Analysis 2.1 - Fischlogo

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ durch $f_a(x)=\frac{x}{a}\cdot\ln\left(\frac{x}{a}\right);$ $a\in\mathbb{R};$ $a>0$ .
Die zugehörigen Graphen sind $G_a$ .
Des Weiteren ist die Funktion $h$ durch $h(x)=\frac{1}{10}\mathrm{e}^{x-1}+2$ gegeben.
Der Graph dieser Funktion ist K .

Gib den Definitionsbereich von $f_a$ an.
Berechne die Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ .

(4 BE)

Alle Graphen $G_a$ der Funktionenschar $f_a$ besitzen genau einen lokalen Extrempunkt $E(x\mid f_a(x))$ .
Zeige, dass die $x$ -Koordinate dieses Punktes $x=\frac{a}{e}$ ist und bestimme die Art des Extrempunktes.
Begründe, dass für den Wertebereich $W$ aller Funktionen der Schar $f_a$ gilt:
$W=\{y\mid y\in\mathbb{R},\;y\geq -\mathrm e^{-1}\}$ .

(9 BE)

Die Funktionenschar $\tilde f_a$ ist durch $\tilde f_a(x)=\frac{x}{a}\cdot \ln \left(\frac{x}{a}\right);$ $a\in \mathbb{R};$ $a \lt 0$ gegeben.
Gib den Definitionsbereich von $\tilde f_a$ an.
Erläutere, wie sich die Lage und die Art des Extrempunktes der Graphen von $\tilde f_a$ ohne Rechnung aus der Lage und der Art des Extrempunktes der Graphen von $f_a$ ergeben.

(4 BE)

Gib das Verhalten der Funktionswerte von $h$ für $x\to +\infty$ und für $x\to -\infty$ an.
Skizziere den Graphen $K$ mindestens im Intervall $-2\leq x\leq 4$ .

(4 BE)

An die Graphen der Funktionen $h$ und ihrer Ableitungsfunktion $h′$ wird in den Punkten $B(u\mid h(u))$ und $B‘(u\mid h‘(u))$ mit $u\in\mathbb{R}$ jeweils eine Tangente gelegt.
Beschreibe die besondere Lage dieser beiden Tangenten zueinander.
Begründe deine Aussage.

(3 BE)

Der Inhaber eines Geschäftes für Anglerbedarf möchte seine Außenwerbung verbessern.
Er entwirft als Logo einen großen Fisch, dessen Konturen durch Lichtschläuche gebildet werden.
Der Durchmesser der Lichtschläuche kann vernachlässigt werden.

Der Fisch kann modellhaft in einem Koordinatensystem durch Funktionsgraphen veranschaulicht werden. (siehe Abbildung)
Die Spitze des Fischmauls liegt im Punkt $P(4\mid 4)$ .
Der höchste Punkt des Logos befindet sich im Punkt $Q(-1\mid 6)$ .
Es gilt: $1\,\text{LE}=1\,\text{m}$ .

Abb. 1: Abbildung nicht maßstabsgerecht

Der Fischrücken soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion $p$ zweiten Grades im Intervall $-9\leq x\leq 4$ modelliert werden.
Ermittle eine Funktionsgleichung für $p$ .
[Kontrollergebnis: $p(x)=-\frac{2}{25}x^2-\frac{4}{25}x+\frac{148}{25}$ ]

(6 BE)

Für den Bauch des Fisches wird der Graph $K$ gewählt.
Es werden zwei senkrechte farbige Streifen zwischen dem Graphen $K$ und dem Graphen der Funktion $p$ gemalt.
Ein Streifen liegt im Intervall [ $-2;0$ ].
Berechne den Flächeninhalt dieses Streifens.

(6 BE)

Das Fischmaul wird durch den Graphen der Funktion $m$ im Intervall $0,5 \leq x\leq 4$ beschrieben. Der Graph der Funktion $m$ ist der um $4$ Einheiten entlang der $y$ -Achse nach oben verschobene Graph $G_4$ .

Gib eine zugehörige Funktionsgleichung für $m$ an.

Das Fischauge befindet sich im Punkt $A$ . Über die Lage des Punktes $A$ ist Folgendes bekannt:

$A$ liegt auf der Strecke zwischen Rücken und Maul, die parallel zur $y$ -Achse verläuft, für die der senkrechte Abstand von Rücken und Maul am größten ist.
$A$ liegt genau in der Mitte dieser Strecke.

Beschreibe, wie die Koordinaten des Punktes $A$ berechnet werden können.

(4 BE)

(40 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Definitionsbereich angeben

Der Definitionsbereich von $f_a$ wird lediglich dadurch eingeschränkt, dass der Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist. Es muss also $x\gt 0$ sein:

$D_a = \{x\mid \in \mathbb{R}, x\gt 0 \}$

$\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& 0 \\[5pt] \frac{x}{a} \cdot \ln\left(\frac{x}{a} \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : \frac{x}{a} \neq 0 \\[5pt] \ln\left(\frac{x}{a} \right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\mathrm e \\[5pt] \frac{x}{a} &=& \mathrm e^0 \\[5pt] \frac{x}{a} &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] x &=& a \end{array}$

$f_a$ besitzt die einzige Nullstelle $x=a.$

$\blacktriangleright$ Koordinate des Extrempunkts zeigen

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden

Mit der Produktregel und der Kettenregel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) =& \frac{x}{a} \cdot \ln \left( \frac{x}{a}\right) \\[10pt] f_a‘(x) =& \frac{1}{a} \cdot \ln \left( \frac{x}{a}\right) + \frac{1}{a} \\[10pt] f_a‘‘(x) =& \frac{1}{a\cdot x} \end{array}$

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

Für jede Extremstelle $x_E$ muss $f_a‘(x_E)=0$ erfüllt sein.

$x = \frac{a}{\mathrm e}$

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$x =\frac{a}{\mathrm e}$ ist die einzige Stelle, die das notwendige Kriterium für Extremstellen erfüllt. Da jeder Graph von $f_a$ laut Aufgabenstellung genau einen Extrempunkt besitzt muss daher $x_E = \frac{a}{\mathrm e}$ die $x$ -Koordinate dieses Extrempunkts sein.

$\blacktriangleright$ Art des Extrempunkts bestimmen

Mithilfe der zweiten Ableitung und dem hinreichenden Kriterium für Extremstellen kannst du die Art des Extrempunkts bestimmen:

$f_a‘‘\left(\frac{a}{\mathrm e}\right) \gt 0$

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Da $f_a‘‘(x_E) \gt 0$ ist, handelt es sich bei dem zugehörigen Extrempunkt um einen Tiefpunkt.

$\blacktriangleright$ Wertebereich begründen

Der Wertebereich einer Funktion gibt alle möglichen Funktionswerte an. Jede Funktion $f_a$ besitzt genau eine Nullstelle $x = a$ und einen Tiefpunkt mit der $x$ -Koordinate $x_E = \frac{a}{\mathrm e}.$ Der zum Tiefpunkt gehörige Funktionswert ist:

$f_a\left(\frac{a}{\mathrm e} \right) = -\mathrm e^{-1}$

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Für das Verhalten der Funktionswerte in den Grenzen des Definitionsbereichs gilt:

Für $x \to 0:\,$ $f_a(x) =\frac{x}{a} \cdot \ln \left( \frac{x}{a}\right) \to -0$

Für $x \to \infty:\,$ $f_a(x) =\frac{x}{a} \cdot \ln \left( \frac{x}{a}\right) \to \infty$

Da der Graph von $f_a$ also genau eine Nullstelle und genau einen Extrempunkt besitzt, der ein Tiefpunkt mit der $y$ -Koordinate $-\mathrm e^{-1}$ ist und für $x\to \infty$ auch $f_a(x)\to \infty$ gilt, nimmt $f_a(x)$ alle Werte an, die größergleich $-\mathrm e^{-1}$ sind. Der Wertebereich ist also unabhängig von $a:$

$W=\{y \mid y\in \mathbb{R} , y \geq -\mathrm e^{-1}\}$

$\blacktriangleright$ Definitionsbereich angeben

Der Funktionsterm von $\tilde f_a$ entspricht dem von $f_a.$ Allerdings hat sich die Voraussetzung zu $a\lt 0$ geändert. Analog zu Aufgabenteil a) muss auch hier das Argument des Logarithmus positiv sein. Da $a$ hier negativ ist, muss daher auch $x$ negativ sein. Der Definitionsbereich lautet hier also:

$\tilde D_a = \{x\mid x\in \mathbb{R} , x\lt 0\}$

$\blacktriangleright$ Lage und Art des Extrempunkts erläutern

Betrachte $a\gt 0$ und $x \gt 0.$ Dann erhältst du für $\tilde f_{-a}(-x):$

$\tilde f_{-a}(-x) =f_a(x)$

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Bei gleichem Betrag von $a$ und $x$ bleibt also der Funktionswert von $\tilde f_a$ und $f_a$ gleich. Lediglich die $x$ -Koordinate bekommt ein negatives Vorzeichen.
Der Graph von $\tilde f_{-a}$ geht also aus dem Graphen von $f_{a}$ durch Spiegelung an der $y$ -Achse hervor.
Dadurch entspricht die Art des Extrempunkts des Graphen von $\tilde f_{-a}$ der Art des Extrempunkts des Graphen von $f_a.$ Ebenso besitzen beide Extrempunkte die gleiche $y$ -Koordinate. Lediglich die $x$ -Koordinate ändert ihr Vorzeichen.

$\blacktriangleright$ Verhalten der Funktionswerte angeben

Für $x \to +\infty$ gilt:

$h(x)= \frac{1}{10}\cdot \underbrace{\mathrm e^{x-1}}_{\to +\infty} + 2 \to +\infty$

Für $x\to -\infty$ gilt:

$h(x)= \frac{1}{10}\cdot \underbrace{\mathrm e^{x-1}}_{\to 0} + 2 \to 2$

$\blacktriangleright$ Graphen skizzieren

Abb. 1: Graph $K$

$\blacktriangleright$ Besondere Lage der Tangenten beschreiben und begründen

Es ist:

$\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& \frac{1}{10}\cdot \mathrm e^{x-1} +2 \\[5pt] h‘(x) &=& \frac{1}{10}\cdot \mathrm e^{x-1} \\[5pt] \end{array}$

Der Graph von $h‘$ geht also aus dem Graphen von $h$ durch Verschiebung um $2$ Einheiten in negative $y$ -Richtung hervor.
Die Verschiebung entlang der $y$ -Achse hat keinen Einfluss auf die Steigung des Graphen. Die Steigung des Graphen von $h‘$ an einer Stelle $x=u$ entspricht also der Steigung des Graphen von $h$ an derselben Stelle.
Die beiden Tangenten sind daher parallel zueinander. Die Tangente an den Graphen von $h‘$ an der Stelle $x=u$ entsteht aus der Tangente an den Graphen von $h$ an der Stelle $x=u$ durch Verschiebung um zwei Einheiten in negative $y$ -Richtung.

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung ermitteln

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass $p$ eine ganzrationale Funktion zweiten Grades ist. Der zugehörige Graph ist also eine Parabel. Der höchste Punkt des Logos entspricht dem Scheitelpunkt der Parabel. Er hat also die Koordinaten $Q(-1\mid 6).$ Mit der Scheitelpunktform erhältst du schon einmal:

$p(x)= a\cdot (x+1)^2 +6$

$a$ ist nun so zu bestimmen, dass der Punkt $P(4\mid 4),$ der die Spitze des Fischmauls beschreibt, auf dem Graphen von $p$ liegt:

$a=-\frac{2}{25}$

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Eine Funktionsgleichung von $p$ ist also:

$\begin{array}[t]{rll} p(x) &=& -\frac{2}{25} \cdot (x+1)^2 +6 \\[5pt] &=& -\frac{2}{25} x^2 -\frac{4}{25}x + \frac{148}{25} \end{array}$

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Streifens berechnen

Der Streifen ist die Fläche zwischen den Graphen von $p$ und $h$ im Bereich $-2\leq x \leq 0.$ Den zugehörigen Flächeninhalt kannst du demnach als Integral über $p-h$ berechnen:

$A \approx 7,91$

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Der Flächeninhalt des Streifens beträgt ca. $7,91\,\text{m}^2.$

$\blacktriangleright$ Zugehörige Funktionsgleichung angeben

Der Graph von $m$ geht aus dem Graphen $G_4$ hervor. Die zu $G_4$ gehörige Funktionsgleichung ist:

$f_4(x) = \frac{x}{4}\cdot \ln \left(\frac{x}{4}\right)$

Der Graph $G_4$ soll nun um $4$ Einheiten entlang der $y$ -Achse nach oben verschoben werden. Also folgt:

$\begin{array}[t]{rll} & m(x) \\[5pt] =& f_4(x)+4 \\[5pt] =& \frac{x}{4}\cdot \ln \left(\frac{x}{4}\right) +4 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Berechnung beschreiben

$A$ liegt auf der Strecke zwischen Rücken und Maul, die parallel zur $y$ -Achse verläuft, für die der senkrechte Abstand von Rücken und Maul am größten ist. Dieser senkrechte Abstand zwischen Rücken und Maul an der Stelle $x$ kann mithilfe der Differenzenfunktion $d(x) = p(x) - m(x)$ beschrieben werden.
Die Stelle $x_A,$ an der dieser Abstand maximal ist, ist die $x$ -Koordinate von $A.$ $x_A$ erhält man also, indem man $d$ auf dem Intervall $0,5\leq x \leq 4$ maximiert.
Dazu bestimmt man zunächst die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $d$ innerhalb dieses Intervalls mithilfe des notwendigen und hinreichenden Kriteriums für Extrempunkte und überprüft anschließend die Intervallränder auf Randextrema.
Wurde $x_A$ bestimmt, so fehlt noch die $y$ -Koordinate von $A.$ $A$ liegt genau mittig auf der angegebenen senkrechten Strecke zwischen dem Graphen von $p$ und dem Graphen von $m.$ Die $y$ -Koordinate von $A$ kann also wie folgt berechnet werden:

$y_A = p(x_A) - \frac{1}{2}\cdot \left(p(x_A)-m(x_E) \right)$

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