil f) bekannt, dass $\(f_{0,1}$ ist, sodass der Graph von $f_{0,1}$ an der Stelle $x_1$ tatsächlich einen Wendepunkt besitzt und die hinreichende Bedingung nicht mehr überprüft werden muss.

3. Schritt: y-Koordinate von R bestimmen

$f_{0,1}(12,68)\approx 2,61$

$R(12,68\mid2,61)$

4. Schritt: Winkel $\delta$ berechnen

Diagramm mit geometrischen Elementen, einschließlich Winkeln und Punkten S1, R und S2.

Skizze nicht maßstäblich

Der Winkel $\delta$ setzt sich aus dem Winkel $\alpha$ aus Teilaufgabe k) und dem Winkel $\beta$ zusammen. Die Größe von $\beta$ kann auf die gleiche Weise berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \tan \beta &=& \dfrac{y_R}{x_R} \\[5pt] \tan \beta &=& \dfrac{2,61}{12,68} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \beta &\approx& 11,63^{\circ} \\[5pt] \end{array}$

$\delta=\alpha+\beta\approx 2,75^\circ+11,63^\circ$ $=14,38^\circ \lt 18^\circ$

Der Winkel $\delta$ ist also nicht größer als $18^\circ.$

Die Masse des benötigten CFK setzt sich aus dem Volumen des benötigten CFK und der Dichte zusammen.
Das Volumen des benötigten CFK beträgt $53\,\%$ des Gesamtvolumens des Flugzeugflügels.
Für die Berechnung des Gesamtvolumens des Flugzeugflügels wird die Größe der Querschnittsfläche benötigt. Diese befindet sich zwischen den Graphen von $f_{0,1}$ und $h$ zwischen $S_1$ und $S_2.$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$A\approx 105,37\,[\text{dm}^2]$

Berechnen des Gesamtvolumens des Flugzeugflügels:

$V_G=A\cdot 2\text{ m}\approx 105,37\text{ dm}^2\cdot 20\text{ dm}$ $=2107,4\text{ dm}^3$

Der Flugzeugflügel besteht zu $53\,\%$ aus CFK:

$V_{\text{CFK}}=V_G\cdot 0,53$ $\approx 2107,4\text{ dm}^3\cdot 0,53$ $= 1116,92\text{ dm}^3$

Berechnen der Masse des CFK:

$m_{\text{CFK}}$ $= V_{\text{CFK}} \cdot 1,5\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}$ $\approx 1116,92\text{ dm}^3\cdot 1,5\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}$ $= 1675,38\text{ kg}$

Die benötigte Masse an CFK beträgt ca. $1675,38\text{ kg}.$

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