Aufgabe 3.2

Gartenpavillon

Im Bild ist ein Pavillon dargestellt, der vereinfacht als zusammengesetzter Körper aus einem Quader mit quadratischer Grundfläche und einer aufgesetzten geraden quadratischen Pyramide aufgefasst werden kann.
Eine der senkrecht stehenden Kanten wird durch die Strecke $AE$ mit $A(1,5\mid 1,5\mid 0)$ und $E(1,5\mid 1,5\mid 2,1)$ modelliert.
Der Mittelpunkt der in der $xy$ -Ebene liegenden Grundfläche ist der Koordinatenursprung $O(0\mid 0\mid 0).$
Eine der in der Spitze $S$ des Pavillons zusammentreffenden Dachkanten ist Teil der Geraden $g$ mit der Gleichung

$\overrightarrow{x}= ... ;$

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$t\in \mathbb{R}.$ Es gilt $1\,\text{LE}= 1\,\text{m}.$

Grafische Darstellung eines geometrischen Körpers mit Koordinatensystem.

Abb. 1

Berechne den Neigungswinkel einer Dachkante gegenüber der Grundflächenebene.

(3 BE)

Ermittle die Gesamthöhe des Pavillons.

(2 BE)

Eine der dreieckigen Teilflächen des Daches liegt in der Ebene $H,$ die die Gerade $g$ und den Punkt $E$ enthält.
Weise nach, dass diese Ebene $H$ durch die Gleichung $3y+4,5z = 13,95$ beschrieben werden kann.

(3 BE)

Im Inneren des Pavillons befindet sich eine Lampe. Sie wird vereinfacht durch den Punkt $L(0\mid 1\mid 2)$ modelliert.
Gib eine Gleichung für die Gerade $k$ an, auf der neben $L$ auch der Punkt der Ebene $H$ liegt, der den kleinsten Abstand zum Punkt $L$ hat.

(2 BE)

(10 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Neigungswinkel berechnen

Der gesuchte Neigungswinkel einer Dachkante gegenüber der Grundflächenebene kann mithilfe des Schnittwinkels der Geraden $g,$ in der laut Aufgabenstellung eine der Dachkante liegt, und der $xy$ -Ebene, in der die Grundfläche liegt, berechnet werden.
Ein Normalenvektor der $xy$ -Ebene ist $\overrightarrow{n}_{xy} = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Ein Richtungsvektor der Geraden $g$ lässt sich aus der Geradengleichung ablesen: $\overrightarrow{r}_g =\pmatrix{-1,5\\1,5\\-1}.$
Mit der Formel für den Schnittwinkel einer Gerade und einer Ebene ergibt sich:

$\alpha \approx 25,24^{\circ}$

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Der Neigungswinkel der Dachkanten gegenüber der Grundflächenebene beträgt ca. $25,24^{\circ}.$

$\blacktriangleright$ Gesamthöhe ermitteln

Da die Grundfläche des Pavillons in der $xy$ -Ebene liegt und die Spitze $S$ des Daches der höchste Punkt ist, ergibt sich die Gesamthöhe des Pavillons aus der $z$ -Koordinate von $S.$

$S$ liegt auf der Geraden $g$ und auf der $z$ -Achse. Für die $x$ - und $y$ -Koordinaten von $S$ gilt also $x_S=y_S=0.$

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

$\pmatrix{0\\0\\z_S} = ...$

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Dadurch ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 0&=& ... \\[10pt] \text{II}\quad& 0&=&...\\[5pt] \text{III}\quad& z_S&=& ... \\ \end{array}$

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Damit ergibt sich für die dritte Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} z_S&=& 2,1-t \\[5pt] &=& 2,1- (-1) \\[5pt] &=& 3,1 \end{array}$

Die Gesamthöhe des Pavillons beträgt $3,1\,\text{m}.$

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung nachweisen

In der Ebene $H$ soll sowohl die Gerade $g$ als auch der Punkt $E$ liegen. Der Stützpunkt $P(-1,5\mid 1,5\mid 2,1)$ der Geraden muss also ebenfalls in $H$ liegen.
Ein Normalenvektor von $H$ muss also sowohl senkrecht auf dem Richtungsvektor $\overrightarrow{r}_{g}$ von $g$ als auch auf dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{PE}$ stehen. Mit Hilfe des Kreuzprodukts ergibt sich ein solcher Vektor:

$\overrightarrow{n}_H = -1\cdot \pmatrix{0\\3\\4,5}$

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Einsetzen des gekürzten Normalenvektors in die allgemeine Koordinatenform einer Ebenengleichung liefert:

$H:\, 3y+4,5z = d$

Eine Punktprobe mit dem Punkt $E$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} d&=& 3\cdot 1,5 +4,5\cdot 2,1 \\[5pt] &=& 13,95 \end{array}$

Die Ebene $H$ kann also durch die Gleichung $3y+4,5z=13,95$ beschrieben werden.

$\blacktriangleright$ Geradengleichung angeben

Der Punkt $Q$ in $H$ mit dem kleinsten Abstand zu $L$ ist der Lotfußpunkt des Lotes, das von $L$ auf die Ebene $H$ gefällt wird.
Dieser Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt der Geraden $k,$ die sowohl senkrecht zu $H$ als auch durch den Punkt $L$ verläuft. Diese Gerade ist die gesuchte Gerade, da sie sowohl $L$ als auch $Q$ enthält. Ein möglicher Richtungsvektor ist ein Normalenvektor von $H.$ Als Stützvektor kann der Ortsvektor von $L$ verwendet werden. Eine Gleichung der gesuchten Gerade ist also:

$k: \, \overrightarrow{x}= ...$

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