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Abi-Aufgaben LK (WTR)

Abi-Aufgaben LK (CAS)

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 2.1

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ durch die Gleichung $f_a(x)=(x^2+a)\cdot \mathrm e^{0,5-x};$ $a\in \mathbb{R}.$
Die Graphen der Schar sind $G_a.$

a)

Ermittle die Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a.$
Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x \to \infty$ und für $x \to-\infty.$

(8 BE)

b)

Gib den Schnittpunkt des Graphen $G_a$ mit der $y$ -Achse an. In der Abbildung 1 sind für ganzzahlige Parameterwerte $a$ zwei Graphen der Funktionenschar $f_a$ dargestellt.
Ermittle die Parameterwerte und beschrifte die Graphen.

(3 BE)

c)

Die Graphen $G_2$ und $G_0,$ die $y$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = 3$ schließen eine Fläche ein.
Berechne den Inhalt $A$ dieser Fläche.

(4 BE)

d)

Weise nach, dass die Graphen $G_a$ der Funktionenschar $f_a$ für $a \gt 1$ keine Extrempunkte besitzen.
[Zur Kontrolle: $f_a‘(x)=(-x^2+2x-a)\cdot \mathrm e^{0,5-x}$ ]

(5 BE)

e)

Weise nach, dass gilt: $f_2‘‘(x)=(x-2)^2\mathrm e^{0,5-x}.$
Erläutere, welche Schlussfolgerungen daraus über den Verlauf des Graphen $G_2$ gezogen werden können.

(8 BE)

f)

Der Graph $G_2$ verläuft im Intervall $[1;3]$ annähernd geradlinig und kann vereinfacht durch die Tangente $t$ an diesen Graphen in $x = 2$ dargestellt werden.
Ermittle die Gleichung der Tangente $t.$
[Zur Kontrolle: $t(x)=-2\cdot \cdot \mathrm e^{-1,5}\cdot x+10\cdot \mathrm e^{-1,5}$ ]

Zeige, dass der Funktionswert der Tangente $t$ an der Stelle $x = 1$ um weniger als $2\,\%$ vom Funktionswert von $f_2$ an dieser Stelle abweicht.

(6 BE)

Der Graph $G_{0,65}$ der Funktion $f_{0,65}$ schließt über dem Intervall $[0;3]$ mit der $x$ -Achse eine Fläche ein (siehe Abbildung 2).
Durch Rotation dieser Fläche um die $x$ -Achse entsteht ein Körper, der modellhaft einer auf der Seite liegenden und nach links geöffneten Vase entspricht. Es gilt: $1\,\text{LE}= 1\,\text{dm}.$

g)

Die Vase nimmt an zwei verschiedenen Stellen einen maximalen Radius von ca. $1,07\,\text{dm}$ an. Bestimme diese beiden Stellen.

(7 BE)

h)

Interpretiere im Sachzusammenhang die Funktion $b(t)=\pi \cdot \displaystyle\int_{3-t}^{3}(f_{0,65}(x))^2\;\mathrm dx$

(2 BE)

i)

Die Vase soll stehend in einem Karton verpackt werden, der die Form eines regelmäßigen sechsseitigen Prismas besitzt. Stelle den Zusammenhang zwischen dem maximalen Radius der Vase und der Grundfläche des Kartons mit Hilfe einer Skizze und einer Gleichung dar.
Ermittle, welches Volumen $(\text{in cm}^3)$ dieser Karton mindestens haben muss.

(7 BE)

(50 BE)

Anlage

Graph eines mathematischen Funktion mit x- und y-Achse, zeigt Kurvenverlauf im positiven Bereich.

Abb. 1

Fläche

Abb. 2

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

© - SchulLV.

a)

$\blacktriangleright$ Anzahl der Nullstellen ermitteln

$x^2=-a$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Diese Gleichung hat in Abhängigkeit von $a$ folgende Lösungen:

$a\gt 0:\quad$ Die Gleichung $x^2=-a$ hat keine Lösung, da $x^2\geq 0$ für alle $x\in \mathbb{R}$ und $-a \lt 0$ ist. $f_a$ hat daher keine Nullstellen.
$a=0:\quad$ $x^2=-a$ hat genau eine Lösung, $x=0.$ $f_a$ hat also für $a=0$ eine Nullstelle.
$a\lt 0:\quad$ $x^2=-a$ hat zwei Lösungen: $x_1 = -\sqrt{-a}$ und $x_2=+\sqrt{-a}.$ $f_a$ hat also zwei Nullstellen.

$\blacktriangleright$ Verhalten der Funktionswerte untersuchen

Für $x\to \infty$ gilt $x^2+a \to \infty$ und $\mathrm e^{0,5-x}\to 0.$
Insgesamt gilt daher $f_a(x)\to 0$ für $x\to \infty.$

Für $x\to -\infty$ gilt $x^2+a \to \infty$ und $\mathrm e^{0,5-x}\to \infty.$
Insgesamt gilt daher $f_a(x)\to \infty$ für $x\to -\infty.$

b)

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt angeben

$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& (0^2+a)\cdot \mathrm e^{0,5-0} \\[5pt] &=& a \cdot \mathrm e^{0,5} \\[5pt] \end{array}$

Der Graph $G_a$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_y\left(0\mid a \cdot \mathrm e^{0,5}\right).$

$\blacktriangleright$ Parameterwerte ermitteln

Einer der Graphen schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(0\mid 0).$ Zu ihm muss der Wert $a=0$ gehören.
Für $a=2$ ergibt sich beispielsweise der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse zu $\left(0\mid 2\cdot\mathrm e^{0,5} \right)\approx (0\mid 3,3).$ Der zweite Graph gehört also zum Wert $a=2.$

Graf einer Funktion mit zwei asymptotischen Linien und Achsenbeschriftung.

Abb. 1: Zuordnung der Graphen

c)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Den Flächeninhalt kannst du mithilfe eines Integrals berechnen:

$A\approx 3,13$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Der Flächeninhalt $A$ der beschriebenen Fläche beträgt ca. $3,13\,\text{FE}.$

d)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass keine Extrempunkte existieren

1. Schritt: Ableitungsfunktion bilden

Mit der Produktregel und der Kettenregel folgt für die erste Ableitungsfunktion von $f_a:$

$f_a‘(x)=...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$x_{1/2} = \dfrac{-2\pm \sqrt{4-4a}}{-2}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Der Radikand, also der Wert unter der Wurzel, ist $4-4a.$ Dieser ist für $a\gt 1$ negativ, sodass die Wurzel dann nicht mehr definiert ist. Für $a \gt 1$ gibt es also keine Stellen $x,$ die das notwendige Kriterium für Extremstellen erfüllen. Es kann also keine Extremstellen für $a\gt 1$ geben.

e)

$\blacktriangleright$ Ableitungsfunktion nachweisen

Mit der Produktregel und der Kettenregel folgt:

$f_2‘‘(x)=...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Es gilt $f_2‘‘(x) \geq 0$ für alle $x\in \mathbb{R}.$ Die zweite Ableitungsfunktion $f_2‘‘$ beschreibt die Krümmung des Graphen $G_2.$ Dieser ist demnach im gesamten Definitionsbereich linksgekrümmt.

f)

$\blacktriangleright$ Tangentengleichung ermitteln

Für die Steigung der Tangente folgt:

$m_t= -2\cdot \mathrm e^{-1,5}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Für den Funktionswert an der Stelle $x=2$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f_2(2)&=& (2^2+2)\cdot \mathrm e^{0,5-2} \\[5pt] &=& 6\cdot \mathrm e^{-1,5}\\[5pt] \end{array}$

Eine Punktprobe liefert dann für den $y$ -Achsenabschnitt der Tangente:

$10\cdot \mathrm e^{-1,5}= b_t$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Eine Gleichung der Tangente an $G_2$ an der Stelle $x=2$ lautet also $t(x)= -2\cdot \mathrm e^{-1,5}\cdot x +10\cdot \mathrm e^{-1,5}.$

$\blacktriangleright$ Abweichung nachweisen

$\begin{array}[t]{rll} f_2(1)&=& 3\cdot \mathrm e^{-0,5}\\[10pt] t(1)&=& 8\cdot \mathrm e^{-1,5} \\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Die prozentuale Abweichung ergibt sich zu:

$...=-1,90\,\%$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Der Funktionswert der Tangente an der Stelle $x=1$ weicht also um weniger als $2\,\%$ vom Funktionswert von $f_2$ an dieser Stelle ab.

g)

$\blacktriangleright$ Stellen mit maximalem Radius bestimmen

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$f_{0,65}‘(x)=...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\begin{array}[t]{rll} f_{0,65}‘(x) &=& 0 \\[5pt] ... \\[5pt] x_1&\approx& 0,41\\[10pt] x_2&\approx& 1,59 \\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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3. Schritt: Funktionswerte vergleichen

Für die obigen möglichen Extremstellen und die Intervallränder folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f_{0,65}(0,41)&\approx& 0,90 \\[5pt] f_{0,65}(1,59)&\approx& 1,07 \\[5pt] f_{0,65}(0)&\approx& 1,07\\[5pt] f_{0,65}(3)&\approx& 0,79\\[5pt] \end{array}$

Die Vase nimmt an den Stellen $x_1= 0$ und $x_2\approx 1,59$ den maximalen Radius von $1,07\,\text{dm}$ an.

h)

$\blacktriangleright$ Funktion im Sachzusammenhang interpretieren

Der Funktionsterm von $b$ baut auf der Formel für das Rotationsvolumen auf.
Die Funktion $b(t)$ beschreibt im Sachzusammenhang das Volumen der Vase bis zur Höhe $t,$ also beispielsweise das Füllvolumen bei der Füllhöhe $t.$

i)

$\blacktriangleright$ Zusammenhang herstellen

Skizze

Abb. 2: Skizze

Die Grundfläche muss so groß sein, dass ein Kreis mit dem Radius $r$ eingefasst werden kann, der dem maximalen Radius der Vase entspricht.
Da die Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck ist, kann sie in sechs kongruente Dreiecke eingeteilt werden. Der Innenwinkel eines solchen Dreiecks am Mittelpunkt ist $360^{\circ}:6 = 60^{\circ}$ groß.
Aufgrund der Regelmäßigkeit ist ein solches Dreieck mindestens gleichschenklig. Die beiden Basiswinkel sind dann aber ebenfalls $60^{\circ}$ groß, sodass das Dreieck sogar gleichseitig ist.

Die Höhe des Dreiecks ist $r.$ Die Seitenlänge $a$ kann mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.

$a= \frac{2}{\sqrt{3}}r$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks ist also:

$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{\sqrt{3}}r^2$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Der Flächeninhalt der Grundfläche kann daher in Abhängigkeit des maximalen Vasenradius $r$ wie folgt dargestellt werden:

$A_G(r) = \sqrt{12}\cdot r^2$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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$\blacktriangleright$ Mindestvolumen ermitteln

Der maximale Radius der Vase beträgt laut Aufgabenteil g) $r\approx 1,07\,\text{dm}.$ Die Höhe der Vase beträgt $h=3\,\text{dm}.$ Mit der obigen Formel und der Volumenformel für Prismen folgt:

$V\approx 11.898\,\text{cm}^3$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Der Karton muss mindestens ein Volumen von $11.898\,\text{cm}^3$ haben.

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

© - SchulLV.