Stochastik 4.1 - Blumensamen

Ein Pflanzenhändler erhält in einem Behälter eine große Lieferung von Blumensamen, in der zwei Sorten vermischt sind. Diese besteht aus den Samen einer rot blühenden Blume (kurz: Rotblüher) und den Samen einer blau blühenden (kurz: Blaublüher). Einige Samen keimen nicht, d.h. aus ihnen wächst keine Blume.
Die Samen sind äußerlich nicht voneinander zu unterscheiden.
Der Anteil der Rotblüher an der Samenmischung beträgt $80\,\%.$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Samen der Rotblüher keimt, ist $95\,\%.$

Ein Samen wird zufällig aus der Lieferung entnommen.
Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der entnommene Samen ein Rotblüher ist und keimen wird, $0,76$ beträgt.

(1 BE)

Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

A: „Unter $10$ zufällig ausgewählten Samen sind genau $7$ Samen, die Rotblüher sind und keimen werden.“
B: „Unter $10$ zufällig ausgewählten Samen sind mindestens $9$ Samen, die Rotblüher sind und keimen werden.“

(4 BE)

Bestimme, wie viele Samen höchstens aus dem Behälter entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $99\,\%$ mindestens ein keimender Rotblüher dabei ist.

(3 BE)

Es wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Samen der Samenmischung keimt, $0,9$ beträgt.
Die Blaublüher sind eine neu gezüchtete Sorte, von der man bisher noch keine genauen Kenntnisse bzgl. ihrer Keimung hatte.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Blaublüher keimt.

(3 BE)

Für den Verkauf verpackt der Händler jeweils $5$ Samen der Mischung in eine Tüte.
Betrachtet wird im Folgenden die Zufallsgröße
R: „Anzahl der Rotblühersamen in einer Tüte“.

Ergänze in der Tabelle die fehlende Wahrscheinlichkeit der Zufallsgröße $R$ für den Wert $r=3.$
Erläutere zwei Möglichkeiten für die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit.

$r$	$P(R=r)$
$0$	$0,0003$
$1$	$0,0064$
$2$	$0,0512$
$3$
$4$	$0,4096$
$5$	$0,3277$

(4 BE)

Zeige, dass für den Erwartungswert der Zufallsgröße $R$ gilt: $E(R)= 4.$

(1 BE)

Entscheide durch Ankreuzen, welche der Aussagen auf Grund des gezeigten Erwartungswertes sachbezogen entweder richtig oder falsch sind.
Begründe deine Entscheidung für die Aussage mit der Nummer $1.$

Nummer	Aussage	richtig	falsch
1	Kauft man eine Tüte, sind in dieser mindestens 4 Samen der Rotblüher.
2	Wenn man 100 Tüten kauft, sind unter diesen mit Sicherheit mindestens 4 Tüten, in denen mindestens ein Samen der Rotblüher ist und der Rest sind Blaublüher.
3	Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Tüte höchstens 4 Samen von Rotblühern sind, beträgt mehr als 50%.

(5 BE)

Ein Kunde will von $10$ gekeimten Samen $4$ für seinen Balkon auswählen. Er möchte, dass darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $70\,\%$ mindestens $3$ Rotblüher sind.
Ermittle, wie groß hierfür der Anteil der Rotblüher unter den $10$ Samen mindestens sein muss.

(4 BE)

(25 BE)

Wahrscheinlichkeit für einen rotblühenden keimenden Samen berechnen:

$RB:$ Rotblüher
$SK:$ Samen keimt

Nach der Pfadregel lautet die Rechnung für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Rotblüher keimt:

$\begin{array}[t]{rll} P(RB \cap SK)&=& P(RB)\cdot P(SK) \\[5pt] &=& 0,8\cdot0,95\\[5pt] &=& \dfrac{19}{25}\\[5pt] &=& 0,76 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass der zufällig entnommene Samen ein Rotblüher ist und keimen wird, beträgt $0,76$ .

Definiere eine Zufallsvariable $X$ .

$X$ : Anzahl der keimfähigen Rotblüher

$X$ ist binomialverteilt mit $B_{10; 0,76}$ ( $n=10$ und $p=0,76$ ).

Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ berechnen:

$P(A)\approx 0,2429$

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Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ beträgt $24,29\,\%$ .

Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ berechnen:

$P(B)\approx 0,2673$

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Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ beträgt $26,73\,\%$ .

$n$ bestimmen:

$X$ : Anzahl der keimfähigen Rotblüher
$X$ ist binomialverteilt mit $B_{n; 0,76}$ ( $n=$ gesucht und $p=0,76$ ).

$n \leq 3$

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Es müssen höchstens $3$ Samen entnommen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $99\,\%$ mindestens ein keimender Rotblüher dabei ist.

Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass ein Blaublüher keimt:

$RB$ : Rotblüher
$BB$ : Blaublüher
$SK$ : Samen keimt

gesucht: $P_B(SK)=x$

aus Aufgabenteil $a)$ ist bekannt: $P(RB \cap SK)=0,76$
$P(BB)=0,2$

$x=0,7$

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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Blaublüher keimt, beträgt $0,7$ .

Wahrscheinlichkeit für $r=3$ berechnen:

$R$ : Anzahl der Rotblühersamen in einer Tüte
$R$ ist binomialverteilt mit $B_{5; 0,8}$ ( $n=5$ und $p=0,8$ ).

Möglichkeit $1$ :

$\begin{array}[t]{rll} P(R=3)&=& \pmatrix{5\\3}\cdot0,8^3\cdot0,2^2 \\[5pt] &\approx& 0,2048 \end{array}$

Möglichkeit $2$ :

$\begin{array}[t]{rll} P(R=3)&=& 1-0,0003-0,0064-0,0512-0,4096-0,3277 \\[5pt] &\approx& 0,2048 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für $r=3$ beträgt $0,2048$ .

Erwartungswert der Zufallsgröße $R$ bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} E(R)&=& n \cdot p \\[5pt] &=& 5\cdot0,8\\[5pt] &=& 4 \end{array}$

Der Erwartungswert der Zufallsgröße beträgt $E(R)=4$ .

Tabelle ausfüllen:

Nummer	Aussage	richtig oder falsch?	Erklärung
1	Kauft man eine Tüte, sind in dieser mindestens $4$ Samen der Rotblüher.	falsch	Die Samen sind von außen nicht unterscheidbar und somit erfolgt die Auswahl zufällig. Die Tüte könnte zum Beispiel auch keinen einzigen Rotblüher enthalten.
2	Wenn man $100$ Tüten kauft, sind unter diesen mit Sicherheit mindestens $4$ Tüten, in denen mindestens ein Samen der Rotblüher ist und der Rest sind Blaublüher.	falsch
3	Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Tüte höchstens $4$ Samen von Rotblühern sind, beträgt mehr als $50\,\%$ .	richtig

Anteil der Rotblüher ermitteln:

Der gesuchte Anteil wird durch systemathisches Probieren ermittelt.

$7$ Rotblüher unter den $10$ Samen:

Die folgenden Binomialkoeffizienten können mit Hilfe eines CAS-Taschenrechners bestimmt werden.

$P(X\geq3)=\dfrac{2}{3} \lt 0,7$

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Da $\dfrac{2}{3}$ kleiner als $70\,\%$ ist, muss der Anteil der Rotblüher höher als $7$ von $10$ sein.

$8$ Rotblüher unter den $10$ Samen:

$P(X\geq3) \approx 0,87 \gt 0,7$

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In seiner Auswahl muss der Kunde also mindestens $8$ Rotblüher haben, damit von einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $70\,\%$ mindestens $3$ Rotblüher unter den $4$ Samen für seinen Balkon sind.