Analysis 2.1 - Trainingsstrecke

Durch die Gleichung $f_a(x)=(4 a-x) \cdot \mathrm e^{\frac{1}{2} x} ; x \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}, a \neq 0$ ist eine Funktionenschar $f_a$ gegeben. Die Graphen dieser Schar werden mit $G_a$ bezeichnet.

Die Schnittpunkte von $G_a$ mit den beiden Koordinatenachsen sind $S_x$ und $S_y.$
Ermittle die Koordinaten dieser beiden Punkte in Abhängigkeit von $a.$
Für jeden Wert von $a$ sind der Koordinatenursprung $O$ und die Schnittpunkte $S_x$ und $S_y$ die Eckpunkte eines Dreiecks. Zeige, dass für den Flächeninhalt dieser Dreiecke $A=8 a^2$ gilt.

(5 BE)

Gib das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x \rightarrow+\infty$ und $x \rightarrow-\infty$ an.

(2 BE)

Weise nach, dass die Ableitungsfunktionen $\(f_a$ von $f_a$ die Gleichung
$\(f_a$ haben.
Begründe ohne weitere Berechnungen, dass alle Stellen, an denen eine Funktion $f_a$ monoton fallend ist, in einem zusammenhängenden Intervall liegen.

(4 BE)

Jeder Graph $G_a$ hat genau einen Extrempunkt $E_a.$
Zeige, dass dieser Extrempunkt die $x$ -Koordinate $4 a-2$ hat und berechne die zugehörige $y$ -Koordinate.

(3 BE)

Neben dem Extrempunkt $E_a$ hat jeder Graph $G_a$ auch genau einen Wendepunkt $W_a.$ Zeige, dass der Abstand der $x$ -Koordinaten von Extrempunkt und Wendepunkt stets gleich groß ist.

(6 BE)

Die Extrempunkte $E_a\left(4 a-2 \mid 2 \mathrm e^{2 a-1}\right)$ aller Graphen $G_a$ liegen auf dem Graphen einer Funktion $h.$ Der Graph $G_h$ ist in der Abbildung 1 dargestellt.
Zeige, dass diese Funktion $h$ die Gleichung $h(x)=2 \cdot \mathrm e^{\frac{1}{2} x}$ hat.

Abb. 1

(2 BE)

$G_a$ und $G_h$ schneiden sich für jedes $a$ in einem Punkt.
Begründe, dass die Größe des Schnittwinkels nur von der Steigung des Graphen von $h$ im Schnittpunkt abhängt.

(3 BE)

Erläutere, wie unter Zuhilfenahme der Abbildung 1 aus Teilaufgabe $f$ näherungsweise der Parameterwert $a$ bestimmt werden kann, für den der zugehörige Extrempunkt zum Koordinatenursprung den kleinsten Abstand hat. Gib einen solchen Näherungswert an.

(5 BE)

In Abbildung 2 ist der Graph $G_1$ der Funktion $f_1$ dargestellt. Auf $G_1$ gibt es im I. Quadranten einen Punkt $P$ , für den gilt: $P$ und der Koordinatenursprung $O$ sind die diagonal gegenüberliegenden Eckpunkte eines achsenparallelen Quadrats. Im II. Quadranten gibt es einen Punkt $Q$ auf $G_1$ . Der Punkt $Q$ und $O$ sind diagonal gegenüberliegende Eckpunkte eines weiteren achsenparallelen Quadrats. Skizziere diese beiden Quadrate in die Abbildung 2 ein. Gib die Gleichungen an, die zu lösen sind, um die Seitenlängen der Quadrate rechnerisch zu bestimmen. Beschreibe, wie man das Verhältnis der Umfänge der beiden Quadrate zueinander berechnen kann.

Trainingsstrecke - Brandenburg Abi 2023 LK

Abb. 2

(5 BE)

In einer Trainingshalle für Skiläufer ist eine Skipiste angelegt, auf der kurze Anstiege und Abfahrten trainiert werden können. Das Profil dieser Skipiste wird im Intervall $[-7; 0]$ durch den Graphen der Funktion $f_{0,5}$ modelliert. In den Intervallen $[0 ; 4]$ und $[4;5]$ erfolgt die Modellierung der Profilkurve durch zwei quadratische Parabeln. Dabei werden die Parabeln so gewählt, dass die Profilkurve keinen Knick hat. Der Boden der Trainingshalle wird in der gleichen Profilansicht durch die $x$ -Achse beschrieben. In der Abbildung 3 ist die Profilkurve der Skipiste skizziert. Es gilt: $1\;\text{LE}=5\;\text{m}.$

Abb. 3

Ein Skiläufer trainiert auf dem Streckenabschnitt, der durch $G_{0,5}$ modelliert wird. Berechne den Höhenunterschied in Metern über dem Intervall $[-7 ; 0].$

(2 BE)

Zeige, dass die Funktion $F_{0,5}$ mit $F_{0,5}(x)=(-2 x+8) \cdot \mathrm e^{\frac{1}{2} x}$ eine Stammfunktion von $f_{0,5}$ ist. Berechne die Größe der Querschnittsfläche der Skipiste im Intervall $[-7 ; 0]$ und gib diese in Quadratmetern an.

(5 BE)

Begründe, dass die Modellierung der Profilkurve im Intervall $[0 ; 5]$ nicht mit einer quadratischen Parabel anstelle von zwei quadratischen Parabeln möglich ist.

(3 BE)

Begründe, dass die Profilkurve der Skipiste im Intervall $[0 ; 4]$ durch eine Parabel mit der Gleichung $y=ax^2+c$ modelliert werden kann. Berechne die Werte für $a$ und $c$ unter der Bedingung, dass die Querschnittsfläche für den Teil der Wand im Intervall $[0 ; 4]$ eine Größe von $155\;\text{m}^2$ hat.

(5 BE)

(50 BE)

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Koordinaten der Schnittpunkte ermitteln

$(4 a-x) \cdot \mathrm e^{\frac{1}{2} x}=0$

Da $\mathrm e^{\frac{1}{2} x}\neq0$ für jedes $x$ gilt, muss nach dem Satz des Nullprodukts $4 a-x=0$ sein, woraus $x=4a$ folgt. Somit gilt $S_x(4a\mid0 ).$

$f(0)=(4 a-0) \cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}\cdot 0}$ $=4a$

Die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_a$ mit der $y$ -Achse sind also $S_y(0\mid4a)$

Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen

$A$ $= \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$ $= \dfrac{1}{2}\cdot|4 a| \cdot|4 a|=8 a^2$

Für $x\rightarrow+\infty$ gilt $\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\rightarrow x.$

Für $a\lt \dfrac{x}{4}$ wird der Term $4a-x$ negativ und es folgt $\lim\limits_{x\to+\infty}f_a(x)=-\infty.$

Für $a = \dfrac{x}{4}$ gilt $4a-x=0$ und es folgt $\lim\limits_{x\to+\infty}f_a(x)=0.$

Für $a\gt \dfrac{x}{4}$ wird der Term $4a-x$ positiv und es folgt $\lim\limits_{x\to+\infty}f_a(x)=+\infty.$

Für $x \rightarrow-\infty$ strebt der Exponentialterm $e^{\frac{1}{2} x}$ gegen Null, während der Term $4 a-x$ für $x \rightarrow-\infty$ negativ wird.

Somit gilt $\lim\limits_{x\to-\infty}f_a(x)=0.$

Nachweis der Ableitungsfunktionen

Mit der Produktregel folgt:

Rechenweg anzeigen

$\( f$

Monotonieverhalten begründen

Der Term für die erste Ableitung wird negativ, wenn der lineare Term in der Klammer negativ ist, denn $\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}$ ist immer positiv. Jede lineare Funktion mit einer Steigung $m \neq 0$ hat in einem zusammenhängenden Intervall negative Funktionswerte. Also ist für dieses Intervall $\(f_a$ das heißt die Funktion $f_a$ verläuft monoton fallend.

Rechenweg anzeigen

$\( f$

$f_a(4a-2)$ $=(4a-(4a-2))$ $\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2} (4a-2)}$ $=2$ $\cdot\mathrm e^{2a-1}$

1. Schritt: Zweite Ableitung bestimmen

Mit der Produktregel folgt:

Rechenweg anzeigen

$\( f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung

$\(f_a$

Da $\mathrm e^{\frac{1}{2} x}\neq0$ für alle $x$ gilt, gilt nach dem Satz vom Nullprodukt genau dann $\(f$ wenn $-\dfrac{1}{4} x+a-1$ $=0.$ Es folgt:

Rechenweg anzeigen

$x_W = 4a-4$

Da nach Aufgabenstellung jeder Graph genau einen Wendepunkt $W_a$ hat, ist $x_W=4 a-4$ die Wendestelle. Für den Abstand der $x$ -Koordinaten von Extrem- und Wendepunkt gilt unabhängig von $a:$

$d=|(4 a-2)-(4 a-4)|=2\;[\text{LE}]$

$h(4 a-2)=2 \mathrm e^{\frac{1}{2} \cdot(4 a-2)}=2 \mathrm e^{2 a-1}$

Die Funktion $h$ hat die gegebene Gleichung, da alle Extrempunkte auf dem Graphen $G_h$ liegen.

Für jedes $a$ ist der Extrempunkt $E_{a}$ der Schnittpunkt zwischen $G_a$ und $G_h$ , da die Extrempunkte $E_a$ von $G_a$ auf $G_h$ liegen. Da der Graph $G_a$ im Extrempunkt $E_a$ eine Tangente mit der Steigung $m=0$ besitzt, hängt die Größe des Schnittwinkels nur von der Steigung des Graphen von $h$ im Schnittpunkt $E_a$ ab.

Damit der zu einem Wert von $a$ zugehörige Extrempunkt den kleinsten Abstand zum Koordinatenursprung hat, muss die in diesem Punkt angelegte Ursprungsgerade den Graphen $G_h$ unter einem Winkel von $90°$ schneiden. Einzeichnen dieser liefert $x\approx-0,8.$ Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 4a-2&=&-0,8 &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] 4a&=&1,2 &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] a&=&0,3 \end{array}$

Damit hat für ca. $a=0,3$ der Extrempunkt des zugehörigen Graphen den geringsten Abstand zum Koordinatenursprung.

Auflösen der Gleichungen $x_1$ $=f_1(x_1)$ bzw. $-x_2$ $=-f_1(-x_2)$ mit $x_{1 ; 2}\gt 0$ liefert die Seitenlängen $x_1$ bzw. $x_2$ der Quadrate.

Bei zwei Quadraten ist das Verhältnis der Umfänge gleich dem Verhältnis der Seitenlängen, somit liefert der Quotient $\frac{x_1}{x_2}$ das gesuchte Verhältnis der Umfänge der beiden Quadrate.

$f_{0,5}(0)-f_{0,5}(-7) \approx \; 1,73\;[\text{LE}]$

Mit $1 \; \text{LE}=5 \; \text{m}$ folgt ein Höhenunterschied von ca. $8,65\; \text{m}.$

Stammfunktion zeigen

Mit der Produktregel folgt:

Rechenweg anzeigen

$\( F$

Querschnittsfläche berechnen

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{-7}^{0} f_{0,5} \;\mathrm dx \approx 7,3 \;[\text{FE}]$

Aus $1 \; \text{LE}=5 \; \text{m}$ folgt $1 \; \text{FE}=25 \; \text{m}^2,$ somit hat die Querschnittsfläche der Skipiste im Intervall $[-7;0]$ eine Größe von ca. $7,3 \cdot 25 \approx 183\;[\text{m}^2].$

Da die Profilkurve bei $x=0$ und $x=5$ eine waagerechte Tangente besitzt, muss im Intervall $[0;5]$ ein Wechsel von einer Rechtskrümmung zu einer Linkskrümmung erfolgen. Mit lediglich einer quadratischen Parabel ist dies nicht möglich.

Aus der Abbildung folgt, dass die Änderung der Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung an der Stelle $x=4$ erfolgt, somit kann die Skipiste im Intervall $[0;4]$ durch eine Parabel mit der Gleichung $y$ $=a x^2+b x+c$ modelliert werden. Dafür muss der Scheitelpunkt die Koordinaten $(0\mid2)$ haben:

$\begin{array}[t]{rll} y(0)&=&2 \\[5pt] a\cdot 0^2+b\cdot 0+c&=&2 \\[5pt] c&=&2 \end{array}$

Für die Ableitung der Parabel gilt $\(y$ $=2ax+b.$

$\(\begin{array}[t]{rll} y$

Somit folgt $c=2$ und $b=0.$

Mit $y=ax^2+2$ ergibt sich dann für $a:$

$\begin{array}[t]{rll} 25\cdot \displaystyle\int_0^4(a x^2+2)\mathrm dx&=&155 &\quad \scriptsize \\[5pt] 25\cdot \left[\dfrac{1}{3} a x^3+2 x\right]_0^4&=&155 &\quad \scriptsize \\[5pt] 25\cdot (\dfrac{64}{3} a+8)&=&155 &\quad \scriptsize \mid\; :25\\[5pt] \dfrac{64}{3} a+8&=&\dfrac{155}{25} &\quad \scriptsize \mid\;-8 \\[5pt] \dfrac{64}{3} a&=&-\dfrac{9}{5} &\quad \scriptsize \mid\;:\dfrac{64}{3} \\[5pt] a&=& -\dfrac{27}{320} \end{array}$

Somit ergeben sich die Werte $a=-\dfrac{27}{320}$ und $c=2.$

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