Stochastik 3.2 - Stahlkugeln

Ein Unternehmen produziert Stahlkugeln für Kugellager. Erfahrungsgemäß sind 4 % aller Kugeln fehlerhaft.
200 Kugeln werden zufällig ausgewählt. Die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschrieben werden.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse.

$C:$

„Genau 6 der ausgewählten Kugeln sind fehlerhaft. “

$D:$

„Weniger als 6 der ausgewählten Kugeln sind fehlerhaft. “

(3 BE)

Es gilt: $P(X=10) \approx 10\,\%.$
Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.

(5 BE)

Eine fehlerhafte Kugel hat entweder einen Formfehler oder einen Größenfehler. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kugel einen Formfehler hat, beträgt 3 %. Alle Kugeln werden vor dem Verpacken geprüft. Dabei werden 95 % der Kugeln mit Formfehler, 98 % der Kugeln mit Größenfehler, aber auch 0,5 % der Kugeln ohne Fehler aussortiert.

Stelle den Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(4 BE)

Beurteile unter Zuhilfenahme geeigneter Rechnungen folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel nicht aussortiert wird, ist doppelt so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass eine aussortierte Kugel keinen Formfehler hat.

(6 BE)

Aufgrund zunehmender Reklamationen wird vermutet, dass der Anteil der fehlerhaften Kugeln auf über 4 % angestiegen ist. Um diese Vermutung zu prüfen, soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Kugeln beträgt höchstens 4 %.“ auf der Grundlage einer Stichprobe von 500 Kugeln getestet werden.
Wenn das Ergebnis des Tests die Vermutung nicht entkräftet, soll die Produktion unterbrochen werden, um die Maschinen zu warten. Das Risiko, die Produktion irrtümlich zu unterbrechen, soll höchstens 3 % betragen.

Beschreibe für diesen Test im Sachzusammenhang den Fehler zweiter Art.
Gib die Konsequenz an, die sich aus diesem Fehler für die Produktion ergeben würde.

(3 BE)

Für den beschriebenen Test wird der Ablehnungsbereich betrachtet. Eine der beiden Grenzen dieses Ablehnungsbereichs ist größer als 0 und kleiner als 500; diese Grenze wird mit $k$ bezeichnet. Zur Bestimmung des Werts von $k$ soll die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ mit den Parametern $n= 500$ und $p= 0,04$ verwendet werden.
Begründe, dass keine der beiden Ungleichungen I und II den korrekten Wert von $k$ liefert.

$P(Y\leq k) \leq 0,03$

$P(Y\leq k) \gt 0,97$

(4 BE)

Die Kugeln werden in Packungen verkauft. Ein Teil der verkauften Packungen wird zurückgegeben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine verkaufte Packung zurückgegeben wird, beträgt 3 %. Dem Unternehmen entsteht pro Packung, die zurückgegeben wird, ein Verlust von 5,80 Euro; pro Packung, die nicht zurückgegeben wird, erzielt das Unternehmen einen Gewinn von 8,30 Euro.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen bei einem Verkauf von 200 Packungen einen Gesamtgewinn von mindestens 1500 Euro erzielt.

(4 BE)

In einer Packung von 20 Kugeln sind genau 2 fehlerhafte Kugeln.

Es werden zufällig nacheinander drei Kugeln aus der Packung entnommen, ohne sie zurückzulegen.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse:

$F:$

„Die dritte Kugel ist fehlerhaft. “

$G:$

„Mindestens eine Kugel ist fehlerhaft. “

(5 BE)

Es sollen $k$ Kugeln aus der Packung entnommen werden, ohne sie zurückzulegen. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit $p$ dafür, dass mindestens eine der entnommenen Kugeln eine fehlerhafte Kugel ist, kleiner als 0,5 sein.
Ermittle, wie viele Kugeln höchstens entnommen werden dürfen, wenn die Bedingung „p kleiner als 0,5 “ erfüllt bleiben soll.

(4 BE)

(40 BE)

Anlage

Summierte Binomialverteilung für $n = 200$

Dargestellt sind die Werte $P(X\leq k).$
Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist "0,",
alle freien Plätze und alle nicht dargestellten Zeilen enthalten 0,0000 bzw. 1,0000
Wird die Tabelle „von unten“ gelesen $(p \gt 0,5),$ ist der richtige Wert 1 - (abgelesener Wert).

Tabelle anzeigen

	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P
1
2	n		p
3	n	k	0,03	0,04	0,05	0,10	1/6	0,20	0,25	0,30	1/3	0,40	0,45	0,50
4	200	0	0,0023	0,0003	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	200
5		1	0,0163	0,0027	0,0004	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	199
6		2	0,0593	0,0125	0,0023	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	198
7		3	0,1472	0,0395	0,0091	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	197
8		4	0,2810	0,0950	0,0265	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	196
9		5	0,4432	0,1857	0,0623	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	195
10		6	0,6063	0,3084	0,1237	0,0002	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	194
11		7	0,7461	0,4501	0,2133	0,0005	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	193
12		8	0,8504	0,5926	0,3270	0,0014	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	192
13		9	0,9192	0,7192	0,4547	0,0035	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	191
14		10	0,9599	0,8200	0,5831	0,0081	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	190
15		11	0,9816	0,8925	0,6998	0,0168	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	189
16		12	0,9922	0,9401	0,7965	0,0321	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	188
17		13	0,9969	0,9688	0,8701	0,0566	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	187
18		14	0,9989	0,9848	0,9219	0,0930	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	186
19		15	0,9996	0,9930	0,9556	0,1431	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	185
20		16	0,9999	0,9970	0,9762	0,2075	0,0003	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	184
21		17		0,9988	0,9879	0,2849	0,0006	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	183
22		18		0,9995	0,9942	0,3724	0,0013	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	182
23		19		0,9998	0,9973	0,4655	0,0027	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	181
24		20		0,9999	0,9988	0,5592	0,0052	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	180
25		21			0,9995	0,6484	0,0094	0,0002	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	179
26		22			0,9998	0,7290	0,0163	0,0005	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	178
27		23			0,9999	0,7983	0,0269	0,0010	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	177
28		24				0,8551	0,0426	0,0020	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	176
29		25				0,8995	0,0648	0,0036	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	175
30		26				0,9328	0,0945	0,0064	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	174
31		27				0,9566	0,1329	0,0110	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	173
32		28				0,9729	0,1804	0,0179	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	172
33		29				0,9837	0,2366	0,0283	0,0002	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	171
34		30				0,9905	0,3007	0,0430	0,0004	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	170
35		31				0,9947	0,3711	0,0632	0,0008	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	169
36		32				0,9971	0,4454	0,0899	0,0015	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	168
37		33				0,9985	0,5210	0,1239	0,0026	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	167
38		34				0,9992	0,5954	0,1656	0,0044	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	166
39		35				0,9996	0,6658	0,2151	0,0073	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	165
40		36				0,9998	0,7305	0,2717	0,0117	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	164
41		37				0,9999	0,7877	0,3345	0,0182	0,0002	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	163
42		38					0,8369	0,4019	0,0276	0,0003	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	162
43		39					0,8777	0,4718	0,0405	0,0005	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	161
44		40					0,9106	0,5422	0,0579	0,0009	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	160
45		41					0,9362	0,6108	0,0804	0,0016	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	159
46		42					0,9557	0,6758	0,1089	0,0027	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	158
47		43					0,9699	0,7355	0,1438	0,0045	0,0002	0,0000	0,0000	0,0000	157
48		44					0,9801	0,7887	0,1852	0,0072	0,0003	0,0000	0,0000	0,0000	156
49		45					0,9872	0,8349	0,2332	0,0111	0,0005	0,0000	0,0000	0,0000	155
50		46					0,9919	0,8738	0,2870	0,0169	0,0009	0,0000	0,0000	0,0000	154
51		47					0,9951	0,9056	0,3458	0,0249	0,0016	0,0000	0,0000	0,0000	153
52		48					0,9970	0,9310	0,4083	0,0360	0,0026	0,0000	0,0000	0,0000	152
53		49					0,9983	0,9507	0,4729	0,0506	0,0042	0,0000	0,0000	0,0000	151
54		50					0,9990	0,9655	0,5379	0,0696	0,0067	0,0000	0,0000	0,0000	150
55		51					0,9995	0,9764	0,6017	0,0934	0,0103	0,0000	0,0000	0,0000	149
56		52					0,9997	0,9843	0,6626	0,1228	0,0154	0,0000	0,0000	0,0000	148
57		53					0,9998	0,9897	0,7192	0,1579	0,0226	0,0000	0,0000	0,0000	147
58		54					0,9999	0,9934	0,7707	0,1989	0,0324	0,0001	0,0000	0,0000	146
59		55						0,9959	0,8162	0,2455	0,0453	0,0002	0,0000	0,0000	145
60		56						0,9975	0,8555	0,2972	0,0621	0,0003	0,0000	0,0000	144
61		57						0,9985	0,8885	0,3532	0,0833	0,0005	0,0000	0,0000	143
62		58						0,9991	0,9157	0,4123	0,1094	0,0008	0,0000	0,0000	142
63		59						0,9995	0,9375	0,4734	0,1409	0,0013	0,0000	0,0000	141
64		60						0,9997	0,9546	0,5348	0,1778	0,0021	0,0000	0,0000	140
65		61						0,9999	0,9677	0,5953	0,2202	0,0034	0,0000	0,0000	139
66		62						0,9999	0,9775	0,6534	0,2677	0,0053	0,0000	0,0000	138
67		63							0,9846	0,7079	0,3198	0,0080	0,0001	0,0000	137
68	64							0,9897	0,7579	0,3755	0,0119	0,0001	0,0000	136
69	65							0,9932	0,8028	0,4338	0,0173	0,0002	0,0000	135
70	66							0,9956	0,8421	0,4934	0,0247	0,0004	0,0000	134
71	67							0,9973	0,8758	0,5530	0,0346	0,0006	0,0000	133
72			p
73			0,97	0,96	0,95	0,90	5/6	0,80	0,75	0,70	2/3	0,60	0,55	0,50	k

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$X:$ Anzahl der fehlerhaften Kugeln

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten können aus der Tabelle der Anlage abgelesen werden:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} P(C) &\approx & 12\,\%\\[10pt] P(D) &\approx & 19\,\%\\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $10$ Kugeln aus den $200$ zufällig ausgewählten Kugeln fehlerhaft sind, beträgt etwa $10\,\%.$

Formel für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße anwenden:

$\mu=n\cdot p=200\cdot 0,04=8$

Formel für die Standardabweichung $\sigma$ einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} \frac{\sigma}{2}&=&\frac{1}{2}\cdot\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot\sqrt{200\cdot0,04\cdot0,96}\\[5pt] &\approx& 1,386 \end{array}$

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit folgt: $8-\frac{\sigma}{2}\approx 7$ und $8+\frac{\sigma}{2}\approx9$ liegen. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt:

$\begin{array}[t]{rll} &P(\mu - \frac{\sigma}{2} \leq X \leq \mu + \frac{\sigma}{2}) \\[5pt] =& P(8-1,386 \leq X \leq 8 +1,386) \\[5pt] =& P_{0,04}^{200}(7\leq X\leq 9)\\[5pt] =& P_{0,04}^{200}(X\leq9)-P_{0,04}^{200}(X\leq 6)\\[5pt] \approx& 0,7192-0,3084\\[5pt] \approx& 0,41\\[5pt] =& 41\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $41\,\%$ weicht die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl ab.

A: Eine zufällig ausgewählte Kugel wird aussortiert.

Diagramm zur Fehleranalyse mit Prozentanteilen für keine Fehler, Formfehler und Größenfehler.

Mit Hilfe des Baumdiagramms und den Pfadregeln kann die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass eine zufällig ausgewählte Kugel nicht aussortiert wird:

$P(\overline{A})$ $=0,96\cdot 0,995+0,03\cdot0,05+0,01\cdot0,02$ $=0,9569\approx 96\%$

Mit dem Satz von Bayes kann die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass eine zufällig ausgewählte aussortierte Kugel keinen Formfehler hat:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$P_A(\text{kein Formfehler})\approx 34\,\%$

Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel nicht aussortiert wird, nicht doppelt so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass eine aussortierte Kugel keinen Formfehler hat.

Fehler zweiter Art
Beim Fehler zweiter Art wird die Nullhypothese fälschlicherweise nicht abgelehnt.
Das Unternehmen geht also irrtümlich davon aus, dass der Anteil der fehlerhaften Kugeln nicht auf über $4\,\%$ angestiegen ist.

Konsequenz
Die Produktion wird nicht unterbrochen und es wird weiter mit einer erhöhten Fehlerquote produziert.

Die Nullhypothese soll mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $3\,\%$ irrtümlich abgelehnt werden.
Dies geschieht nur dann, wenn signifikant zu viele fehlerhafte Kugeln in der Stichprobe enthalten sind.
Unter der Annahme, dass die Nullhypothese zutrifft, soll die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl fehlerhafter Kugeln mindestens $k$ beträgt, also höchstens $3\,\%$ betragen.
Anders formuliert, soll die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl fehlerhafter Kugeln kleiner als $k$ ist, größer als $97\,\%$ sein. Damit müsste in der Ungleichung I „ $Y\geq k$ “ anstelle von „ $Y\leq k$ “ und in der Ungleichung II „ $Y\lt k$ “ anstelle von „ $Y\leq k$ “ stehen.

Die Zufallsgröße $Z,$ beschreibt die Anzahl $z$ der zurückgegebenen Packungen.
Anzahl der zurückgegebenen Packungen bestimmen:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$z\leq11$

Damit der Gesamtgewinn mindestens $1500\,€$ beträgt, dürfen also höchstens elf Packungen zurückgegeben werden.

Mit Hilfe der Tabelle aus der Anlage ergibt sich die Wahrscheinlichkeit:

$P_{0,03}^{200}(Z\leq 11)\approx0,9816\approx98\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $98\,\%$ erzielt das Unternehmen bei einem Verkauf von $200$ Packungen einen Gesamtgewinn von mindestens $1500\,\text{Euro}.$