Analysis 2.1 - Eingangstor

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit der Gleichung $f_a(x)=-ax^4+x^2+\dfrac{a}{2}$ ; $x\in\mathbb{R},a\in\mathbb{R}.$
Die zugehörigen Graphen sind $G_a$ .

Zeige, dass alle Graphen $G_a$ achsensymmetrisch zur $y$ -Achse verlaufen.

(1 BE)

Gib das Verhalten von $f_a$ für $x \rightarrow \pm \infty$ in Anhängigkeit von $a$ an.

(4 BE)

Bestimme rechnerisch für den Graphen der Funktion $f_{0,5}$ die Koordinaten und die Art der lokalen Extrempunkte.

(9 BE)

Gib den Schnittpunkt $S_y$ aller Graphen $G_a$ mit der $y$ -Achse an.
Weise nach, dass dieser stets lokaler Tiefpunkt ist.

[Kontrollergebnis: $\({f_a}$ ]

(5 BE)

Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Anhängigkeit von $a$ an und begründe diese anhand der in a) bis d) ermittelten Eigenschaften.

In der Abbildung 1 ist der Graph $G_{0,5}$ dargestellt.

Graph einer Funktion mit einer Welle, die die x- und y-Achse schneidet.

Abb. 1

(5 BE)

Begründe unter Zuhilfenahme der Abbildung 1, dass es ein zur $y$ -Achse symmetrisches Quadrat geben muss, von dem zwei Eckpunkte auf der $x$ -Achse und zwei Eckpunkte auf $G_{0,5}$ liegen.

(3 BE)

Ein Punkt auf dem Graphen $G_{0,5}$ im ersten Quadranten und der Koordinatenursprung sind die diagonal gegenüberliegenden Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks.
Die waagerechte Rechteckseite ist $0,8\;\text{LE}$ lang. Der Graph $G_{0,5}$ teilt dieses Rechteck in zwei Teilflächen.

Ermittle das Verhältnis der Flächeninhalte dieser Teilflächen.
Hinweis: Runde die Ergebnisse auf 2 Dezimalstellen.

(5 BE)

Die Tangente $t$ im Punkt $U(1 \mid f_a(1))$ an den Graphen $G_a$ und die Senkrechte zur Tangente $t$ im Punkt $U$ schließen mit der $x$ -Achse ein Dreieck ein.
Ermittle einen Parameterwert $a$ so, dass das Dreieck gleichschenklig ist und die Basis auf der $x$ -Achse liegt.

Für die folgende Teilaufgabe wird die Funktion $f_2$ mit

$f_2(x)=-2x^4+x^2+1$ ; $x\in\mathbb{R}$

betrachtet. Der Graph $G_2$ beschreibt im Inervall $[-1;1]$ die Profillinie für das Eingangstor eines Vergnügungsparks (siehe Abbildung 2). Die $x$ -Achse stellt im Profil die untere Begrenzung dar.
Es gilt: $1\;\text{LE}=3\,\text{m}.$

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen und einer grünen Kurve.

Abb. 2

(4 BE)

Ermittle, welche Breite ein Fahrzeug mit einem quaderförmigen Aufbau unterschreiten muss, damit es bei Ausnutzung der maximalen Durchfahrtshöhe gerade noch mittig das Eingangstor passieren kann.

(4 BE)

(40 BE)

Graphen $G_a$ auf Achsensymmetrie zur $y$ -Achse überprüfen:

Achsensymmetrisch zur $y$ -Achse bedeutet: $f_a(-x)=f_a(x)$

$\begin{array}[t]{rll} f_a(-x)&=&-a(-x)^4+(-x)^2+\dfrac{a}{2} &\quad \\[5pt] &=&-ax^4+x^2+\dfrac{a}{2} &\quad \\[5pt] &=&f_a(x) \end{array}$

Dadurch ist gezeigt, dass die Graphen $G_a$ achsensymmetrisch zur $y$ -Achse verlaufen.

Grenzwerte bestimmen:

Für $a\gt 0$ gilt: $\lim\limits_{x\to\pm\infty} f_a(x)= -\infty$

Für $a \leq 0$ gilt: $\lim\limits_{x\to\pm \infty} f_a(x)=+ \infty$

Koordinaten und Art der lokalen Extrempunkte bestimmen:

$f_{0,5}(x)=-0,5x^4+x^2+\dfrac{1}{4}$

$\(f_{0,5}$

Notwendiges Kriterium: $\(f_{0,5}$

$\begin{array}[t]{rll} -2x^3+2x&=&0 &\quad \\[5pt] 2x\cdot (-x^2+1)&=&0\quad \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt gilt:

$2x=0$ oder $-x^2+1=0$

Daraus folgt: $x_1=0$ oder $x_{2/3}=\pm1$

Hinreichendes Kriterium:

$\(f$ , daraus folgt, dass $f$ an der Stelle $x_0$ ein lokales Maximum besitzt.
$\(f$ , daraus folgt, dass $f$ an der Stelle $x_0$ ein lokales Minimum besitzt.

$\(f_{0,5}$ , daraus folgt, dass $f_{0,5}$ an der Stelle $x=0$ ein lokales Minimum besitzt.
$\(f_{0,5}$ , daraus folgt, dass $f_{0,5}$ an der Stelle $x=1$ ein lokales Maximum besitzt.
$\(f_{0,5}$ , daraus folgt, dass $f_{0,5}$ an der Stelle $x=-1$ ein lokales Maximum besitzt.

Koordinaten der Extremstellen bestimmen:

$T\left(0\,\bigg \vert \,\dfrac{1}{4}\right)$ , $H_{1}\left(1\,\bigg \vert \,\dfrac{3}{4}\right)$ und $H_{2}\left(-1\,\bigg \vert \,\dfrac{3}{4}\right)$

Nachweisen, dass $S_y$ stets ein lokaler Tiefpunkt ist:

$f_a(0)=-a\cdot 0^4+0^2+\dfrac{a}{2}$

Koordinaten des Schnittpunktes mit der $y$ -Achse: $S_y\left(0\,\bigg \vert \, \dfrac{a}{2}\right)$
$\(f_{a}$
$\(f_{a}$

Notwendiges Kriterium: $\(f_{a}$

für $x=0$ gilt: $\(f_a$

Hinreichendes Kriterium:

$\(f_{a}$ , daraus folgt, dass $f_a$ an der Stelle $x=0$ stets ein lokales Minimum besitzt.

Damit ist nachgewiesen, dass der Schnittpunkt $S_y$ aller Graphen $G_a$ mit der $y$ -Achse stets ein lokaler Tiefpunkt ist.

Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ angeben:

Fall $1$ :
Für $a=0$ existiert genau eine Nullstelle, da in diesem Fall die Normalparabel entsteht.

Fall $2$ :
Für $a\gt 0$ existieren genau zwei Nullstellen, da der Tiefpunkt (und damit auch die beiden möglichen Hochpunkte) über der $x$ -Achse liegt und die Funktionswerte für $x\rightarrow\pm \infty$ gegen $-\infty$ streben.

Fall $3$ :
Für $a\lt 0$ existieren ebenfalls genau zwei Nullstellen, da der Tiefpunkt unter der $x$ -Achse liegt und somit die Funktionswerte für $x\rightarrow \pm \infty$ gegen $+\infty$ streben.

Hochpunkte kann es nicht geben, weil dann das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x\rightarrow \pm \infty$ anders sein müsste.

Quadrat finden:

Gesucht ist ein zur $y$ -Achse symmetrisches Quadrat mit der Seitenlänge $s$ , von dem zwei Eckpunkte auf der $x$ -Achse und zwei Eckpunkte auf dem Graphen $G_{0,5}$ liegen.

Bedingungen, die erfüllt werden müssen:
Für den ersten Eckpunkt auf der $x$ -Achse muss gelten: $A\left(\dfrac{s}{2} \,\bigg \vert \, 0\right)$

Für den zweiten Eckpunkt auf der $x$ -Achse muss gelten: $B\left(-\dfrac{s}{2} \,\bigg \vert \, 0 \right)$

Für den ersten Eckpunkt auf $G_{0,5}$ muss gelten: $C\left(\dfrac{s}{2} \,\bigg \vert \, s\right)$ und $f_{0,5}\left(\dfrac{s}{2}\right)=s$

Für den zweiten Eckpunkt auf $G_{0,5}$ muss gelten: $D\left(-\dfrac{s}{2} \,\bigg \vert \, s\right)$ und $f_{0,5}\left(-\dfrac{s}{2}\right)=s$

Der Eckpunkt $C\left(\dfrac{s}{2} \,\bigg \vert \, s\right)$ liegt im $1.$ Quadranten auf dem Graphen der Geraden $y_1=2x$ , welche einen Schnittpunkt mit dem Graphen $G_{0,5}$ besitzt.
Aufgrund der Achsensymmetrie des Graphen $G_{0,5}$ gibt es im $2.$ Quadranten ebenfalls einen Eckpunkt, der auf dem Graphen der Geraden $y_2=-2x$ liegt und einen Schnittpunkt mit dem Graphen $G_{0,5}$ besitzt.

Mit dieser Begründung ist bewiesen, dass es ein zur $y$ -Achse symmetrisches Quadrat geben muss, von dem zwei Eckpunkte auf der $x$ -Achse und zwei Eckpunkte auf $G_{0,5}$ liegen.

Skizze:

Mathematische Grafik mit Kurven und Punkten im Koordinatensystem.

Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Teilflächen ermitteln:

Eckpunkt des Rechtecks:
Der Eckpunkt des Rechtecks, der auf dem Graphen $G_{0,5}$ liegt, hat die Koordinaten $\left(\dfrac{4}{5}\,\bigg \vert \, \dfrac{1713}{2500}\right)$ .

Flächeninhalt des Rechtecks:

$A_{\text{Rechteck}}=\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{1713}{2500}=\dfrac{1713}{3125}\approx 0,55\,\text{FE}$

Flächeninhalt unterhalb des Graphen:

$A \approx 0,34 \,\text{FE}$

Vollständige Lösung anzeigen

Verhältnis der Flächeninhalte dieser Teilflächen:

$:0,55$

$\begin{array}{rrcll} &0,55 &\mathrel{:}& 0,34\\[5pt] & 1&\mathrel{:}& 0,62\\[5pt] \end{array}$

$:0,55$

Der Graph $G_{0,5}$ teilt die Rechteckfläche im Verhältnis $1:0,62$ .

Wert für den Paramter $a$ ermitteln:

$\(f_a$

Steigung der Tangenten bestimmen:

$\(m_t=f$

Die Tangente und die zugehörige Senkrechte schließen einen rechten Winkel ( $90^{\circ}$ ) ein.
Das beschriebene Dreieck soll gleichschenklig sein, das heißt, dass die Basiswinkel $45^{\circ}$ groß sein müssen.
Damit dies erfüllt ist, müssen die Anstiege der Tangente und der Senkrechte entweder $1$ und $-1$ oder $-1$ und $1$ sein.

Möglichkeit $1$ : $m_t=1$

$\begin{array}[t]{rll} -4a+2&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] -4a&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; :(-4)\\[5pt] a&=&\dfrac{1}{4} \end{array}$

Möglichkeit $2$ : $m_t=-1$

$\begin{array}[t]{rll} -4a+2&=&-1 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] -4a&=&-3 &\quad \scriptsize \mid\; :(-4)\\[5pt] a&=&\dfrac{3}{4} \end{array}$

Für die Parameterwerte $a=0,25$ oder $a=0,75$ ist das beschriebene Dreieck gleichschenklig.

Zu unterschreitende Breite eines Fahrzeuges ermitteln:

Bestimme die Lösung folgender Gleichung:

$f_2(x)=-2x^4+x^2+1=1$

$\begin{array}[t]{rll} -2x^4+x^2+1&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -2x^4+x^2&=&0 \\[5pt] x^2\cdot(-2x^2+1)&=&0 \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt gilt:

$x^2=0$ oder $-2x^2+1=0$

Daraus ergeben sich die Lösungen $x_1=0$ , $x_2=\sqrt{0,5}$ oder $x_3=-\sqrt{0,5}$ .

Die Lösungen $x_1=0$ und $x_3=-\sqrt{0,5}$ entfallen.

Die Breite des Fahrzeuges entspricht $2\cdot \sqrt{0,5}=\sqrt{2} \,\text{LE}$ .

Eine Längeneinheit entspricht $3\,\text{m}$ .

Daraus folgt, dass die Breite des Fahrzeuges den Wert $3\cdot \sqrt{2}\approx 4,24\,\text{m}$ unterschreiten muss.