Analysis 2.1 - Ganzrationale Funktionenschar

Gegeben ist die in $\mathbb R$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=\dfrac{1}{8}x^4-\dfrac{a}{12}x^3+2x; a \in \mathbb R$ .
Der Graph wird mit $G_a$ bezeichnet.
Für die erste Ableitungsfunktion von $f_a$ gilt $\(f$ .

Gib das Verhalten der Funktionswerte von $f_0$ für $x\rightarrow +\infty$ und für $x\rightarrow -\infty$ an.

(2 BE)

Weise nach, dass $G_0$ genau einen lokalen Tiefpunkt besitzt und bestimme dessen Koordinaten.

(4 BE)

Ermittle eine Gleichung der Tangente $t_0$ an den Graphen $G_0$ im Schnittpunkt mit der $y$ -Achse. Begründe, dass $t_0$ Tangente aller Graphen $G_a$ im Schnittpunkt mit der $y$ -Achse ist.

$\big[$ Zur Kontrolle: $y=2x \big]$

(4 BE)

Untersuche, ob es einen Wert von $a$ gibt, so dass die Gerade mit der Gleichung $y=2x-54$ Tangente an den Graphen $G_a$ im Punkt $\left(6\mid f_a(6) \right)$ ist.

(4 BE)

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der zweiten Ableitungsfunktion der Funktion $f_0.$
Begründe mithilfe dieses Graphen, dass der Punkt $\left(0\mid f_0(0) \right)$ kein Wendepunkt des Graphen $G_0$ ist.

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Abb. 1

(2 BE)

Weise nach, dass für $a\neq0$ alle Graphen $G_a$ einen gemeinsamen und einen weiteren, nicht gemeinsamen Wendepunkt haben.

(7 BE)

Es gilt: $\(f$
Zeige, dass an der Stelle $x=2$ der Anstieg des Graphen der Funktion $f_6$ null ist.
Begründe ohne Rechnung, dass die Funktion $f_6$ keine Extremstelle bei $x=2$ hat.

(5 BE)

Ermittle den Wertebereich der Funktion $f_6.$

(4 BE)

Eine ganzrationale Funktion $g$ dritten Grades hat folgende Eigenschaften:

Der Graph der Funktion $g$ verläuft durch den Koordinatenursprung.
Die Funktion $g$ hat an der Nullstelle $-2$ die Steigung $-5.$
Die Tangente an den Graphen der Funktion $g$ im Punkt $(2\mid g(2))$ verläuft parallel zur Geraden mit der Gleichung $y=-9x+9.$

Bestimme eine Funktionsgleichung von $g.$

[Zur Kontrolle: $g(x)=-\dfrac{3}{4}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+2x$ ]

(7 BE)

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion $g$ aus Teilaufgabe i.
Die Funktion $g$ hat drei Nullstellen:
$x_1=-2;x_2=0;x_3=\dfrac{4}{3}.$

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Abb. 2

Es gilt $\displaystyle\int_{-1}^{1}g(x)\;\mathrm dx=-\dfrac{1}{3}.$
Erläutere unter Zuhilfenahme der Abbildung 2 die geometrische Bedeutung dieser Gleichung.

(3 BE)

Entscheide, ob die folgende Aussage richtig ist. Begründe deine Entscheidung.
Der Graph jeder Stammfunktion von $g$ hat zwei Hochpunkte.

(2 BE)

Für einen Wert des Parameters $a$ liegt der Punkt $\left( 2\mid f_a(2) \right)$ auf dem Graphen der Funktion $g.$ Bestimme diesen Wert von $a$ .

[Zur Kontrolle: $a=15$ ]

(2 BE)

Ermittle alle $x \in \mathbb{R}$ für die gilt: $f_{15}(x)\gt g(x).$

(4 BE)

(50 BE)

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$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f_0(x)=+\infty$

$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f_0(x)=+\infty$

1. Schritt: Ableitungen bilden

$f_0(x)=\dfrac{1}{8} x^4+2 x$

$\( f_0$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f_0$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$f_0^{\prime \prime}(-1,6) \approx 3,8>0$

Es gilt:

$f_0(-1,6)=\dfrac{1}{8} \cdot(-1,6)^4+2 \cdot(-1,6) \approx-2,4$

Daraus folgen die Koordinaten des lokalen Tiefpunktes mit $T(-1,6 \mid -2,4).$

$f_0(0)=0,$ daraus folgen die Koordinaten des Schnittpunktes mit der $y$ -Achse mit $(0 \mid 0).$

Es gilt: $\(f _0$

Daraus folgt die Tangentengleichung mit $t _0(x)=2x.$

Für alle $a \in \mathbb{R}$ ist $f_{a}(0)=0$ und $\(f_a$ , also ist $t_0$ für alle Graphen $G_a$ die Tangente im Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

Aus der Gleichung der Geraden wird die Steigung abgelesen und somit gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

Daraus folgt: $f_{12}(6)=162-216+12=-42$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&f_{12}(6) \\[5pt] 2 \cdot 6-54&=& -42 \\[5pt] -42&=&-42 \end{array}$

Die Gerade mit der Gleichung $y=2 x-54$ ist Tangente an den Graphen $G _{12}$ im Punkt $(6 \mid-42).$

Die zweite Ableitungsfunktion von $f_0$ ändert in der Umgebung von $x=0$ nicht das Vorzeichen, da der Graph oberhalb der $x$ -Achse liegt.

1. Schritt: Ableitungen bilden

$\(f_a$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x_1=0$ und:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3}{2}x -\dfrac{a}{2} &=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+\dfrac{a}{2} \\[5pt] x&=& \dfrac{a}{2}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{2}{3} \\[5pt] x&=&\dfrac{a}{3} \end{array}$

$x_2=\dfrac{a}{3}$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Wendestellen anwenden

$\(f_a$ für $a \neq 0$

Es gibt folglich für $a \neq 0$ zwei Wendepunkte.

$W_1(0 \mid 0)$ ist ein Wendepunkt aller Graphen der Schar und $W _2\left(\dfrac{a}{3} \mid f_a\left(\dfrac{a}{3}\right)\right)$ ein von $a$ abhängiger Wendepunkt der Graphen der Schar.

Es gilt: $\(f_6$

Somit ist der Anstieg des Graphen der Funktion $f_6$ an der Stelle $x=2$ null.

Der Term $(x-2)^2$ ist stets nicht negativ, also wechselt $\(f_6$ das Vorzeichen in der Nähe von $x=2$ nicht. Also liegt bei $x=2$ keine Extremstelle vor.

Der Wertebereich gibt an, welche $y$ -Werte eine Funktion annimmt.

Der Graph der Funktion $f_6$ hat den höchsten Grad 4 und deshalb gilt: $\lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} f_6(x)=+\infty.$

Untersucht wird nun, ob der Graph der Funktion $f_6$ einen Tiefpunkt hat.

Die notwendige Bedingung für Exremstellen ergibt:

$\(f_6$ $=\dfrac{1}{2}(x-2)^2 \cdot(x+1)=0$

Anwendung des Satzes vom Nullprodukt:

Es gilt $(x-2)^2 \neq 0$ und $x+1=0.$ Daraus folgt:

$\(f_6$

Mit der hinreichenden Bedingung für Extremstellen folgt $\(f_6$

Mit $f_6(-1)= -\dfrac{11}{8}$ folgt ein lokales Minimum an $T\left(-1 \mid-\frac{11}{8} \right).$

$W=\left\{y \mid y \in \mathbb{R} ; y \geq-\dfrac{11}{8}\right\}$

$g(x)=a x^3+b x^2+c x+d$

$\(g$

Es gilt:

$g(0)=0$

$g(-2)=0$

$\( g$

Daraus ergibt sich das LGS:

Rechenweg anzeigen

Aus $\(\text{IV$ folgt $c=2,$ aus $\(\text{III$

$\begin{array}[t]{rll} 4a-2&=& -5&\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] 4a&=& -3&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] a&=& -\dfrac{3}{4} \end{array}$

Eingesetzt in $\text{II}$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} -8 \cdot \left(-\frac{3}{4} \right) +4 b-2 \cdot 2&=& 0 \\[5pt] 6 +4 b-4&=& 0\\[5pt] 4 b+2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] 4 b&=& -2&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] b&=&-\dfrac{1}{2} \end{array}$

Mit der Lösung $a=-\dfrac{3}{4};$ $b=-\dfrac{1}{2};$ $c=2$ und $d=0$ erhält man die Funktionsgleichung $g(x)=-\dfrac{3}{4} x^3-\dfrac{1}{2} x^2+2 x.$

Das bestimmte Integral gibt die Flächenbilanz im Intervall $[-1 ; 1]$ an. Innerhalb dieses Intervalls hat die Funktion $g$ die Nullstelle $x =0$ . Da der Wert des bestimmter Integrals negativ ist, bedeutet dies, dass das Flächenstück unterhalb der $x$ -Achse größer ist als das Flächenstück oberhalb der $x$ -Achse.

Die Aussage ist richtig. Nur an den beiden Nullstellen $x=-2$ und $x=\dfrac{4}{3}$ hat die Funktion $g$ einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. Der Graph jeder Stammfunktion von $g$ wechselt dort von steigend zu fallend, hat also zwei Hochpunkte.

$g(x) =-\dfrac{3}{4} x^3-\dfrac{1}{2} x^2+2 x$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(2)&=& \dfrac{1}{8} \cdot 2^4-\dfrac{9}{12} \cdot 2^3+2 \cdot 2 \\[5pt] &=& 2-\frac{2}{3} \cdot a+4 \\[5pt] &=&-\frac{2}{3} \cdot a+6 \end{array}$

Einsetzen der Koordinaten des Punktes in $g$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(2)&=& -\dfrac{3}{4} \cdot 2^3-\dfrac{1}{2} \cdot 2^2+2 \cdot 2 \\[5pt] -\dfrac{2}{3} \cdot a+6 &=& -4 \\[5pt] -\dfrac{2}{3} \cdot a&=& -10 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \left(-\dfrac{3}{2} \right) \\[5pt] a&=& 15 \end{array}$

Es gilt:

$f_{15}(x)-g(x)$ $=\dfrac{1}{8} x^4-\dfrac{1}{2} x^3+\dfrac{1}{2} x^2$ $=x^2 \cdot\left(\dfrac{1}{8} x^2-\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}\right)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt: $x^2 \neq 0$ und

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{8} x^2-\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 8 \\[5pt] x^2-4x+4&=&0 \end{array}$

Mit der $pq$ -Formel folgt $x=-\dfrac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-4)}{2}\right)^2-4}$ $=2.$

Da beide Faktoren nicht negativ werden können, ist $f_{15}(x)>g(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ außer für $x=0$ und $x=2.$

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