Aufgabe 3.1

Jeweils zwei benachbarte Zeltwände schließen im Inneren des Zelts einen stumpfen Winkel ein. Ermittle dessen Größe.

Im Zelt ist eine Lichtquelle so aufgehängt, dass sie von jeder der vier Wände einen Abstand von hat. Ermittle die Koordinaten des Punktes, der die Lichtquelle im Modell darstellt.

Der Ortsvektor eines Punktes lässt sich in der Form mit und darstellen. Weise nach, dass auf der Strecke liegt.

Weise nach, dass die Länge des Vordachs etwa beträgt.
Alle Punkte derjenigen Kante des Vordachs, an deren Enden die beiden Stangen befestigt sind, haben im Modell die gleiche -Koordinate. Bestimme diese -Koordinate.
[Zur Kontrolle: Die -Koordinate beträgt etwa ]

Auf das Zelt treffendes Sonnenlicht lässt sich im Modell zu einem bestimmten Zeitpunkt durch parallele Geraden mit einem Richtungsvektor beschreiben. Zu diesem Zeitpunkt trifft das Sonnenlicht durch ein kleines Loch im horizontalen Vordach genau auf den Mittelpunkt des Zeltbodens. Für kommen verschiedene ganzzahlige Werte infrage.
Ermittle einen dieser Werte und gib die Koordinaten des zugehörigen Punktes an, der im Modell eine mögliche Position des Lochs im Vordach darstellt.

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  Koordinaten angeben Mit folgenden Informationen ergeben sich die gesuchten Koordinaten von und

• Die Grundfläche ist quadratisch.
• Die Seitenlänge des Zeltbodens beträgt
• liegt im Koordinatenursprung.
• liegt auf dem positiven Teil der -Achse.
• liegt auf dem positiven Teil der -Achse.

Die - und -Koordinate von entspricht der von . Durch die Höhe des Zeltes von ergibt sich die -Koordinate:   Pyramide zeichnen

  Größe des Winkels berechnen Die Winkel, die zwei benachbarte Zeltwände einschließen, entsprechen den Winkeln, die zwei benachbarte Seiten der Pyramide einschließen.
Die Seitenflächen der Pyramide liegen jeweils in einer Ebene. Gesucht ist also die Größe des stumpfen Winkels, den je zwei dieser Ebenen einschließen.
Eine der Seitenflächen wird im Modell durch das Dreieck dargestellt, das in der Ebene liegt. Ein Normalenvektor von kann aus der Ebenengleichung abgelesen werden mit: Eine dazu benachbarte Seitenfläche ist Ein Normalenvektor der zugehörigen Ebene ergibt sich mit dem Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren der Punkte und Mit dem crossP-Befehl des CAS folgt: Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen ergibt sich: In der Aufgabenstellung ist vorgegeben, dass es sich bei dem gesuchten Winkel um einen stumpfen Winkel, also mit einer Größe von mindestens handelt.
Mit der obigen Formel wird der kleinere der beiden Winkel berechnet, der von zwei Ebenen eingeschlossen wird. Gesucht ist also der Gegenwinkel von Der stumpfe Winkel, der im Zeltinneren von je zwei Seitenwänden eingeschlossen wird, besitzt eine Größe von ca.

  Koordinaten ermitteln Gesucht sind die Koordinaten des Punkts , der im Modell die Lichtquelle darstellt. Dieser muss von allen vier Ebenen, in denen jeweils die Dreiecke liegen, die die Zeltwände darstellen, den Abstand , also insbesondere denselben Abstand haben.
Da die Pyramide regelmäßig ist, ist das der Fall, wenn auf dem Lot liegt, das von der Spitze aus zur -Ebene gefällt wird. besitzt also die gleiche - und -Koordinaten wie :
Mithilfe der Hesseschen Normalenform von ergibt sich für den Abstand von zur Ebene in der das Dreieck liegt, folgende Gleichung: Die zweite Lösung liegt außerhalb der Pyramide bzw. außerhalb des Zelts. Die Koordinaten des Punkts, der die Lichtquelle darstellt lauten demnach

  Lage des Punkts nachweisen Der Punkt liegt auf der Strecke wenn für die Beträge gilt:
Mithilfe der Bedingungen und folgt:

1. Schritt: Schnittwinkel berechnen Ein möglicher Normalenvektor der -Ebene ist Ein Normalenvektor der Ebene , in der liegt, kann aus der Ebenengleichung in der Aufgabenstellung abgelesen werden: Für den Schnittwinkel ergibt sich dann mit der zugehörigen Formel: 2. Schritt: Länge berechnen Das Vordach ist ca. lang.   -Koordinate bestimmen Alle Punkt der Kante des Vordachs, die am Zelt befestigt ist, müssen die -Koordinate besitzen und gleichzeitig in der Ebene der Zeltwand liegen.
Also muss folgende Gleichung gelten: Das Vordach ist lang, wobei es parallel zur -Achse liegt. Die -Koordinate der Punkte auf der Kante, an der die Stangen befestigt sind, ergeben sich dann zu:

  Mögliche Koordinaten des Lochpunkts angeben 1. Schritt: Koordinaten der Punkte auf dem Vordach eingrenzen Das Vordach liegt horizontal in einer Höhe von Alle Punkte , die im Modell im Vordach liegen, haben also die -Koordinate Durch die Angabe aus Teilaufgabe e) über die -Koordinate der rechten Kante des Vordachs, an der die Stangen befestigt sind, und der linken Kante des Vordachs, die am Zelt befestigt ist, ergibt sich für die -Koordinaten der Punkte auf dem Vordach: Da die untere Kante des Rechtecks, das die Zeltöffnung darstellt, mittig auf der Strecke liegt und eine Breite von hat, bleiben rechts und links von der Öffnung noch Platz bis zum Rand der Zeltkante.
Für die -Koordinaten der Punkte im Vordach muss also gelten: 2. Schritt: Geradengleichung aufstellen Das Sonnenlicht, das auf den Mittelpunkt des Zeltbodens trifft, kann in Abhängigkeit von durch die Gerade beschrieben werden, die entlang des angegebenen Richtungsvektors und durch den Mittelpunkt verläuft: 3. Schritt: Parameterwert eingrenzen Der Punkt , in dem sich das Loch befindet, muss nun sowohl die Geradengleichung von erfüllen, also die Koordinaten besitzen, als auch die Bedingungen aus dem ersten Schritt erfüllen, damit das Loch noch innerhalb des Vordachs liegt. Es gilt also folgendes System von Ungleichungen und Gleichungen: Durch Ausprobieren für verschiedene ganzzahlige Werte von ergeben sich folgende Werte für

• erfüllt die zweite Bedingung nicht
• 

Einsetzen in die Geradengleichung des Sonnenlichts liefert: Ein möglicher Wert für ist also beispielsweise Die zugehörigen Koordinaten des Punkts, der das Loch im Vordach darstellt, lauten

  Koordinaten angeben Mit folgenden Informationen ergeben sich die gesuchten Koordinaten von und

• Die Grundfläche ist quadratisch.
• Die Seitenlänge des Zeltbodens beträgt
• liegt im Koordinatenursprung.
• liegt auf dem positiven Teil der -Achse.
• liegt auf dem positiven Teil der -Achse.

Die - und -Koordinate von entspricht der von . Durch die Höhe des Zeltes von ergibt sich die -Koordinate:   Pyramide zeichnen

  Größe des Winkels berechnen Die Winkel, die zwei benachbarte Zeltwände einschließen, entsprechen den Winkeln, die zwei benachbarte Seiten der Pyramide einschließen.
Die Seitenflächen der Pyramide liegen jeweils in einer Ebene. Gesucht ist also die Größe des stumpfen Winkels, den je zwei dieser Ebenen einschließen.
Eine der Seitenflächen wird im Modell durch das Dreieck dargestellt, das in der Ebene liegt. Ein Normalenvektor von kann aus der Ebenengleichung abgelesen werden mit: Eine dazu benachbarte Seitenfläche ist Ein Normalenvektor der zugehörigen Ebene ergibt sich mit dem Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren der Punkte und Mit dem crossP-Befehl des CAS folgt: Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen ergibt sich: In der Aufgabenstellung ist vorgegeben, dass es sich bei dem gesuchten Winkel um einen stumpfen Winkel, also mit einer Größe von mindestens handelt.
Mit der obigen Formel wird der kleinere der beiden Winkel berechnet, der von zwei Ebenen eingeschlossen wird. Gesucht ist also der Gegenwinkel von Der stumpfe Winkel, der im Zeltinneren von je zwei Seitenwänden eingeschlossen wird, besitzt eine Größe von ca.

  Koordinaten ermitteln Gesucht sind die Koordinaten des Punkts , der im Modell die Lichtquelle darstellt. Dieser muss von allen vier Ebenen, in denen jeweils die Dreiecke liegen, die die Zeltwände darstellen, den Abstand , also insbesondere denselben Abstand haben.
Da die Pyramide regelmäßig ist, ist das der Fall, wenn auf dem Lot liegt, das von der Spitze aus zur -Ebene gefällt wird. besitzt also die gleiche - und -Koordinaten wie :
Mithilfe der Hesseschen Normalenform von ergibt sich für den Abstand von zur Ebene in der das Dreieck liegt, folgende Gleichung: Die zweite Lösung liegt außerhalb der Pyramide bzw. außerhalb des Zelts. Die Koordinaten des Punkts, der die Lichtquelle darstellt lauten demnach

  Lage des Punkts nachweisen Der Punkt liegt auf der Strecke wenn für die Beträge gilt:
Mithilfe der Bedingungen und folgt:

1. Schritt: Schnittwinkel berechnen Ein möglicher Normalenvektor der -Ebene ist Ein Normalenvektor der Ebene , in der liegt, kann aus der Ebenengleichung in der Aufgabenstellung abgelesen werden: Für den Schnittwinkel ergibt sich dann mit der zugehörigen Formel: 2. Schritt: Länge berechnen Das Vordach ist ca. lang.   -Koordinate bestimmen Alle Punkt der Kante des Vordachs, die am Zelt befestigt ist, müssen die -Koordinate besitzen und gleichzeitig in der Ebene der Zeltwand liegen.
Also muss folgende Gleichung gelten: Das Vordach ist lang, wobei es parallel zur -Achse liegt. Die -Koordinate der Punkte auf der Kante, an der die Stangen befestigt sind, ergeben sich dann zu:

  Mögliche Koordinaten des Lochpunkts angeben 1. Schritt: Koordinaten der Punkte auf dem Vordach eingrenzen Das Vordach liegt horizontal in einer Höhe von Alle Punkte , die im Modell im Vordach liegen, haben also die -Koordinate Durch die Angabe aus Teilaufgabe e) über die -Koordinate der rechten Kante des Vordachs, an der die Stangen befestigt sind, und der linken Kante des Vordachs, die am Zelt befestigt ist, ergibt sich für die -Koordinaten der Punkte auf dem Vordach: Da die untere Kante des Rechtecks, das die Zeltöffnung darstellt, mittig auf der Strecke liegt und eine Breite von hat, bleiben rechts und links von der Öffnung noch Platz bis zum Rand der Zeltkante.
Für die -Koordinaten der Punkte im Vordach muss also gelten: 2. Schritt: Geradengleichung aufstellen Das Sonnenlicht, das auf den Mittelpunkt des Zeltbodens trifft, kann in Abhängigkeit von durch die Gerade beschrieben werden, die entlang des angegebenen Richtungsvektors und durch den Mittelpunkt verläuft: 3. Schritt: Parameterwert eingrenzen Der Punkt , in dem sich das Loch befindet, muss nun sowohl die Geradengleichung von erfüllen, also die Koordinaten besitzen, als auch die Bedingungen aus dem ersten Schritt erfüllen, damit das Loch noch innerhalb des Vordachs liegt. Es gilt also folgendes System von Ungleichungen und Gleichungen: Durch Ausprobieren für verschiedene ganzzahlige Werte von ergeben sich folgende Werte für

• erfüllt die zweite Bedingung nicht
• 

Einsetzen in die Geradengleichung des Sonnenlichts liefert: Ein möglicher Wert für ist also beispielsweise Die zugehörigen Koordinaten des Punkts, der das Loch im Vordach darstellt, lauten