Analysis 2.2

Bremsschuh

Gegeben ist die Funktionsschar $f_a$ mit $f_a(x)=-e^{x-a}+e^{2x} ; a\in\mathbb{R}$ .

Die Graphen der Schar $f_a$ sind $G_a$ .

Ermittle die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_a$ mit den beiden Koordinatenachsen in Abhängigkeit von $a$ .
Gib das Verhalten der Funktionswerte von $f_1$ für $x\rightarrow+\infty$ und $x\rightarrow-\infty$ an.

(6P)

Jeder Graph $G_a$ hat im Punkt $E_a(-a-ln2\mid f_a(-a-ln2))$ eine zur $x$ -Achse parallele Tangente. Zur Ermittlung des $x$ -Wertes dieses Punktes hat ein Schüler den folgenden Lösungsweg korrekt angegeben:

1. $f‘_a(x)=-e^{x-a}+2e^{2x}$

2. $0=-e^{x-a}+2e^{2x}\leftrightarrow e^{x-a}=2e^{2x}$

3. $e^{-x-a}02$

4. $x=-a-ln2$

Gib drei Regeln an, die beim Ableiten des Funktionsterms von $f_a$ genutzt worden sind und begründe die Umformung von Gleichung 2 und Gleichung 3.
Zeige, dass für $a=0$ der Punkt $E_0$ ein lokaler Extrempunkt von $G_0$ ist.
Bestimme dessen Koordinaten sowie die Art des Extremums.

(11P)

Der Graph $G_1$ und die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-4x+1-\frac{1}{e}$ begrenzen gemeinsam mit der $x$ -Achse eine Fläche, die dem Querschnitt eines Bremsschuhs entspricht, der das Wegrollen von Fahrzeugen verhindert (1 LE=25 $\;$ cm).

Die „Tiefe“ des Bremsschuhs beträgt 20 $\;$ cm.
Zeige, dass sich $G_1$ und $g$ auf der $y$ -Achse schneiden.
Berechne das Volumen eines solchen Bremsschuhs.

Diagramm einer mathematischen Funktion mit Achsen, Kurven und einem markierten Bereich.

(13P)

Ermittle die Größe des Winkels, den $G_1$ und $g$ im Punkt $A(0\mid1-\frac{1}{e})$ einschließen.

(5P)

Der Produzent der Bremsschuhe möchte auf der Querschnittsfläche des Bremsschuhs sein rechteckiges Firmenlogo mit den Seitenlängen 5 $\;$ cm und 15 $\;$ cm so einstanzen lassen, dass die längere der beiden Seiten parallel zur $x$ -Achse verläuft.
Untersuche, ob das möglich ist.

(5P)

(40P)

Aufgabe 1.2: Bremsschuh

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{G_a}$ mit der $\boldsymbol{x}$ -Achse bestimmen

Hierzu kannst du zunächst den Funktionsterm der Funktionenschar $f_a$ gleich Null setzen.

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& 0 \\[5pt] 0 &=& -e^{x-a} +e^{2x} &\mid\; +e^{x-a} \\[5pt] e^{x-a} &=& e^{2x} &\mid\; \ln \\[5pt] x-a &=& 2x &\mid\; -x \\[5pt] x &=& -a \end{array}$

Der Schnittpunkt mit der $x$ -Achse ist demnach $S_{x_a}(-a\,|\,0)$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{G_a}$ mit der $\boldsymbol{y}$ -Achse bestimmen

Hierzu ist es sinnvoll, $x=0$ in die Funktionsgleichung von $f_a$ einzusetzen.

$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& -e^{0-a} +e^{2 \cdot 0} \\[5pt] f_a(0)&=& -e^{-a} +e^0 \\[5pt] f_a(0)&=& -e^{-a} +1 \end{array}$

Somit ist der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse $S_{y_a}(0\,|\, -e^{-a} +1)$ .

$\blacktriangleright$ Verhalten der Funktionswerte für $\boldsymbol{x \rightarrow\pm \infty}$ angeben

Hier musst du besonders beachten, wie sich die $e$ -Funktion verändert.

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty} e^x&=& \infty \\[5pt] \lim\limits_{x\to\,-\infty} e^x&=& 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty} f_1(x) &=& \lim\limits_{x\to\infty}(-e^{x-1} +e^{2x}) \\[5pt] \lim\limits_{x\to\infty} f_1(x) &=& \lim\limits_{x\to\infty}(-e^{x-1} +(e^x)^2) \\[5pt] \end{array}$

$-1$ im ersten Exponent kannst du hier vernachlässigen, weil x unendlich groß wird.

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty} f_1(x) &=& \lim\limits_{x\to\infty}(-e^x +(e^x)^2)\\[5pt] \lim\limits_{x\to\infty} f_1(x) &=& \infty \end{array}$

Man richtet sich hier nach der höheren Potenz. Deswegen läuft der Term gegen $\infty$ .

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\,-\infty} f_1(x) &=& \lim\limits_{x\to\,-\infty}(-e^{x-1} +(e^x)^2) \\[5pt] \lim\limits_{x\to\,-\infty} f_1(x) &=& 0 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Drei Regeln angeben, die beim Ableiten des Funktionsterms von $\boldsymbol{f_a}$ genutzt worden sind

Summenregel: $(f(x)+g(x))‘ = f‘(x) + g‘(x)$
Kettenregel: $(f(g(x)))‘ = f‘(g(x))\cdot g‘(x)$
Ableitung eines Vielfachen: $(c \cdot f(x))‘ = c\cdot f‘(x)$

$\blacktriangleright$ Umformung von Gleichung (2) zu Gleichung (3) begründen

Zunächst kannst du hier die benutzten Umformungsschritte darstellen.

$\begin{array}[t]{rll} e^{x-a}&=& 2e^{2x} & \mid\; \div e^{2x} \\[5pt] \frac{e^{x-a}}{e^{2x}} &=& 2 \end{array}$

Hier kannst du das Potenzgesetz für das Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$ anwenden.

$\begin{array}[t]{rll} e^{x-a-2x}&=& 2 \\[5pt] e^{-x-a} &=& 2 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass für $\boldsymbol{a = 0}$ der Punkt $\boldsymbol{E_0}$ ein lokaler Extrempunkt von $\boldsymbol{G_0}$ ist

Um dies zu zeigen, kannst du die Bedingungenen für eine Extemstelle $x_E$ anwenden.

Notwendige Bedingung: $f‘_0(x_E) = 0$
Hinreichende Bedingung: $f‘‘_0(x_E) \neq 0$

Die erste Ableitung ist bereits gegeben. Du benötigst also noch die zweite Ableitung von $f_a(x)$ .

1. Schritt: Ableitung bilden

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘(x)&=& -e^{x-a}+2e^{2x} \\[5pt] f_a‘‘(x)&=& -e^{x-a} + 4e^{2x} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f_0‘(x)&=& -e^x+2e^{2x} \\[5pt] f_0‘‘(x)&=& -e^x + 4e^{2x} \end{array}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden

Du kannst hier den $x$ -Wert des Punktes in die erste Ableitung einsetzen.

$\begin{array}[t]{rll} x_{E_0} &=& -\ln(2) \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f_0‘(x_{E_0})&=& -e^{-\ln2}+2e^{2\cdot \, -(\ln2)} \\[5pt] f_0‘(x_{E_0})&=& -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\[5pt] f_0‘(x_{E_0})&=& 0 \end{array}$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} f_0‘‘(x_{E_0}) &=& -e^{-\ln2}+4e^{2\cdot \, -(\ln2)} \\[5pt] f_0‘‘(x_{E_0}) &=& -\frac{1}{2} + 1 \\[5pt] f_0‘‘(x_{E_0}) &=& \frac{1}{2} \end{array}$

Da $f_0‘‘(x_{E_0}) > 0$ ist, hast du bewiesen, dass für $a=0$ der Punkt $E_0$ ein lokaler Extrempunkt von $G_0$ ist.

$\blacktriangleright$ Art des Extremums bestimmen

Um dies zu bestimmen, kannst du die hinreichende Bedingung für eine Tiefstelle $x_T$ und Hochstelle $x_H$ überprüfen.

Hinreichende Bedingung Tiefstelle: $f‘‘_0(x_T) > 0$
Hinreichende Bedingung Hochstelle: $f‘‘_0(x_H) < 0$

Da $f_0‘‘(x_{E_0}) = \frac{1}{2} > 0$ ist, handelt es sich bei $E_0$ um eine Tiefstelle.

$\blacktriangleright$ Koordinaten von $E_0$ bestimmen

Hierfür kannst du zunächst $f_0(x_{E_0})$ bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} f_0(x_{E_0}) &=& -e^{x_{E_0}-0} + e^{2x_{E_0}} \\[5pt] f_0(x_{E_0}) &=& -e^{-\ln(2)} + e^{2 \cdot \, -\ln (2)} \\[5pt] f_0(x_{E_0}) &=& -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \\[5pt] f_0(x_{E_0}) &=& -\frac{1}{4} \end{array}$

Damit lauten die Koordinaten des Tiefpunktes $E_0(-\ln(2) \,|\, -\frac{1}{4})$ .

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass sich $G_1$ und $g$ auf der $Y$ -Achse schneiden

Hier kannst du zunächst damit beginnen, den Funktionsterm $f_1$ des Graphen $G_1$ zu bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} f_1(x) &=& -e^{x-1} + e^{2x} \end{array}$

Als nächstes kannst du in beiden Funktionstermen $f_1$ und $y$ den Wert $x=0$ einsetzen.

$\begin{array}[t]{rll} f_1(0) &=& -e^{0-1} + e^0 \\[5pt] f_1(0) &=& -e^{-1} + 1 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} y (x=0) &=& 4 \cdot 0 +1- \frac{1}{e} \\[5pt] y (x=0) &=& 1- e^{-1} \\[5pt] y (x=0) &=& -e^{-1} + 1 \end{array}$

Somit ist $f_1(0)=y (x=0)$ , was bedeutet, dass beide Graphen die $Y$ -Achse an der selben Stelle schneiden und somit einen Schnittpunkt auf der $Y$ -Achse besitzen.

$\blacktriangleright$ Das Volumen des Bremsschuhs berechnen

Hier kannst du zunächst damit beginnen, den Flächeninhalt des sichbaren Querschnitts des Bremsschuhs zu berechnen. Da es sich hier um den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven und der X-Achse handelt, müssen die Integrale der Funktionen $f_1$ und $y$ addiert werden. Die zu wählenden Start- und Endwerte sind hier die jeweiligen $X$ -Werte der Schnittpunkte der Graphen mit den Koordinatenachsen.

1. Schritt: Stammfunktionen bilden

$\begin{array}[t]{rll} F_1(x)&=& -e^{x-1}+\frac{e^{2x}}{2}+C \\[5pt] Y(x) &=& -2x^2-\frac{x}{e}+x+C \end{array}$

2. Schritt: Grenzen des Integrals bestimmen

Die Schnittstellen der beiden Graphen mit de $y$ -Achse befinden sich jeweils bei $x=0$ . Die Schnittstelle des Graphen $G_1$ mit der $x$ -Achse kann man aus der Grafik auslesen. Sie befindet sich bei $x=-1$ .

Um die Schnittstelle von $g$ mit der $x$ -Achse zu bestimmen, kannst du den Funktionsterm $y$ gleich Null setzen.

$\begin{array}[t]{rll} y &=& 0 \\[5pt] 0 &=& -4x+1-\frac{1}{e} \\[5pt] 4x &=& 1-\frac{1}{e} \\[5pt] x &=& \frac{1}{4} - \frac{1}{4e} \end{array}$

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A &=& 0,2501 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass $1 \text{LE} = 25\text{cm}$ ist.

$\begin{array}[t]{rll} A &=& 0,2501 \cdot (25\text{cm})^2 \\[5pt] A &=& 156,3125 \text{cm}^2 \end{array}$

4. Schritt: Volumen berechnen

Um das Volumen des Bremsschuhs zu bestimmen, musst du nun lediglich den Flächeninhalt mit der "Tiefe" multiplizieren.

$\begin{array}[t]{rll} V&=& A \cdot 20\text{cm} \\[5pt] V&=& 156,3125 \text{cm}^2 \cdot 20cm \\[5pt] V&=& 3126,25 \text{cm}³ \end{array}$

Das Volumen des Bremsschuhs beträgt also ungefähr $3126$ cm³.

$\blacktriangleright$ Größe des Winkels zwischen $G_1$ und $g$ in deren Schnittpunkt $A$ berechnen

Den Schnittwinkel zweier Kurven in einem bestimmten Punkt kannst du durch folgende Formel berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} tan(\alpha)&=& \left|{\frac {m_1-m_2}{1+m_1m_2}}\right| \\[5pt] \end{array}$

Hierbei sind $m_1$ und $m_2$ die Steigung der beiden Kurven im Schnittpunkt. Diese kannst du über die jeweilige Ableitung berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} f_1‘(x)&=& -e^{x-1} + 2e^{2x} \\[5pt] f_1‘(0)&=& -e^{0-1} + 2e^{0} \\[5pt] f_1‘(0)&=& 1,632 \\[5pt] m_1 &=& 1,632 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} y‘(x)&=& -4 \\[5pt] m_2 &=& -4 \end{array}$

Nun kannst du diese Werte in die Formel einfügen.

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \left|{\frac {1,632+4}{1+1,632\cdot(-4)}}\right| \\[5pt] \tan(\alpha)&=& 1,019 \\[5pt] \alpha &=& \arctan(1,019) \\[5pt] \alpha &=& 45,5° \end{array}$

Damit beträgt die Größe des Winkels $\alpha$ im Schnittpunkt ungefähr $45,5°$ .

$\blacktriangleright$ Prüfen, ob das Logo des Produzenten passt

Hier kannst du auf die Information zurückgreifen, dass $1\text{LE} = 25$ cm sind. Du kannst also zunächst die Größe des Rechtecks im Maßstab berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} 5\text{cm}\cdot\frac{1\text{LE}}{25\text{cm}} &=& \frac{1}{5} \text{LE} &=& 0,2 \text{LE} \\[5pt] 15\text{cm}\cdot\frac{1\text{LE}}{25\text{cm}} &=& \frac{3}{5} \text{LE} &=& 0,6 \text{LE} \end{array}$

Du kannst nun annehmen, dass die rechte obere Ecke des Logos genau auf der Geraden $g$ liegt. Dann gilt für diesen Punkt $Q$ :

$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{5} &=& -4x_Q +1 - \frac{1}{e} \\[5pt] x_Q &\approx& 0,1 \end{array}$

Nun kannst du sehen, dass der linke obere Punkt $R$ mindestens bei $x_R=0,1-0,6 = -0,5$ liegen muss. Dann gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f_1(-0,5)&=& -e^{-1,5} + e^{-1} \\[5pt] f_1(-0,5)&\approx& 0,145 \end{array}$

Da $f_1(-0,5) \lt 0,2$ , kann das Logo in der angegebenen Weise nicht auf der Querschnittsfläche eingestanzt werden.