Aufgabe 3.1

Die folgenden Rechnungen zeigen ein mögliches Vorgehen zur Ermittlung der Koordinaten von d.h. Erläutere das dargestellte Vorgehen.

Weise nach, dass die Bodenfläche der oberen Etage nicht rechtwinklig ist.

Berechne für das Dreieck die Größe des Innenwinkels bei sowie die Länge der Höhe auf der Seite
[Zur Kontrolle: ]

Für die obere Etage wird eine Anlage zur Entfeuchtung der Luft installiert, die für Rauminhalt eine elektrische Leistung von Kilowatt benötigt.
Weise nach, dass für den Betrieb der Anlage eine Leistung von Kilowatt ausreichend ist.

Weise nach, dass die Gerade durch die Punkte und und die Ebene, in der das Dreieck liegt, sich im Punkt schneiden.

An einer Metallstange, die durch die Strecke dargestellt wird, ist ein Scheinwerfer befestigt, der sich entlang der Stange verschieben lässt. Die Größe des Scheinwerfers soll vernachlässigt werden.
Der Scheinwerfer soll aus einer Entfernung von diejenige Wand beleuchten, die im Modell durch das Dreieck dargestellt wird.
Das Dreieck liegt in der Ebene mit der Gleichung:
Berechne die Koordinaten des Punktes, der die Position des Scheinwerfers im Modell beschreibt.

---

  Vorgehen beschreiben Der Punkt ist der Schnittpunkt der drei Geraden durch die Punkte und und und Es genügt den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen. In der dargestellten Rechnung werden die beiden Parameterdarstellungen der Geraden durch die Punkte und mit dem Geradenparameter und durch die Punkte und mit dem Geradenparameter gleichgesetzt.
Diese Gleichung liefert eine Lösung für und Der Wert für wird in die Geradengleichung durch die Punkte und eingesetzt und liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts.
Daraus erhält man die Koordinaten des Punkts

  Nachweisen, dass die Bodenfläche nicht rechtwinklig ist Die Bodenfläche ist rechtwinklig, wenn es zwei Verbindungsvektoren der Eckpunkte gibt, die senkrecht aufeinander stehen. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Die Bodenfläche ist also nicht rechtwinklig.

  Größe des Innenwinkels berechnen Der Innenwinkel des Dreiecks entspricht dem Schnittwinkel der beiden Geraden durch die Punkte und und durch und Zugehörige Richtungsvektoren sind und Mit der entsprechenden Formel folgt: Der Innenwinkel des Dreiecks bei ist groß.   Länge der Höhe bestimmen Bezeichne mit den Punkt, in dem die Höhe auf die Seite trifft.
Zwei der Innenwinkel des Dreiecks sind bekannt:

• Der Winkel bei hat die Größe
• Der Innenwinkel bei beträgt aufgrund der Eigenschaften der Höhe

Der dritte Winkel bei muss also aufgrund der Winkelsumme eines Dreiecks folgende Größe haben: Die beiden Innenwinkel bei und sind also gleichgroß, sodass es sich bei um ein gleichschenkliges Dreieck handelt. Dadurch sind auch die beiden Seiten und gleich lang:
Die Länge der Hypotenuse kannst du mit dem Vektorbetrag des zugehörigen Vebindungsvektors berechnen: Mit dem Satz des Pythagoras folgt dann aufgrund der Gleichschenkligkeit: Die Höhe ist Längeneinheiten lang.

  Ausreichende Leistung nachweisen Die obere Etage hat die Form einer Pyramide. Die Höhe der Pyramide entspricht dem Abstand von zur Ebene durch welchen du eben berechnet hast: 1. Schritt: Inhalt der Bodenfläche berechnen Die Bodenfläche der oberen Etage ist das Dreieck dessen Höhe zur Seite du bereits berechnet hast: Die Länge der Seite kannst du wieder über den Vektorbetrag berechnen. Für den Flächeninhalt der Bodenfläche gilt daher: 2. Schritt: Volumen berechnen Mit der Formel für das Volumen einer Pyramide folgt: Das Volumen der oberen Etage beträgt Es werden demnach Kilowatt benötigt. Kilowatt reichen also aus.

  Schnittpunkt nachweisen Die Gerade kann durch folgende Gleichung beschrieben werden: Da das Dreieck in einer zur -Ebene parallelen Ebene liegt und die Punkte und alle die -Koordinate haben, kann die Ebene in der das Dreieck liegt, durch folgende Gleichung beschrieben werden: Die -Koordinate der Punkte auf der Geraden ist Einsetzen in die Ebenengleichung liefert: Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts Die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden und der Ebene, in der das Dreieck liegt, lauten

  Koordinaten des Scheinwerfers berechnen Die Metallstange liegt im Modell auf der Geraden durch die Punkte und Gesucht ist ein Punkt auf dieser Geraden, der von der Ebene , in der die Punkte und liegen, den Abstand hat. 1. Schritt: Geradengleichung aufstellen Die Punkte auf haben also die Koordinaten 2. Schritt: Hessesche Normalenform der Ebene aufstellen Das Dreieck liegt laut dem Aufgabenblatt in der Ebene mit der Gleichung
Mithilfe der Hesseschen Normalenform lässt sich eine Gleichung für den Abstand aufstellen. Für die Hessesche Normalenform wird der Betrag des Normalenvektors benötigt. Eine mögliche Darstellung von in der Hesseschen Normalenform lautet also: Der Abstand zwischen einem Punkt zur Ebene ist dann: 3. Schritt: Gleichung für den Abstand aufstellen und lösen Einsetzen der Koordinaten der Punkte auf der Geraden in die Abstandsfunktion und Gleichsetzen mit liefert: Für läge der Punkt nicht zwischen und Damit ergibt sich der Ortsvektor des Punkts, in dem sich der Scheinwerfer befindet: Die Position des Scheinwerfers wird im Modell durch den Punkt beschrieben.