Stochastik 4.2 - Spam-Mail

Ein Nutzer von E-Mail-Kommunikation stellt fest, dass der Anteil von unerwünschten Werbe-E-Mails (Spam-Mails) an seinen Posteingang über einen längeren Zeitraum konstant $30\,\%$ beträgt.
Angenommen wird dabei, dass die Spam-Mails zufällig und unabhängig voneinander eingehen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse.

A: „Von fünf eingegangenen E-Mails ist keine eine Spam-Mail.“
B: „Von fünf eingegangenen E-Mails ist nur genau die letzte eine Spam-Mail.“

(3 BE)

In einer Woche befinden sich $50$ Mails im Posteingang.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Spam-Mails in dieser Woche um mehr als $20\,\%$ über dem Erwartungswert liegt.

(3 BE)

Die Spam-Mails enthalten Schlüsselwörter, an denen man sie sehr gut erkennt und durch die der Spam-Filter sie aussortiert. In $40\,\%$ der Spam-Mails taucht das Schlüsselwort „sale“ auf, in den E-Mails, die keine Spam-Mails sind, jedoch nur $1\,\%$ der Fälle.

Stelle diesen Sachverhalt in einer Vierfeldertafel dar.

(4 BE)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine vom Spam-Filter durch das Wort „sale“ aussortierte E-Mail keine Spam-Mail ist.

(2 BE)

In $15\,\%$ der Spam-Mails ist das Schlüsselwort „season“ enthalten und wird ebenfalls mit dem Spam-Filter erkannt.

Paul behauptet, dass der Anteil der E-Mails, die durch die Worte „sale“ oder „season“ als Spam erkannt werden, an allen E-Mails $55\,\%$ beträgt.
Begründe ohne Rechnung, dass diese Behauptung im Allgemeinen falsch ist.

(2 BE)

Der Anteil der Spam-Mails, die durch die Worte „sale“ oder „season“ als Spam erkannt werden, beträgt $45\,\%.$
Berechne den Anteil der Spam-Mails, in denen beide Worte vorkommen.

(3 BE)

Nach einem Jahr wird in einer Fachzeitschrift behauptet, dass sich der Anteil der Spam-Mails an den eingehenden E-Mails verändert hat. Jemand will das für den Anteil von ursprünglich $30\,\%$ Spam-Mails im E-Mail-Eingang mit einem Signifikanztest auf dem Niveau $a=0,05$ für eine Stichprobe von $n=50$ zufällig ausgewählten E-Mails untersuchen.

Dafür werden folgende Hypothesen festgelegt.

$H_0:$ Der Anteil der Spam-Mails an den eingegangenen E-Mails beträgt $30\,\%.$
$H_1:$ Der Anteil der Spam-Mails an den eingegangenen E-Mails hat sich verändert.

Die Zufallsgröße $X$ sei die Anzahl der Spam-Mails.

Entscheide, welche Art von Entscheidungsregel geeignet ist und begründe deine Entscheidung:

Entscheidungsregel 1: Wenn $X\geq k$ gilt, dann wird $H_0$ abgelehnt.
Entscheidungsregel 2: Wenn $k_u \lt X \lt k_0$ gilt, dann wird $H_0$ nicht abgelehnt.

(3 BE)

Der Nutzer behauptet nun, dass sich der Anteil der E-Mails, die Spam-Mails sind, in seinem E-Mail-Eingang vergrößert hat.

Berechne unter Annahme der Binomialverteilung, in welchem Bereich die Anzahl der Spam-Mails in einer Stichprobe von $n=50$ E-Mails sein muss, um die Vermutung des Nutzers auf einem Signifikanzniveau von $a= 0,05$ zu stützen.

(5 BE)

(25 BE)

Anlage

Summierte Binomialverteilung für $n=50$

Dargestellt sind die Werte $P (X\leq k).$

Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist $"0",$
alle freien Plätze und alle nicht dargestellten Zeilen enthalten $0$ bzw. $1,0000.$
Wird die Tabelle "von unten" gelesen $(p\gt0,5),$ ist der richtige Wert $1-$ (abgelesener Wert).

	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N
1
2	n		p
3	n	k	0,05	0,10	1/6	0,20	0,25	0,30	1/3	0,40	0,45	0,50
4	50	0	0,0769	0,0052	0,0001	0,0000							49
5		1	0,2794	0,0338	0,0012	0,0002	0,0000						48
6		2	0,5405	0,1117	0,0066	0,0013	0,0001						47
7		3	0,7604	0,2503	0,0238	0,0057	0,0005	0,0000					46
8		4	0,8964	0,4312	0,0643	0,0185	0,0021	0,0002	0,0000				45
9		5	0,9622	0,6161	0,1388	0,0480	0,0071	0,0007	0,0001				44
10		6	0,9882	0,7702	0,2506	0,1034	0,0194	0,0025	0,0005	0,0000			43
11		7	0,9968	0,8779	0,3911	0,1904	0,0453	0,0073	0,0017	0,0001			42
12		8	0,9992	0,9421	0,5421	0,3073	0,0916	0,0183	0,0050	0,0002	0,0000		41
13		9	0,9998	0,9755	0,6830	0,4437	0,1637	0,0402	0,0127	0,0008	0,0001		40
14		10		0,9907	0,7986	0,5836	0,2622	0,0789	0,0284	0,0022	0,0002	0,0000	39
15		11		0,9968	0,8827	0,7107	0,3816	0,1390	0,0571	0,0057	0,0006	0,0001	38
16		12		0,9990	0,9373	0,8139	0,5110	0,2229	0,1035	0,0133	0,0018	0,0002	37
17		13		0,9997	0,9693	0,8894	0,6370	0,3279	0,1715	0,0280	0,0045	0,0005	36
18		14		0,9999	0,9862	0,9393	0,7481	0,4468	0,2612	0,0540	0,0104	0,0013	35
19		15			0,9943	0,9692	0,8369	0,5692	0,3690	0,0955	0,0220	0,0033	34
20		16			0,9978	0,9856	0,9017	0,6839	0,4868	0,1561	0,0427	0,0077	33
21		17			0,9992	0,9937	0,9449	0,7822	0,6046	0,2369	0,0765	0,0164	32
22		18			0,9998	0,9975	0,9713	0,8594	0,7126	0,3356	0,1274	0,0325	31
23		19			0,9999	0,9991	0,9861	0,9152	0,8036	0,4465	0,1974	0,0595	30
24		20				0,9997	0,9937	0,9522	0,8741	0,5610	0,2862	0,1013	29
25		21				0,9999	0,9974	0,9749	0,9244	0,6701	0,3900	0,1611	28
26		22					0,9990	0,9877	0,9576	0,7660	0,5019	0,2399	27
27		23					0,9996	0,9944	0,9778	0,8438	0,6134	0,3359	26
28		24					0,9999	0,9976	0,9892	0,9022	0,7160	0,4439	25
29		25						0,9991	0,9951	0,9427	0,8034	0,5561	24
30		26						0,9997	0,9979	0,9686	0,8721	0,6641	23
31		27						0,9999	0,9992	0,9840	0,9220	0,7601	22
32		28							0,9997	0,9924	0,9556	0,8389	21
33		29							0,9999	0,9966	0,9765	0,8987	20
34		30								0,9986	0,9884	0,9405	19
35		31								0,9995	0,9947	0,9676	18
36		32								0,9998	0,9978	0,9836	17
37		33								0,9999	0,9991	0,9923	16
38		34									0,9997	0,9967	15
39		35									0,9999	0,9987	14
40		36										0,9995	13
41		37										0,9999	12
42			0,95	0,90	5/6	0,80	0,75	5/7	2/3	0,60	5/9	0,50	k
43			p

Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 0,7^5 \\[5pt] &\approx& 0,1680 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ beträgt $16,80\,\%$ .

Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& 0,7^4\cdot0,3 \\[5pt] &\approx& 0,0720 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ beträgt $7,20\,\%$ .

Wahrscheinlichkeit berechnen:

Definiere eine Zufallsvariable $X$ .

$X$ : Anzahl der Spam-Mails in dieser Woche
$X$ ist binomialverteilt mit $B_{50;0,3}$ ( $n=50$ und $p=0,3$ ).

Der Erwartungswert von $X$ wird berechnet durch $E(X)=n\cdot p$ .

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 50\cdot0,3\\[5pt] &=& 15 \end{array}$

$20\,\%$ über $E(X)$ : $15 \cdot 1,2=18$

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq19)&=& 1-P(X\leq18) &\approx&0,1406 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Spam-Mails in dieser Woche um mehr als $20\,\%$ über dem Erwartungswert liegt, beträgt $14,06\,\%$ .

Sachverhalt in Vierfeldertafel darstellen:

	Spam	kein Spam	Gesamt
"sale"	$0,12$	$0,007$	$0,127$
kein "sale"	$0,18$	$0,693$	$0,873$
Gesamt	$0,30$	$0,7$	$1$

Wahrscheinlichkeit berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{"sale"}}(\overline{\text{Spam}})&=& \dfrac{P(\overline{\text{Spam}} \cap \text{"sale"})}{P(\text{"sale"})} \\[5pt] &=& \dfrac{0,007}{0,127} \\[5pt] &\approx& 0,0551 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine vom Spam-Filter durch das Wort "sale" aussortierte E-Mail keine Spam-Mail ist, beträgt $5,51\,\%$ .

Behauptung überprüfen:

Pauls Behauptung ist nicht wahr, da es nicht ausgeschlossen ist, dass beide Schlüsselwörter zusammen in einer E-Mail vorkommen.

Anteil berechnen:

$P_{\text{Spam}}(\text{"sale"} \cap \text{"season"})=0,1$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Anteil der Spam-Mails, in denen beide Worte vorkommen, beträgt $10\,\%$ .

$X$ : Anzahl der Spam-Mails
$X$ ist im Grenzfall binomialverteilt mit $n=50$ und $p=0,3$ .
$\alpha =0,05$

$H_0$ : Der Anteil der Spam-Mails an den eingegangenen E-Mails beträgt 30%.
$H_1$ : Der Anteil der Spam-Mails an den eingegangenen E-Mails hat sich verändert.

Entscheidungsregel $1$ : Wenn $X\geq k$ gilt, dann wird $H_0$ abgelehnt.
Entscheidungsregel $2$ : Wenn $k_u \lt X \lt k_o$ gilt, dann wird $H_0$ nicht abgelehnt.

Entscheidungsregel auswählen und begründen:

Die Untersuchung benötigt einen zweiseitigen Signifikanztest, da sich der Anteil der Spam-Mail vergrößert oder verkleinert haben kann.

Daraus folgt, dass die Entscheidungsregel $2$ geeignet ist.
Entscheidungsregel $2$ : Wenn $k_u \lt X \lt k_o$ gilt, dann wird $H_0$ nicht abgelehnt.

Rechtsseitigen Signifikanztest durchführen:

Gesucht ist der kleinste Wert $k_o$ mit: $P(X\geq k_o)\leq0,05$ .

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq k_o)&\leq&0,05 &\quad \\[5pt] 1- P(X\leq\,k_o-1)&\leq&0,05 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \quad\scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] P(X\leq k_o-1)&\geq&0,95 \end{array}$

Für $k_o=21$ gilt: $P(X\geq21)\approx0,0478\leq0,05$ .
Für $k_o=20$ gilt: $P(X\geq20)\approx0,0848\geq0,05$ .

Ablehnungsbereich: $K=$ { $21, ... ,50$ }

Falls das Stichprobenereignis im Ablehnungsbereich liegt, wird die Nullhypothese verworfen.

Die Anzahl der Spam-Mails muss in der Stichprobe mindestens $21$ sein, um die Vermutung des Nutzers zu stützen.