Analysis 2.2 - Stau

Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau.

An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

$f(x)=x \cdot(8-5 x) \cdot\left(1-\dfrac{x}{4}\right)^2$ $=-\dfrac{5}{16} x^4+3 x^3-9 x^2+8 x$

beschrieben werden. Dabei gibt $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ für $0 \leq x \leq 4.$

Abb. 1

Für die erste Ableitungsfunktion von $f$ gilt $\( f$

Nenne die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat, und begründe anhand der Struktur des Funktionsterms von $f,$ dass es keine weiteren solcher Zeitpunkte gibt.

(3 BE)

Es gilt $f(2)\lt 0.$ Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.

(1 BE)

Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.

(5 BE)

Gib den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist. Begründe deine Angabe.

(2 BE)

Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion $f$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x)=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2 \cdot(4-x)^3=$ $-\dfrac{1}{16} x^5+\dfrac{3}{4} x^4-3 x^3+4 x^2$ von Bedeutung.

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:

Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Bestätige rechnerisch, dass sich der Stau um 10:00 Uhr vollständig aufgelöst hat.

(4 BE)

Berechne die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr und bestimme für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge.

(3 BE)

Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 2 gezeigten Graphen dargestellt.
Dabei ist $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Abb. 2

Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat. Markiere diesen Zeitpunkt in der Abbildung 2, begründe deine Markierung und veranschauliche deine Begründung in der Abbildung 2.

(3 BE)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_k$ mit $h_k(x)=(x-3)^k+1$ und $k \in \mathbb{N} \backslash\{0\}.$

Gib in Abhängigkeit von $k$ das Verhalten von $h_k$ für $x \rightarrow-\infty$ an und begründe deine Angabe.

(3 BE)

Der Punkt $A(3 \mid 1)$ liegt auf jedem Graphen von $h_k.$
Zeige, dass jeder Graph von $h_k$ für $k \geq 2$ im Punkt $A(3 \mid 1)$ eine waagerechte Tangente hat.

(2 BE)

Zeige, dass der Punkt $A(3 \mid 1)$ für $k \geq 2$ entweder ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt ist. Gib eine Bedingung für $k$ an, dass $A$ ein Tiefpunkt ist.

(3 BE)

Die Graphen von $h_1$ und $h_2$ schließen eine Fläche vollständig ein. Ermittle die Größe des Inhalts dieser Fläche.

(5 BE)

Für einen Wert von $k$ gilt:
Die Differenz der Funktionswerte von $h_{k+1}$ und $h_k$ an der Stelle $x=5$ beträgt $4.$ Bestimme $k.$

(3 BE)

Die erste Ableitungsfunktion von $h_k$ wird mit $\(h_k$ bezeichnet. Beurteile die folgende Aussage:

Es gibt genau einen Wert von $k$ , für den der Graph von $\(h_k$ Tangente an den Graphen von $h_k$ ist.

(6 BE)

Die Graphen von $h_k$ und $\(h_k$ werden in der Abbildung 3 für $k=4$ beispielhaft für gerade Werte von $k$ gezeigt, in der Abbildung 4 für $k=5$ beispielhaft für ungerade Werte von $k.$

Abb. 3

Abb. 4

Für $k \geq 4$ werden die Punkte $P\left(4 \mid h_k(4)\right),$ $\(Q\left(4 \mid h_k$ $R\left(2 \mid h_k(2)\right)$ und $\(S\left(2 \mid h_k$ betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks.
Begründe, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist, und zeige, dass die folgende Aussage richtig ist:
Für jeden geraden Wert von $k$ mit $k \geq 4$ stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für $k$ und der Flächeninhalt des Trapezes für $k+1$ überein.

(7 BE)

(50 BE)

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Es gilt $x_1=06:00\;\text{Uhr},\;x_2=07:36\;\text{Uhr}$ und $x_3=10:00\;\text{Uhr}.$
Da der Funktionsterm von $f$ aus vier Linearfaktoren besteht, von denen zwei übereinstimmen, existieren keine weiteren Nullstellen.

Um $08:00\;\text{Uhr}$ nimmt die Staulänge ab.

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} x_{E_0}&=&4 \\[5pt] x_{E_1}&\approx&2,58 \\[5pt] x_{E_2}&\approx&0,63 \end{array}$

Mit Hilfe der Rechnung $x_{E_1}\cdot 60$ $= 0,62\cdot 60$ $= 37,2\;[\text{min}]$ folgt aus der Abbildung in der Aufgabenstellung, dass die Staulänge um ca. $06:37\;\text{Uhr}$ am stärksten zunimmt.

Der Graph der Funktion $f$ nimmt zwischen der ersten und zweiten Nullstelle positive Werte an und zwischen der zweiten und dritten Nullstelle negative Werte. Die Funktion $f$ beschreibt die Änderungsrate der Staulänge, womit der Stau bei der zweiten Nullstelle, um $07:36\;\text{Uhr},$ am längsten ist.

Aussage begründen

Die Funktion $f$ modelliert die Änderungsrate der Staulänge im Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Die Staulänge wird also durch die Stammfunktion von $f$ beschrieben, die für $x=0$ den Wert null annimmt.

$\(\begin{array}[t]{rll} s$

Zudem gilt $s(0)$ $=\left(\dfrac{0}{4}\right)^2$ $\cdot (4-0)^3$ $= 0.$

Somit kann die Staulänge zu jedem Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Auflösung des Staus

Vier Stunden nach Entstehung des Staus ist es 10:00 Uhr, daraus folgt:

$s(4)$ $=\left(\dfrac{4}{4}\right)^2$ $\cdot (4-4)^3$ $= 1$ $\cdot 0$ $= 0 \;\text{[km]}$

Zunahme der Staulänge berechnen

$s(2)-s(0,5)\approx 2\;[\text{km}] - 0,7\;[\text{km}]$ $= 1,3 \;[\text{km}]$

Die Länge des Staus hat zwischen 06:30 Uhr und 08:00 Uhr damit um ca. $1,3\;[\text{km}]$ zugenommen.

Durchschnittliche Änderungsrate bestimmen

$\frac{1,3\;\text{km}}{1,5\;\text{h}}$ $\approx 0,9\frac{\text{km}}{\text{h}}.$

Die Länge des Staus wird durch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ im Intervall $[0;b]$ mit der $x$ -Achse einschließt beschrieben. Ist die Flächenbilanz der Flächen, die der Graph mit der $x$ -Achse für $1,5\leq x\leq a$ oberhalb der $x$ -Achse und $a\leq x \leq b$ unterhalb der $x$ -Achse einschließt, gleichgroß, so entspricht $b$ dem gesuchten Zeitpunkt.

Für alle Werte von $k$ ist der Term von $h_k$ jeweils ein Polynom, wobei $x^k$ der Summand mit dem größten Exponenten ist. Somit gilt $\lim\limits_{x\to-\infty} h_k(x)=-\infty$ wenn $k$ ungerade ist und $\lim\limits_{x\to-\infty} h_k(x)=\infty$ wenn $k$ gerade ist.

Ableiten von $h_k$ liefert $\(h_k{ }$ $= k\cdot(x-3)^{k-1}.$ Für $k\geq2$ folgt $\(h_k{ }$ $= k\cdot(3-3)^{k-1}$ $= k\cdot 0$ $= 0,$ somit hat jeder Graph von $h_k$ für $k\geq2$ im Punkt $A(3\mid1)$ eine waagerechte Tangente.

Wenn $k$ gerade ist, gilt $\(h_k{ }$ für $x\lt3$ und $\(h_k{ }$ für $x\gt3$ . Zusammen mit Aufgabenteil b) folgt, dass an der Stelle $x=3$ ein Tiefpunkt existiert.
Wenn $k$ ungerade ist, gilt $\(h_k{ }$ für $x\lt3$ und $\(h_k{ }$ für $x\gt3$ . Zusammen mit Aufgabenteil b) folgt, dass an der Stelle $x=3$ ein Sattelpunkt existiert.

1. Schritt: Schnittpunkte bestimmen

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&4 \\[5pt] x_2&=&3 \end{array}$

2. Schritt: Größe des Inhalts der Fläche ermitteln

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{3}^{4}(h_1(x)-h_2(x))\;\mathrm dx \approx 0,17\;[\text{FE}]$

Rechenweg anzeigen

$k=2$

$\(h_k{ }$ $= k\cdot(x-3)^{k-1}$

Eine Tangente ist immer eine Gerade. Da $\(h_k{ }$ durch das Ableiten vom Grad $k-1$ ist, kommen für die lineare Form $k=1$ und $k=2$ infrage.

$\(\begin{array}[t]{rll} h_1{ }$

Da die Funktion $h_1(x)$ allerdings eine Gerade mit Steigung $1$ ist und $\(h_1{ }$ eine konstante Funktion, kann die Aussage nur für $k=2$ gelten.

1. Schritt: Funktionswerte von $h_2$ und $\(h_2{ }$ vergleichen

Rechenweg anzeigen

$x=4$

2. Schritt: $\(h_2{ }$ und $\(h_2{ }$ vergleichen

Die zweite Ableitung von $h_2(x)$ ist gegeben durch $\(h_2{ }$ Nach Aufgabenteil b) gilt $h_2(4)=2.$ Da die Funktionenswerte von $h_2$ und $\(h_2{ }$ für $x=4$ übereinstimmen, folgt insgesamt $\(h_2{ }$ $=2$ $=h_2(4)$ $\( =h_2{ }$ Damit ist die Aussage aus der Aufgabenstellung korrekt.

Trapezform begründen

Die Punkte $P$ und $Q,$ sowie die Punkte $R$ und $S$ haben jeweils übereinstimmende $x$ -Koordinaten. Damit sind die Seiten $\overline{PQ}$ und $\overline{RS}$ parallel.

Aussage zeigen

Bei geradem $k$ folgt für die Flächeninhalte der Trapeze:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} A_{k}&=&2k\;[\text{FE}] \\[5pt] A_{k+1}&=&2k\;[\text{FE}] \end{array}$

Die Aussage aus der Aufgabenstellung ist somit richtig.

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