Analysis 2.2 - Exponentialfunktion

Gegeben ist die in $\mathbb R$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{2}}.$ Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

Funktionsgraph - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analysis)

Abb. 1

Zeige anhand des Funktionsterms von $f$ , dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.
Begründe, dass $f$ genau eine Nullstelle hat, und gib den Grenzwert von $f$ für $x\rightarrow +\infty$ an.

(4 BE)

Bestimme einen Term der ersten Ableitungsfunktion $\(f$ von $f.$

[Zur Kontrolle: $\(f$ ]

(2 BE)

Untersuche rechnerisch das Monotonieverhalten von $f.$
Ergänze in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skaliere diese passend.

(5 BE)

Der Graph von $f$ besitzt im I. Quadranten einen Wendepunkt.
Zeige, dass die Koordinaten dieses Punktes $\left(\sqrt{3}\mid \dfrac{\sqrt{3}}{\mathrm e} \right)$ sind.
Gib die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von $f$ im III. Quadranten an.

Hinweis: Ohne Nachweis kann verwendet werden $\(f$

(3 BE)

Die folgende Rechnung stellt die Lösung einer Aufgabe dar.
$\(\dfrac{f\left(\sqrt{3} \right)-f\left(-\sqrt{3} \right)}{\sqrt{3}-\left(-\sqrt{3}\right)}=f$ $x_2\approx 0,83$

Formuliere eine passende Aufgabenstellung.

(3 BE)

An den Graphen von $f$ werden im I. Quadranten Tangenten gelegt, die jeweils die $y$ -Achse in einem Punkt $(0\mid y_S)$ schneiden.
Beurteile folgende Aussage:
Es gibt eine Tangente mit $y_S\gt 1,9.$

(4 BE)

Ist $\(g$ die erste Ableitungsfunktion einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g,$ so gilt
$\(\displaystyle\int_{u}^{v}g$
Berechne damit den Wert des Terms $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx.$

(3 BE)

Interpretiere den folgenden Sachverhalt geometrisch:

Für jede Stammfunktion $F$ von $f$ und für jede reelle Zahl $w\gt 2022$ gilt $F(w)-F(0)\approx \displaystyle\int_{0}^{2022}f(x)\;\mathrm dx.$

(3 BE)

Betrachtet wird nun die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=x\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}a\cdot x^2+\frac{1}{2}};a\in \mathbb{R}.$

Zeige, dass genau ein Graph der Schar den Punkt $(1\mid 1)$ enthält, und gib den zugehörigen Wert von $a$ an.

(3 BE)

Der Graph der Funktion $f_0$ ist eine Gerade. Gib die Steigung dieser Gerade und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der $y$ -Achse an.

(2 BE)

Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen $a, a_1$ und $a_2:$

$f_a(0)=0$
$\(f$
$f_{a_1}(x)=f_{a_2}(x)\Leftrightarrow a_1=a_2$ oder $x=0$

Gib an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt.

(3 BE)

Zeige, dass die folgende Aussage für jeden Wert von $a$ richtig ist:

Wird der Graph von $f_a$ mit dem gleichen Faktor $k>0$ sowohl in $x$ -Richtung als auch in $y$ -Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar.

(3 BE)

Die Graphen der Schar lassen sich in die folgenden Gruppen $\,\text I$ und $\,\text {II}$ einteilen:

$\text{I}$

Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

$\text{II}$

Der Graph hat keine Extrempunkte.

Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe $\,\text I,$ die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe $\,\text {II}.$

be abi lk wtr 2022 analysis 2.2 abbildung 2 funktion mit zwei extrempunkten

Abb. 2

be abi lk wtr 2022 analysis 2.2 abbildung 2 funktion mit keinem extrempunkt

Abb. 3

Die Extremstellen von $f_a$ stimmen mit den Lösungen der Gleichung $a\cdot x^2=1$ überein.

Gib zu jeder der beiden Gruppen $\,\text I$ und $\,\text {II}$ alle zugehörigen Werte von $a$ an und begründe deine Angabe.

(3 BE)

Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Gerade.
Begründe, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y=x$ handelt.

(3 BE)

Für jeden positiven Wert von $a$ bilden der Hochpunkt $\left(v\mid f_a(v) \right)$ des Graphen von $f_a,$ der Punkt $\left(0\mid \dfrac{2}{v} \right),$ der Koordinatenursprung und der Punkt $(v\mid 0)$ die Eckpunkte eines Vierecks. Bestimme ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von $a,$ für den das Viereck den Flächeninhalt $49$ hat.

(6 BE)

(50 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

$\begin{array}[t]{rll} f(-x) &=& (-x) \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}(-x)^2+\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& -x \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{2}}\\[5pt] &=& -f(x) \\[5pt] \end{array}$

Wegen $\mathrm e^{-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{2}}>0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ und dem Satz vom Nullprodukt ist $x=0$ die einzige Nullstelle.

Es ist $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0.$

Mit der Produktregel folgt:

$\(f$

Monotonieverhalten

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgen die Extremstellen: $x=-1$ und $x=1.$

Die Funktion $f$ ist für $-1 \lt x\lt 1$ wegen $\(f$ streng monoton zunehmend, für $x \lt -1$ und $x \gt 1$ wegen $f^{\prime}(x) \lt 0$ streng monoton abnehmend.

Es gilt $f(1)=1.$

Achsenskalierung

Durch die Extremstellen können nun die Achsen skaliert werden.

Koordinatenachten - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analysis 1)

Es gilt: $\(f$

Damit ist die notwendige Bedingung für Wendestellen erfüllt. Auf den Nachweis der hinreichenden Bedingung für Wendestellen kann verzichtet werden, da die Existenz einer Wendestelle gegeben ist.

$f(\sqrt{3})=\sqrt{3}\cdot \mathrm e^{-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\mathrm e}$

Somit folgen die Koordinaten des Wendepunktes im I. Quadranten mit: $\left(\sqrt{3} \mid-\frac{\sqrt{3}}{\mathrm e }\right)$

Die Koordinaten des Wendepunktes im III. Quadranten folgen wegen der Symmetrie des Graphen mit: $\left(-\sqrt{3} \mid-\frac{\sqrt{3}}{\mathrm e }\right)$

Mögliche Aufgabenstellung:

Ermittle die $x$ -Werte der Punkte des Graphen von $f,$ an denen die Steigung der Tangente genauso groß ist wie die Steigung der Sekante durch die beiden Wendepunkte.

Tangentengleichung an den Graphen von $f$ im Wendepunkt aufstellen

$y_t = m \cdot x+n$

Die Steigung ergibt sich mit $\(m=f$

Durch Einsetzen von $m$ und der Koordinaten des Wendepunktes in $y_t$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\sqrt{3}}{\mathrm e}&=& -\dfrac{2}{\mathrm e} \cdot \sqrt{3} +n &\quad \scriptsize \mid\;+\dfrac{2 \sqrt{3}}{\mathrm e} \\[5pt] \dfrac{3\sqrt{3}}{\mathrm e}&=& n \end{array}$

Die Tangentengleichung folgt mit $y_t = -\dfrac{2}{\mathrm e} \cdot x+ \dfrac{3\sqrt{3}}{\mathrm e}$ und schneidet die $y$ -Achse im Punkt $\left(0 \mid \dfrac{3\sqrt{3}}{\mathrm e}\right).$

Somit gilt $y_S=\dfrac{3 \sqrt{3}}{\mathrm e}>1,9.$

Die Aussage ist folglich richtig.

Es gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} \cdot x^2+\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& g$

Es gilt somit:

$\(\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& -\dfrac{1}{2} \cdot x^2+\dfrac{1}{2} \\[5pt] g$

Daraus folgt:

$\displaystyle\int_0^1 f(x) \mathrm d x$ $=-\displaystyle\int_0^1(-x) \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{2}} \mathrm d x=-\left[\mathrm e^{-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{2}}\right]_0^1$ $-(1- \mathrm e^{\frac{1}{2}})$ $=-1+\mathrm e^{\frac{1}{2}}$

Für jede reelle Zahl $w \gt 2022$ schließen der Graph von $f,$ die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = w$ ein Flächenstück ein. Dessen Inhalt stimmt ungefähr mit dem Inhalt des Flächenstücks überein, das der Graph von $f,$ die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=2022$ einschließen.

Einsetzen in die Funktionsgleichung:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(1) &=& 1 \\[5pt] 1 \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} a \cdot 1^{2}+\frac{1}{2}} &=& 1 \\[5pt] \mathrm e^{-\frac{1}{2} a +\frac{1}{2}}&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] -\frac{1}{2} a +\frac{1}{2} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{1}{2} \\[5pt] -\frac{1}{2} a &=& -\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-2) \\[5pt] a &=& 1 \end{array}$

Die Gleichung $f_a(1)=1$ hat genau eine Lösung. Daher enthält genau ein Graph der Schar den Punkt $(1\mid 1).$ Dies ist der Graph zu $f_a$ mit $a=1.$

$f_0(x) = x\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot x^{2}+\frac{1}{2}} = x\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}}.$

Die Steigung der Gerade ist $\mathrm e^{\frac{1}{2}}.$ Die Gerade schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(0 \mid 0).$

Alle Graphen der Schar schneiden sich im Koordinatenursprung und haben dort die gleiche Steigung. Keiner der Graphen hat einen weiteren Punkt mit einem anderen Graphen der Schar gemeinsam.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} k \cdot f_a \left(\dfrac{x}{k}\right) &=& k\cdot \dfrac{x}{k} \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot (\frac{x}{k})^2 +\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& x\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{k^2}\cdot x^2 +\frac{1}{2}} \\[5pt] &=&f_{\frac{a}{k^2}}(x) \end{array}$

Die Extremstellen von $f_a$ sind laut Aufgabenstellung die Lösungen der Gleichung $a\cdot x^2 = 1.$

Um die Gleichung zu lösen, müsste durch $a$ geteilt werden. Für $a=0$ ist dies nicht möglich, wodurch die Gleichung dann keine Lösung hat.
Für $a\lt 0$ besitzt die Gleichung ebenfalls keine Lösung, da $x^2$ dann negativ sein müsste, was nicht möglich ist.
Für alle positiven Werte von $a$ hat die Gleichung genau zwei Lösungen. Insgesamt ergibt sich daraus:

Zu den Graphen $\text{I}$ gehören alle Graphen von $f_a$ mit $a\gt 0.$

Zu den Graphen $\text{II}$ gehören alle Graphen von $f_a$ mit $a\leq 0.$

Für die Extremstellen von $f_a$ gilt $a\cdot x^2=1.$ Daraus folgt bereits $x\neq 0.$ Die Gleichung kann daher wie folgt nach $a$ umgeformt werden:

$a= \frac{1}{x^2}$

Einsetzen in die Funktionsgleichung von $f_a$ liefert:

$y= f_{\frac{1}{x^2}}(x) = x \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot x^{2}+\frac{1}{2}}$ $= x \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = x\cdot 1 = x$

Daher liegen alle Extrempunkte der Graphen von $f_a$ auf der Geraden mit der Gleichung $y=x.$

Das Viereck hat also die Form eines Trapezes, bei dem die beiden zueinander parallelen Seiten die Längen $f_a(v)$ und $\frac{2}{v}$ haben und die Höhe $v$ beträgt.

Da $v$ eine Extremstelle von $f_a$ ist, gilt wegen f) $f_a(v) = v.$

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A_T &=& \dfrac{\frac{2}{v} + f_a(v)}{2}\cdot v \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{2}{v} + v}{2}\cdot v \\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{v}\cdot v+\frac{1}{2}\cdot v\cdot v \\[5pt] &=& 1+ \frac{1}{2}v^2 \end{array}$

Gleichsetzen mit $49$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} A_T &=& 49 \\[5pt] 1+ \frac{1}{2}v^2 &=& 49 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] \frac{1}{2}v^2 &=& 48 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] v^2 &=& 96 \end{array}$

Da $v$ eine Extremstelle von $f_a$ ist gilt ebenso $a\cdot v^2 = 1.$ Einsetzen von $v^2= 96$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot v^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; v^2 =96 \\[5pt] a\cdot 96 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;:96 \\[5pt] a&=& \frac{1}{96} \end{array}$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?