Stochastik 3.2

Sportfan

Gemäß einer „Studie zur Gesundheit Erwachsener in Deutschland“ zeigt sich in Deutschland ein Trend zu mehr sportlicher Aktivität.
Ein Viertel der Erwachsenen treibt regelmäßig mindestens zwei Stunden Sport pro Woche (Sportfans), wobei der Anteil der Sportfans unter den Männern mit $29,3\,\%$ etwas höher ist als unter den Frauen.
Alle anderen Bundesbürger werden hier als „keine Sportfans“ bezeichnet.

Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:

A: Nur der zweite und sechste von zehn zufällig ausgewählten Bundesbürgern sind Sportfans.
B: Unter $20$ zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich genau drei Sportfans.
C: Unter zehn zufällig ausgewählten Bundesbürgern befindet sich höchstens ein Sportfan.
D: Von $100$ zufällig ausgewählten Bundesbürgern gehören mindestens $70$ und weniger als $79$ Personen zu denjenigen, die keine Sportfans sind.

(11P)

Bestimme die Anzahl der Bundesbürger, die mindestens befragt werden müssten, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $0,96$ wenigstens einen zu entdecken, der Sportfan ist.

(4P)

Unter allen Bundesbürgern liegt der Anteil der Männer bei $48,88\,\%$ (Zensus 2011).
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Sportfan ein Mann ist.
Bestimme den Anteil der Sportfans unter den Frauen.

(8P)

In einem Sportstudio trainieren $25$ Bundesbürger, von denen genau acht zur Gruppe der Sportfans gehören. Es werden zufällig sieben Personen „ohne Zurücklegen“ ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$ , dass sich unter den sieben ausgewählten Personen genau drei Sportfans befinden.

(3P)

In einem Kochkurs befindet sich unter den $n$ Kursteilnehmern genau ein Sportfan. Es werden zehn der Kursteilnehmer zufällig nacheinander und „ohne Zurücklegen“ ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Sportfan unter den ausgewählten Kursteilnehmern befindet, soll mindestens $80\,\%$ betragen.
Bestimme für diesen Fall die maximale Anzahl $n$ der Kursteilnehmer.

(4P)

(30P)

Anlage zur Aufgabe: Sportfan

Summierte Binomialverteilungen

Gerundet auf vier Nachkommastellen.
Wird die Tabelle „von unten“ gelesen ( $\text{p}>0,5$ ), ist der gesichte Wert 1- (abgelesener Wert).

	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L
1
2	n	k	p								k
3	n	k	0,02	0,05	0,10	1/6	0,20	0,25	0,30	1/3	k
4	100	0	0,1326	0,0059	0	0	0	0	0	0	99
5		1	0,4033	0,0371	0,0003	0	0	0	0	0	98
6		2	0,6767	0,1183	0,0019	0	0	0	0	0	97
7		3	0,859	0,2578	0,0078	0	0	0	0	0	96
8		4	0,9492	0,436	0,0237	0,0001	0	0	0	0	95
9		5	0,9845	0,616	0,0576	0,0004	0	0	0	0	94
10		6	0,9959	0,766	0,1172	0,0013	0,0001	0	0	0	93
11		7	0,9991	0,872	0,2061	0,0038	0,0003	0	0	0	92
12		8	0,9998	0,9369	0,3209	0,0095	0,0009	0	0	0	91
13		9	1	0,9718	0,4513	0,0213	0,0023	0	0	0	90
14		10	1	0,9885	0,5832	0,0427	0,0057	0,0001	0	0	89
15		11	1	0,9957	0,703	0,0777	0,0126	0,0004	0	0	88
16		12	1	0,9985	0,8018	0,1297	0,0253	0,001	0	0	87
17		13	1	0,9995	0,8761	0,2	0,0469	0,0025	0,0001	0	86
18		14	1	0,9999	0,9274	0,2874	0,0804	0,0054	0,0002	0	85
19		15	1	1	0,9601	0,3877	0,1285	0,0111	0,0004	0	84
20		16	1	1	0,9794	0,4942	0,1923	0,0211	0,001	0,0001	83
21		17	1	1	0,99	0,5994	0,2712	0,0376	0,0022	0,0002	82
22		18	1	1	0,9954	0,6965	0,3621	0,063	0,0045	0,0005	81
23		19	1	1	0,998	0,7803	0,4602	0,0995	0,0089	0,0011	80
24		20	1	1	0,9992	0,8481	0,5595	0,1488	0,0165	0,0024	79
25		21	1	1	0,9997	0,8998	0,654	0,2114	0,0288	0,0048	78
26		22	1	1	0,9999	0,9369	0,7389	0,2864	0,0479	0,0091	77
27		23	1	1	1	0,9621	0,8109	0,3711	0,0755	0,0164	76
28		24	1	1	1	0,9783	0,8686	0,4617	0,1136	0,0281	75
29		25	1	1	1	0,9881	0,9125	0,5535	0,1631	0,0458	74
30		26	1	1	1	0,9938	0,9442	0,6417	0,2244	0,0715	73
31		27	1	1	1	0,9969	0,9658	0,7224	0,2964	0,1066	72
32		28	1	1	1	0,9985	0,98	0,7925	0,3768	0,1524	71
33		29	1	1	1	0,9993	0,9888	0,8505	0,4623	0,2093	70
34		30	1	1	1	0,9997	0,9939	0,8962	0,5491	0,2766	69
35		31	1	1	1	0,9999	0,9969	0,9307	0,6331	0,3525	68
36		32	1	1	1	1	0,9984	0,9554	0,7107	0,4344	67
37		33	1	1	1	1	0,9993	0,9724	0,7793	0,5188	66
38		34	1	1	1	1	0,9997	0,9836	0,8371	0,6019	65
39		35	1	1	1	1	0,9999	0,9906	0,8839	0,6803	64
40		36	1	1	1	1	0,9999	0,9948	0,9201	0,7511	63
41		37	1	1	1	1	1	0,9973	0,947	0,8123	62
42		38	1	1	1	1	1	0,9986	0,966	0,863	61
43		39	1	1	1	1	1	0,9993	0,979	0,9034	60
44		40	1	1	1	1	1	0,9997	0,9875	0,9341	59
45		41	1	1	1	1	1	0,9999	0,9928	0,9566	58
46		42	1	1	1	1	1	0,9999	0,996	0,9724	57
47		43	1	1	1	1	1	1	0,9979	0,9831	56
48		44	1	1	1	1	1	1	0,9989	0,99	55
49		45	1	1	1	1	1	1	0,9995	0,9943	54
50		46	1	1	1	1	1	1	0,9997	0,9969	53
51		47	1	1	1	1	1	1	0,9999	0,9983	52
52		48	1	1	1	1	1	1	0,9999	0,9991	51
53		49	1	1	1	1	1	1	1	0,9996	50
54		50	1	1	1	1	1	1	1	0,9998	49
55		51	1	1	1	1	1	1	1	0,9999	48
56		52	1	1	1	1	1	1	1	1	47
57	n	k		0,95	0,90	5/6	0,80	0,75	0,70	2/3	k
58	n	k	p								k

Aufgabe 3.2

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Der Aufgabenstellung entnimmst du, dass ein Viertel der Erwachsenen zu den „Sportfans“ gehört. Der Anteil der Sportfans unter den Männern beträgt $29,3\%$ . Du sollst verschiedene Ereignisse betrachten:

$\blacktriangleright$ A: Nur der zweite und der sechste von zehn zufällig ausgewählten Personen sind Sportfans.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig befragte Person ein Sportfan ist, beträgt $0,25$ . Es werden zehn Personen betrachtet. Nur die zweite und die sechste Person sollen Sportfans sein. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich mit der Pfadmultiplikationsregel wie folgt zusammen:

$P(A)$ $= 0,75 \cdot 0,25 \cdot 0,75^3 \cdot 0,25 \cdot 0,75^4$ $= 0,0063$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit $0,63\%$ .

$\blacktriangleright$ B: Unter 20 zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich genau drei Sportfans.

In diesem Aufgabenteil hilft dir die Binomialverteilung. Um diese zu verwenden, benötigst du eine Zufallsvariable, welche die Anzahl von Treffern beschreibt. Ein Treffer ist hier eine Person, die zu den Sportfans zählt. Deine neue Zufallsvariable ist:

$X: \text{„Anzahl der Sportfans}$ $\text{unter den befragten Personen.“}$

Diese Zufallsvariable ist binomialverteilt.

Die Wahrscheinlichkeit für $k$ Treffer berechnest du mit der Formel:

$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

Die Parametern sind die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer $p=0,293$ und die Anzahl der Durchführungen $n=20$ .

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X=3)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\binom{20}{3}\cdot 0,293^3\cdot (1-0,293)^{17} \\ &=&0,079 \end{array}$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also $7,9 \%$ .

$\blacktriangleright$ C: Unter zehn zufällig ausgewählten Bundesbürgern befindet sich höchstens ein Sportfan.

Auch hier kannst du die Binomialverteilung nutzen. Da du jetzt zehn Personen, die nicht unbedingt männlich sein müssen, betrachtest, ändern sich die Parameter zu $p=0,25$ und $n=10$ . Damit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& 0,244 \end{array}$

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Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also $24,4\%$ .

$\blacktriangleright$ D: Von $\boldsymbol{100}$ zufällig ausgewählten Personen gehören mindestens $\boldsymbol{70}$ und weniger als $\boldsymbol{79}$ Personen zu denjenigen, die keine Sportfans sind.

Auch in diesem Aufgabenteil kannst du die binomialverteilte Zufallsvariable $X$ verwenden. Da du wieder alle Erwachsenen betrachtest, verwendest du $n=100$ . Hier betrachtest du als Treffer, wenn eine Person kein Sportfan ist. Deswegen verwendest du $p=0,75$ .

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P(D)&=&P(70 \le X \lt 79) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& P(X \lt 79)-P(X \le 69) \end{array}$

Diese Wahrscheinlichkeiten kannst du in der Tabelle ablesen:

$P(X \lt 79)$ $= P(X \le 78)$ $= 1-0,2114$ $= 0,7886$ und

$P(X \le 69)$ $= 1-0,8962$ $=0,1038$

Diese Ergebnisse musst du jetzt in die Gleichung einsetzen und erhältst:

$\begin{array}[t]{rll} P(D)&=& 0,7886-0,1038 &\quad \scriptsize\\[5pt] &=&0,6848 \end{array}$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also $68,48\%$ .

$\blacktriangleright$ Anzahl der Bundesbürger bestimmen

In dieser Aufgabe betrachtest du wieder die binomialverzeilte Zufallsvariable $X$ , welche die Anzahl der Sportfans beschreibt. Der Unterschied ist, dass hier die Anzahl $n$ der befragten Personen gesucht ist und du dafür eine Information über die Anzahl der Treffer gegeben hast.

Du sollst also ein $n$ bestimmen, sodass die Gleichung

$\begin{array}[t]{rll} P(X \ge 1)&\ge&0,96 \end{array}$

erfüllt ist. Da die Zufallsvariable $X$ binomialverteilt ist, kannst du wie folgt umformen:

$\begin{array}[t]{rll} P(x \ge 1)&=& 1- 0,75 ^n \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei der Umformung verwendest du, dass $\binom{n}{0}=1$ ist.

Um jetzt $n$ zu bestimmen, musst du die folgende Ungleichung nach $n$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} 11,189 & \le & n \end{array}$

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Achtung: Im letzten Umformungsschritt dreht sich das Ungleichheitszeichen um, da $\ln(0,75)$ negativ ist.

Es müssen also mindestens $12$ Bundesbürger befragt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit und mindestens $0,96$ wenigstens einen zu entdecken, der Sportfan ist.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportfan ein Mann ist, bestimmen

Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Um diese besser beschreiben zu können, solltest du dir die folgenden Ereignisse definieren:

$M:$ „Die befragte Person ist männlich.“

$F:$ „Die befragte Person ist ein Sportfan.“

Für diese drei Ereignisse kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung ablesen:

$P(M)=0,4888$ und $P(F)=0,25$ . Außerdem ist die Wahrscheinlichkeit $P(F \mid M)= 0,293$ angegeben.

Du kannst die gesuchte Wahrscheinlichkeit jetzt mit der Bayes- Formel berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P(M \mid F)&=&\dfrac{P(F \mid M)\cdot P(M)}{P(F)} \\ &=& \dfrac{0,293 \cdot 0,4888}{0,25}\\ &\approx& 0,573 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Sprotfan ein Mann ist, beträgt also $57,3 \%$ .

$\blacktriangleright$ Anteil der Sportfans unter den Frauen bestimmen

Um die Wahrscheinlichkeit beschreiben zu können, betrachtest du das Gegenereignis von E:

$\overline{M}:$ „Die befragte Person ist weiblich.“

Mit der Wahrscheinlichkeit: $P(\overline{M})=1-P(M)=0,5112$

Der Anteil der Sportfans unter den Frauen entspricht der bedingten Wahrscheinlichkeit $P(F \mid \overline{M})$ , die du mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit bestimmen kannst:

$P(F)$ $=P(F \mid M)\cdot P(M)+P(F \mid \overline{M})\cdot P(\overline{M})$

Dafür musst du die Formel nach $P(F \mid \overline{M})$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} P(F \mid \overline{M})&\approx& 0,209 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Anteil der Sportfans unter den Frauen beträgt somit $20,9\%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für $\boldsymbol{E}$ berechnen

Da jeder Bundesbürger, der in dem Sportstudio trainiert, mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird, kannst du von einem Laplace Modell ausgehen. Die Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace Modell berechnest du, indem du die Anzahl der Möglichkeiten, die für dein Ereignis günstig sind durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge teilst.

Also

$P(E)$ $=\dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$

Schritt 1:Anzahl aller möglichen Ausgänge bestimmen

In dieser Aufgabe entspricht die Anzahl aller möglichen Ausgänge der Anzahl der Möglichkeiten, aus den $25$ Bundesbürgern $8$ zu ziehen. Da die Reihenfolge, mit der die Personen „gezogen“ werden nicht relevant ist, berechnest du diese Anzahl mit dem Binomialkoeffizienten.

$\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}=\binom{25}{7}$

Schritt 2:Anzahl aller günstigen Ergebnisse bestimmen

Um ein günstiges Ergebnis handelt es sich, wenn aus den $8$ Sportfans genau drei und aus den $17$ Personen, die keine Sportfans sind, genau 4 ausgewählt werden. Auch hier spielt die Reihenfolge keine Rolle, weswegen du den Binomialkoeffizienten verwendest.

Die Anzahl der günstigen Ergebnisse setzt sich also folgendermaßen zusammen:

$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}$ $= \binom{8}{3}\cdot \binom{17}{4}$

Damit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:

$P(E)=\dfrac{\binom{8}{3} \cdot \binom{17}{4}}{\binom{25}{7}} = 0,277$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter sieben zufällig ausgewählten Personen genau drei Sportfans befinden, beträgt $27,7\%$ .

$\blacktriangleright$ Maximale Anzahl der Kursteilnehmer bestimmen

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass sich $n$ Personen im Kochkurs befinden, von denen genau einer ein Sportfan ist. Du sollst die Anzahl $n$ der Personen bestimmen, die im Kochkurs sein müssen, sodass der Sprotfan mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\%$ unter zehn zufällig ausgewählten Mitgliedern ist. Diese Ereignis heißt $Y$ . Um $n$ zu berechnen gehst du wie folgt vor:

Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(Y)$ , mit der sich der Sportfan unter zehn zufällig ausgewählten Mitgliedern befindet, in Abhängigkeit von $n$ .

Setzte die in Schritt 1 ermittelte Wahrscheinlichkeit mit 0,8 gleich und löse nach $n$ auf

Schritt 1: Berechnen von $\boldsymbol{P(Y)}$ in Abhängigkeit von $n$ .

Da jedes Mitglied mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird, kannst du von einem Laplace Modell ausgehen. Die Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace Modell berechnest du, indem du die Anzahl der Möglichkeiten, die für dein Ereignis günstig sind durch die Anzahl aller möglichen Ausgänge teilst.

Also

$P(Y)$ $=\dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$

Anzahl aller möglichen Ausgänge bestimmen

In dieser Aufgabe entspricht die Anzahl aller möglichen Ausgänge der Anzahl der Möglichkeiten aus den $n$ Mitgliedern $10$ auszuwählen. Da die Reihenfolge, mit der die Mitglieder ausgewählt werden nicht relevant ist, berechnest du diese Anzahl mit dem Binomialkoeffizienten.

$\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}=\binom{n}{10}$

Anzahl aller günstigen Ergebnisse bestimmen

Um ein günstiges Ergebnis handelt es sich, wenn der Sportfan und aus den $n-1$ restlichen Mitgliedern genau $9$ ausgewählt werden. Auch hier spielt die Reihenfolge keine Rolle, weswegen du den Binomialkoeffizienten verwendest.

Die Anzahl der günstigen Ereignisse setzt sich also folgendermaßen zusammen:

$\text{Anzahl aller günstigen Ergebnisse}$ $=\binom{1}{1}\cdot \binom{n-1}{9}$

Die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $n$ ist also:

$P(E)=\dfrac{1\cdot \binom{n-1}{9}}{\binom{n}{10}}$

Schritt 2: Bestimmen von $\boldsymbol{n}$

Um $n$ zu bestimmen, musst du die Gleichung $P(Y)\le0,8$ nach $n$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} n&\le& 12,5 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Es dürfen somit maximal $12$ Teilnehmer im Kochkurs sein.