Analysis 2.2 - Lesebestätigung

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto a x^3-4 x$ mit $a \in \mathbb{R}^+.$ Die Abbildung zeigt den Graphen einer der Funktionen der Schar.

Begründe, dass jeder Graph der Schar symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

(2 BE)

Weise in Abhängigkeit von $a$ nach, dass der Graph von $f_a$ einen Tiefpunkt mit der $x$ -Koordinate $\sqrt{\frac{4}{3 a}}$ hat. Begründe, dass er zudem einen Hochpunkt besitzt und dass dieser eine kleinere $x$ -Koordinate hat als der Tiefpunkt.

(6 BE)

In der Abbildung ist der Graph der Funktion $f_1$ dargestellt.

Die Tangente an den Graphen von $f_1$ im Punkt $A(2 \mid 0),$ die $x$ -Achse und die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-x-2$ schließen ein Dreieck ein.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

(7 BE)

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:

$\,$

Ist $P$ ein beliebiger Punkt auf dem Graphen von $f_1,$ so liegt der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von $P$ und dem Koordinatenursprung auf dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f_4: x \mapsto 4 x^3-4x.$

(4 BE)

Betrachtet wird die Funktion $h: x \mapsto b x^3-c x$ mit $b, c \in \mathbb{R}.$ Für einen Wert von $b$ und einen Wert von $c$ gelten folgende Bedingungen:

Die Funktion $h$ hat bei $x=3$ eine Nullstelle,
der Graph von $h$ schließt im vierten Quadranten mit der $x$ -Achse ein Flächenstück mit dem Inhalt $40,5$ ein.

Bestimme die zugehörigen Werte von $b$ und $c.$

(7 BE)

Die Leitung eines großen Unternehmens versendet jeden Arbeitstag um $7:00$ Uhr eine E-Mail mit tagesaktuellen Informationen an alle Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter. Diese wurden gebeten, nach dem Lesen der E-Mail eine Lesebestätigung zu versenden.

Die folgende Tabelle zeigt für einen bestimmten Tag, wie viele Lesebestätigungen bei der Leitung des Unternehmens bis zum jeweiligen Zeitpunkt bereits eingegangen sind.

Zeitpunkt	Anzahl der bis dahin eingegangenen Lesebestätigungen
$7:30$ Uhr	$252$
$8:00$ Uhr	$899$
$8:30$ Uhr	$1701$
$9:00$ Uhr	$2627$
$9:30$ Uhr	$3503$
$10:00$ Uhr	$4364$
.....
$14:30$ Uhr	$7552$
$15:00$ Uhr	$7572$
.....

Beispielsweise sind von $7:00$ Uhr bis $10:00$ Uhr $4364$ Lesebestätigungen eingegangen.

Ermittle mithilfe der Tabelle für den betrachteten Tag, wie viele Lesebestätigungen im Zeitraum von $8:30$ Uhr bis $10:00$ Uhr im Mittel pro Stunde eingegangen sind.

(3 BE)

Auf der Grundlage der über viele Tage erfassten Lesebestätigungen wurde mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $u: x \mapsto 100 x^3-900 x^2+2300 x$ und $v: x \mapsto 20 x^2-520 x+2880$ die Funktion $k$ entwickelt:

$k: x \mapsto \begin{cases} u(x) \; \text{ für } 0 \leq x\lt3 \\ v(x) \; \text{ für } 3 \leq x \leq 8 \end{cases}$

Die Funktion $k$ beschreibt modellhaft für einen Zeitraum von acht Stunden eines Arbeitstages die zeitliche Entwicklung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der eingegangenen Lesebestätigungen. Dabei ist $x$ die seit $7:00$ Uhr vergangene Zeit in Stunden und $k(x)$ die momentane Änderungsrate der Anzahl der seit $7:00$ Uhr eingegangenen Lesebestätigungen in der Einheit $\frac{1}{h}.$

Berechne $k(2)$ und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Es gilt $v(x)=20 \cdot(x-18) \cdot(x-8).$ Begründe, dass die Funktion $v$ nicht geeignet ist, die momentane Änderungsrate auch für den Zeitraum nach $15:00$ Uhr zu beschreiben.

(3 BE)

Berechne mithilfe der Funktion $k$ die Anzahl der im Zeitraum von $10:00$ Uhr bis $15:00$ Uhr eines Arbeitstages eingegangenen Lesebestätigungen. Ermittle, um wie viel Prozent diese auf der Grundlage des Modells berechnete Anzahl von der entsprechenden Anzahl des eingangs betrachteten Tages (vgl. Tabelle) abweicht.

(5 BE)

(40 BE)

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Für jeden Wert von $a$ ist der Funktionsterm von $f_a$ ein Polynom, welches nur ungerade Exponenten von $x$ besitzt und somit symmetrisch zum Koordinatenursprung ist.

Für die ersten beiden Ableitungen von $f_a$ folgt:

$\(f_a$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

$\(f_a$

Da $a\in \mathbb{R}^+$ gilt, ist dieser Wert größer als null, womit der Graph von $f_a$ einen Tiefpunkt mit der $x$ -Koordinate $\sqrt{\frac{4}{3 a}}$ hat. Da der Graph von $f_a$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist, besitzt $f_a$ somit bei $x=-\sqrt{\frac{4}{3 a}}$ einen Hochpunkt, der wegen $\sqrt{\frac{4}{3 a}}\gt 0$ eine kleinere $x$ -Koordinate als der Tiefpunkt hat.

Für die erste Ableitung von $f_1$ gilt $\(f_1$ Für die Steigung $m$ der in grün eingezeichneten Tangente folgt somit $\(m=f_1$ $=3\cdot 2^2-4=8.$ Einsetzen von $m$ und den Koordinaten $(2\mid0)$ in die Tangentengleichung $t(x)=mx+n$ liefert für den $y$ -Achsenabschnitt $n:$

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&8\cdot2+n &\quad \scriptsize \mid\;-16\\[5pt] -16&=&n \end{array}$

Für die $x$ -Koordinate des Schnittpunkts der Tangente mit der anderen Geraden folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} 8x-16&=&-x-2 &\quad \scriptsize \mid\;+(16+x) \\[5pt] 9x&=&14 &\quad \scriptsize \mid\;:9\\[5pt] x&=&\dfrac{14}{9} \end{array}$

Einsetzen in $y=-x-2$ liefert für die $y$ -Koordinate:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&-\dfrac{14}{9}-2 \\[5pt] &=&-\dfrac{32}{9} \end{array}$

Wenn die Dreiecksseite, die auf der $x$ -Achse liegt und $2-(-2)=4\;[\text{LE}]$ lang ist, als Grundseite des Dreiecks betrachtet wird, gibt somit $y=\frac{32}{9}$ die Höhe des Dreiecks an. Damit folgt für den gesuchten Flächeninhalt $A$ des betrachteten Dreiecks:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot\dfrac{32}{9} \\[5pt] &=&\dfrac{64}{9}\;[\text{FE}] \end{array}$

Für einen Punkt $P$ auf dem Graphen von $f_1$ mit den allgemeinen Koordinaten $(x\mid f_1(x))$ hat der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von $P$ mit dem Koordinatenursprung die Koordinaten $\left(\frac{x}{2}\,\bigg \vert \, \frac{f_1(x)}{2}\right).$ Gleichsetzen von $f_4\left(\frac{x}{2}\right)$ mit $\frac{f_1(x)}{2}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f_4\left(\dfrac{x}{2}\right)&=&\dfrac{f_1(x)}{2} \\[5pt] 4\cdot\left(\dfrac{x}{2}\right)^3-4\cdot\dfrac{x}{2}&=&\dfrac{x^3-4x}{2} \\[5pt] \dfrac{1}{2}x^3-2x&=&\dfrac{1}{2}x^3-2x \end{array}$

Da die beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen, ist die Aussage aus der Aufgabenstellung richtig.

Für alle Werte von $b$ und $c$ besitzt die Funktion $h$ an der Stelle $x=0$ eine Nullstelle. Die beiden angegebenen Bedingungen ergeben somit $h(3)=0$ und $\displaystyle\int_{0}^{3}h(x)\;\mathrm dx=-40,5.$ Auflösen der ersten Bedingung nach $c$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} h(3)&=&0 \\[5pt] b\cdot 3^3-c\cdot3&=&0 \\[5pt] 27b-3c&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-27b \\[5pt] -3c&=&-27b &\quad \scriptsize \mid\;:(-3)\\[5pt] c&=&9b \end{array}$

Einsetzen in die zweite Bedingung liefert für $b:$

Rechenweg anzeigen

$b=2$

Die zu den beiden Bedingungen zugehörigen Werte ergeben sich somit zu $b=2$ und $c=9\cdot2=18.$

Die zeitliche Differenz zwischen $8:30$ Uhr und $10:00$ Uhr beträgt $1,5$ Stunden. Für die im Mittel pro Stunde eingegangenen Lesebestätigungen in diesem Zeitfenster folgt somit:

$\dfrac{4364-1701}{1,5}\approx1775$

$\boldsymbol{k(2)}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} k(2)&=&u(2) \\[5pt] &=&100\cdot2^3-900\cdot2^2+2300\cdot2 \\[5pt] &=&1800 \end{array}$

Ergebnis im Sachzusammenhang interpretieren

Nach dem Modell beträgt die momentane Änderungsrate der Anzahl der seit $7:00$ Uhr eingegangenen Lesebestätigungen um $9:00$ Uhr $1800\;\frac{1}{\text{h}}.$

Anhand des Funktionsterms von $v$ lässt sich erkennen, dass die Funktionswerte bei $x=8$ ihr Vorzeichen von plus nach minus ändern, da $v$ dort seine erste Nullstelle besitzt. Somit würden die Änderungsraten nach $15:00$ Uhr negative Werte annehmen, was im Sachzusammenhang keinen Sinn ergibt.

Eingegangene Lesebestätigungen berechnen

Da die seit $7:00$ Uhr vergangene Zeit um $10:00$ Uhr $3$ Stunden beträgt, folgt:

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{3}^{8}k(x)\;\mathrm dx \approx 3333$

Prozentuale Abweichung ermitteln

Mit den Werten aus der Tabelle folgt für die gesuchte prozentuale Abweichung:

$\dfrac{3333-(7572-4364)}{7572-4364} \approx 3,9\,\%$

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