Analytische Geometrie 3.1 - Doppelpyramide
Gegeben sind die Punkte 
und 
gehört zur Schar der Ebenen 
mit 
a)
Zeige, dass das Dreieck 
gleichschenklig ist.
(2 BE)
b)
Begründe, dass 
und 
Eckpunkte eines Quadrats sein können, und gib die Koordinaten des vierten Eckpunkts 
dieses Quadrats an.
(3 BE)
Im Folgenden wird die abgebildete Doppelpyramide betrachtet. Die beiden Teilpyramiden 
und 
sind gleich hoch.
Der Punkt
liegt im Koordinatenursprung, der Punkt 
ebenfalls auf der 
-Achse.
Die Seitenfläche
liegt in einer Ebene 
Der Punkt
Die Seitenfläche
c)
Die Doppelpyramide hat 12 Kanten. Jede Kante liegt auf einer Geraden, die durch zwei Eckpunkte der Doppelpyramide festgelegt ist. Die Kante 
der Doppelpyramide liegt auf der Geraden 
Gib jeweils zwei Eckpunkte an, durch die eine Gerade
und eine Gerade 
verlaufen, für die gilt:
Gib jeweils zwei Eckpunkte an, durch die eine Gerade
und
(2 BE)
d)
Ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks 
(3 BE)
e)
Bestimme eine Gleichung von in Koordinatenform.
(zur Kontrolle: 
)
(3 BE)
f)
Bestimme die Größe des Winkels, den die Seitenfläche mit der Fläche 
einschließt.
Die Ebene
(3 BE)
g)
Alle Ebenen der Schar schneiden sich in einer Gerade. Weise nach, dass die Kante 
auf dieser Geraden liegt.
(2 BE)
h)
Ermittle diejenigen Werte von 
für die 
mit der Seitenfläche 
mindestens einen Punkt gemeinsam hat.
(4 BE)
i)
Die Seitenfläche 
liegt in der Ebene 
Gib einen Normalenvektor von 
an und begründe deine Angabe, ohne die Koordinaten von 
und zu verwenden.
Bestimme denjenigen Wert von für den senkrecht zu steht.
Bestimme denjenigen Wert von
(4 BE)
j)
Die Doppelpyramide wird so um die 
-Achse gedreht, dass die bisher mit bezeichnete Seitenfläche in der 
-Ebene liegt und der bisher mit bezeichnete Punkt eine positive 
-Koordinate hat.
Bestimme diese-Koordinate und veranschauliche dein Vorgehen durch eine Skizze.
Bestimme diese
(4 BE)
k)
Die Ebene 
mit 
teilt die Doppelpyramide in zwei Teilkörper.
Ermittle die Volumina der beiden Teilkörper.
Ermittle die Volumina der beiden Teilkörper.
(5 BE)
l)
Die Doppelpyramide wird durch eine Ebene 
geschnitten. Die Schnittfläche der Ebene mit der Doppelpyramide ist ein Drachenviereck. Der Schnittpunkt der Diagonalen dieses Drachenvierecks ist der Punkt 
Ein Eckpunkt dieses Drachenvierecks ist der Punkt 
Ermittle die Koordinaten der anderen drei Eckpunkte des Drachenvierecks.
Ermittle die Koordinaten der anderen drei Eckpunkte des Drachenvierecks.
(5 BE)
(40 BE)
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a)
b)
Ergänzung zu einem Quadrat begründen
In einem Quadrat müssen alle vier Seiten gleich lang sein und benachbarte Seiten einen rechten Winkel bilden.
Die beiden Seiten
und sind gleich lang.
Überprüfen auf einen rechten Winkel mit dem Skalarprodukt:
Die beiden Strecken und schließen also einen rechten Winkel ein und sind gleich lang. Daher kann das Dreieck durch einen vierten Punkt zu einem Quadrat ergänzt werden.
Koordinaten des vierten Eckpunkts bestimmen
Da gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sein müssen, gilt
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OD}&=& \overrightarrow{OC}+ \overrightarrow{CD}\\[5pt]
&=& \overrightarrow{OC}+ \overrightarrow{BA}\\[5pt]
&=& \pmatrix{-5\\ 5 \\12} + \pmatrix{0\\-10\\0} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-5\\ -5 \\12} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/919adf4cae5e3fced8ba76ebcdb429e7acf0cf9da3be5d42f63daccdb381290e?color=5a5a5a)
Die Koordinaten des vierten Eckpunkts des Quadrats lauten 
In einem Quadrat müssen alle vier Seiten gleich lang sein und benachbarte Seiten einen rechten Winkel bilden.
Die beiden Seiten
Überprüfen auf einen rechten Winkel mit dem Skalarprodukt:
Da gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sein müssen, gilt
Skizze nicht maßstäblich
c)
- Zwei Geraden sind windschief, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. Die Gerade
wenn diese zum Beispiel durch die Punkte
- Zwei Geraden sind echt parallel, wenn sie parallel, aber nicht identisch sind. Die Gerade
die durch die Punkte
d)
Für die Grundseite des Dreiecks gilt:
Zudem gilt:
Da die Beträge der Einträge der Vektoren gleich sind, sind 
und 
gleich lang, sodass es sich bei um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.
Die Höhe zur Grundseite verläuft daher durch den Mittelpunkt 
von 
Die Höhe des Dreiecks ergibt sich damit zu:
Für den Flächeninhalt des Dreiecks folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{\Delta BCT}&=&\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{TM}\right| \\[5pt]
&=&\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 13 = 65\text{ [FE]}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/744d97a0d325e47beac32265a0dcb5959c6af7c00e89a679c0c18d3db470b2d1?color=5a5a5a)
e)
Ein Normalenvektor von lässt sich mit dem Kreuzprodukt bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{n} &=& \overrightarrow{TB}\times \overrightarrow{TC} \\[5pt]
&=& \pmatrix{5\\5\\12} \times \pmatrix{-5\\5\\12} \\[5pt]
&=& \pmatrix{5\cdot 12 - 12\cdot 5 \\ 12\cdot (-5) -5\cdot 12 \\5\cdot 5 -5\cdot (-5)} \\[5pt]
&=& \pmatrix{0\\ -120 \\50} \\[5pt]
&=& -10\cdot \pmatrix{0 \\ 12 \\ -5} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ff0258274264a6a65346ea71b45eb9f2d3ec5ec87f8a850bed7bd2009de339af?color=5a5a5a)
Es wird der gekürzte Vektor 
verwendet. Einsetzen mit den Koordinaten von in die allgemeine Ebenengleichung liefert:
Eine Gleichung von in Koordinatenform lautet:
f)
Die Winkelgröße 
kann mit Hilfe des eingezeichneten Dreiecks berechnet werden.
Da im Koordinatenursprung liegt und alle Punkte 
und die -Koordinate 
haben, ist 
Aus Teilaufgabe d) ist
bekannt. Daher folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin \alpha &=& \dfrac{h}{h_{BCT}} \\[5pt]
\sin \alpha &=& \dfrac{12 \,\text{LE}}{13\,\text{LE}} \quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt]
\alpha &\approx& 67,4^{\circ}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3aa83721eebb9d5a7459a94600a0f4aa3f6454fd7e3452891df90ce49390dbfb?color=5a5a5a)
Die Seitenfläche schließt mit der Fläche einen Winkel der ungefähren Größe von 
ein.
Da
Aus Teilaufgabe d) ist
g)
Die Kante liegt auf dieser Geraden, wenn beide Punkte und in jeder der Ebenen liegen. Einsetzen der Koordinaten von in die Ebenengleichung von liefert:
Für die Koordinaten von folgt:
Unabhängig von 
liegen die Punkte und also in der Ebene 
Damit liegt die Kante ebenfalls in jeder der Ebenen und somit auf der gemeinsamen Gerade aller Ebenen
h)
Aus Teilaufgabe g) ist bekannt, dass die Kante in jedem Fall in der Ebene liegt.
Damit die Seitenfläche schneidet, muss sie die -Achse daher zwischen der Fläche und dem Punkt schneiden.
Für Punkte auf der-Achse gilt 
und 
Einsetzen in die Ebenengleichung:
Der Schnittpunkt von mit der -Achse hat die Koordinaten 
Damit der Schnittpunkt im Punkt liegt, muss gelten:
![\(\begin{array}[t]{rll}
z &=& 24 \\[5pt]
12-k &=& 24 &\quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt]
-k &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt]
k &=& -12
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e65849b4e92bc8fea79ca56dc1248e8fce29a52522c8938c9fbb1ea1619b76c9?color=5a5a5a)
Für 
schneidet die Ebene die -Achse also im Punkt 
Für die Fläche gilt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
z &=& 12 \\[5pt]
12-k &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\;-12 \\[5pt]
-k &=& 0 \\[5pt]
k &=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/911dd6941c178827b598b4886b69066e8b3b4c496b8740096fa1b33afce79925?color=5a5a5a)
Für 
liegt der Schnittpunkt von mit der -Achse also in der Fläche 
Insgesamt besitzt die Ebene für 
mindestens einen gemeinsamen Punkt mit der Seitenfläche 
Damit
Für Punkte auf der
Für die Fläche
Insgesamt besitzt die Ebene
i)
Normalenvektor bestimmen und begründen
Die Seitenfläche entsteht durch Spiegelung der Seitenfläche an der 
-Ebene. Dementsprechend entsteht auch durch Spiegelung von an der -Ebene.
Ein Normalenvektor von ist 
Durch den Faktor 
vor der -Koordinate entsteht eine Spiegelung an der -Ebene. Also ist ein Normalenvektor von 
Parameterwert bestimmen
Die zwei Ebenen und stehen senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren gleich null ist.
Für 
steht die Ebene senkrecht zur Ebene
Die Seitenfläche
Ein Normalenvektor von
Die zwei Ebenen
j)
Es gilt:
k)
Die Ebene teilt die Doppelpyramide auf der Höhe von 
. Bei der Schnittfläche handelt es sich um das Quadrat 
und 
sind die Schnittpunkte von mit den Seitenkanten der Pyramide 
Die Doppelpyramide wird also in folgende Teilkörper geteilt:
Die Seitenkante
liegt auf der Geraden mit der folgenden Gleichung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
g_{AT}: \overrightarrow{x}=& \overrightarrow{OT}+ t\cdot \overrightarrow{TA}, t\in \mathbb{R} \\[5pt]
=& \pmatrix{0\\0\\0} + t\cdot \pmatrix{5\\-5\\12} , t\in \mathbb{R}\\[5pt]
=& t\cdot \pmatrix{5\\-5\\12} , t\in \mathbb{R}\\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/624ae04935788af5bf4ec6904079852633123e05231c27be9dffd7b8ff6baa26?color=5a5a5a)
Für den Schnittpunkt mit muss gelten, also 
Daraus folgt 
Da und die Fläche parallel zur -Ebene liegen, können die Koordinaten der übrigen Punkte analog bestimmt werden. Es genügt allerdings um die Kantenlänge des Quadrats zu bestimmen:
2. Schritt: Seitenlänge der Schnittfläche berechnen
3. Schritt: Volumen der Pyramide A'B'C'D'T berechnen
Da die Spitze der Pyramide
im Koordinatenursprung und die Grundfläche in der Ebene liegt, beträgt ihre Höhe 
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_{A](https://mathjax.schullv.de/6e802f9a542713632df0cc2f974a81dee2bdd628ea9a1adeae6deffef7f4c214?color=5a5a5a)
4. Schritt: Volumen der Pyramide ABCDS berechnen
Die Höhe der Pyramide entspricht der Höhe der Pyramide und beträgt daher 
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_{ABCDS}&=&\frac{1}{3}\cdot\left|\overrightarrow{AB}\right|^2\cdot h\\[5pt]
&=&\frac{1}{3}\cdot 10^2\cdot 12\\[5pt]
&=& 400\text{ [VE]}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d56b6147cd1f9b22fa55ec3a7fed9854017b8c77cfb2538a3605184889d7a325?color=5a5a5a)
5. Schritt: Volumen des Pyramidenstumpfs berechnen
Da
gilt, folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_{ABCDA](https://mathjax.schullv.de/c29fb377b40d474df0a484a4d8d215c2433d6b3eb39f81f47576a0c250bdbfe1?color=5a5a5a)
6. Schritt: Volumina der Teilkörper bestimmen
Volumina der beiden Teilkörper berechnen:![\(\begin{array}[t]{rll}
V_1 &=& V_{A](https://mathjax.schullv.de/788a74b41a4ec94cfa803c561034eb8e5c3be6786aece14d34e42712e9358a60?color=5a5a5a)
Die Doppelpyramide wird also in folgende Teilkörper geteilt:
- die Pyramide
- ein Körper, der aus der Pyramide
zusammengesetzt ist
Die Seitenkante
Da die Spitze der Pyramide
Die Höhe der Pyramide entspricht der Höhe der Pyramide
Da
Volumina der beiden Teilkörper berechnen:
l)
Skizze nicht maßstäblich
1. Schritt: Koordinaten von V bestimmen
Da auf der Diagonalen 
liegt, muss 
auf der Geraden durch und liegen.
Der Punkt liegt gleichzeitig auf der Kante 
und ist somit der Schnittpunkt der Geraden durch und mit der Geraden durch und 
![\(\begin{array}[t]{rll}
g_{TM}: \, \overrightarrow{x} =& \overrightarrow{OT} + s\cdot \overrightarrow{TM}, s\in \mathbb{R} \\[5pt]
=& \pmatrix{0\\0\\0} + s\cdot \pmatrix{4\\4\\12}, s\in \mathbb{R} \\[5pt]
=& s\cdot \pmatrix{4\\4\\12}, s\in \mathbb{R}\\[10pt]
g_{BS}: \, \overrightarrow{x} =& \overrightarrow{OS} + r\cdot \overrightarrow{SB}, r\in \mathbb{R} \\[5pt]
=& \pmatrix{0\\0\\24} + r\cdot \pmatrix{5\\5\\-12}, r\in \mathbb{R} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b3501d598cf965b552c0b4f121242e8e5d27647c69414ec157c1392f6226f5cc?color=5a5a5a)
Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
Da
Der Punkt
Damit es sich um ein Drachenviereck handelt, müssen
Die folgende Gerade