Analysis 2.1 - Trainingsstrecke

Durch die Gleichung $f_a(x)$ $=(4 a-x)$ $\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2} x} ;$ $\;x \in \mathbb{R},$ $a \in \mathbb{R},$ $a \neq 0$ ist eine Funktionenschar $f_a$ gegeben. Die Graphen dieser Schar werden mit $G_a$ bezeichnet.

Die Schnittpunkte von $G_a$ mit den beiden Koordinatenachsen sind $S_x$ und $S_y$ . Ermittle die Koordinaten der Punkte $S_x$ und $S_y$ in Abhängigkeit von $a.$ Für jeden Wert von $a$ sind der Koordinatenursprung $O$ und die Schnittpunkte $S_x$ und $S_y$ die Eckpunkte eines Dreiecks. Zeige, dass für den Flächeninhalt dieser Dreiecke $A$ $=8 a^2$ gilt. Gib eine Zahl $a$ an, die keine rationale Zahl ist, so dass der beschriebene Flächeninhalt einen ganzzahligen Wert annimmt.

(5 BE)

Begründe ohne weitere Berechnungen unter Verwendung der Ableitungsfunktionen $\(f_a$ von $f_a$ mit $\(f_a$ $=\mathrm e^{\frac{1}{2} x}$ $\cdot\left(-1+2 a-\frac{1}{2} x\right)$ , dass alle Stellen, an denen eine Funktion $f_a$ monoton fallend ist, in einem zusammenhängenden Intervall liegen.

(3 BE)

Jeder Graph $G_a$ hat genau einen Extrempunkt $E_a$ .
Zeige, dass dieser Extrempunkt die $x$ -Koordinate $4a-2$ hat und berechne die zugehörige $y$ -Koordinate.

(3 BE)

Neben dem Extrempunkt $E_a$ hat jeder Graph $G_a$ auch genau einen Wendepunkt $W_a$ . Zeige, dass der Abstand der $x$ -Koordinaten von Extrempunkt und Wendepunkt stets gleich groß ist.

(5 BE)

Die Extrempunkte $E_a\left(4a-2 \mid 2 \mathrm e^{2a-1}\right)$ aller Graphen $G_a$ liegen auf dem Graphen einer Funktion $h.$ Der Graph $G_h$ ist in der Abbildung 1 dargestellt.
Zeige, dass diese Funktion $h$ die Gleichung $h(x)=2 \cdot \mathrm e^{\frac{1}{2} x}$ hat.

Abb. 1

(1 BE)

$G_a$ und $G_h$ schneiden sich für jedes $a$ in einem Punkt.
Begründe, dass die Größe des Schnittwinkels nur von der Steigung des Graphen von $h$ im Schnittpunkt abhängt.

(3 BE)

Formuliere zu den folgenden Gleichungen bzw. Ungleichungen, die sich auf den Funktionsgraphen $G_h$ aus Teilaufgabe e) beziehen, eine mögliche Extremwertaufgabe:

$d(x)=\sqrt{x^2+(h(x))^2}$
$\(d$
$\(d$

(2 BE)

Weise folgende Aussagen nach.

$\text{I}$

Für jedes $a$ verläuft die Gerade durch die beiden Achsenschnittpunkte des Graphen $G_a$ parallel zur Winkelhalbierenden des II. Quadranten.

$\text{II}$

Es gibt genau ein $a,$ sodass die Tangente an $G_a$ im Schnittpunkt mit der $y$ -Achse orthogonal zu der Geraden durch die beiden Achsenschnittpunkte verläuft.

(4 BE)

In Abbildung 2 ist der Graph $G_1$ der Funktion $f_1$ dargestellt. Auf $G_1$ gibt es im I. Quadranten einen Punkt $P,$ für den gilt: $P$ und der Koordinatenursprung $O$ sind die diagonal gegenüberliegenden Eckpunkte eines achsenparallelen Quadrats. Im II. Quadranten gibt es einen Punkt $Q$ auf $G_1.$ Der Punkt $Q$ und $O$ sind diagonal gegenüberliegende Eckpunkte eines weiteren achsenparallelen Quadrats. Skizziere diese beiden Quadrate in die Abbildung 2 ein. Berechne das Verhältnis der Umfänge der beiden Quadrate zueinander.

Trainingsstrecke - Brandenburg Abi 2023 LK

Abb. 2

(5 BE)

Auf $G_1$ gibt es einen Punkt $C$ im I. Quadranten, der bei Spiegelung an der $y$ -Achse einen Punkt $D$ mit $D \neq C$ erzeugt, der ebenfalls auf $G_1$ liegt. Bestimme die Koordinaten von $C.$

(3 BE)

Für einen Graphen $G_a$ existiert ein zur $y$ -Achse symmetrisches Dreieck, dessen Eckpunkte auf diesem Graphen liegen. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist bekannt.
Beschreibe unter Zuhilfenahme geeigneter Gleichungen, wie man den Parameterwert für diesen Graphen $G_a$ ermitteln kann.

(4 BE)

In einer Trainingshalle für Skiläufer ist eine Skipiste angelegt, auf der kurze Anstiege und Abfahrten trainiert werden können. Das Profil dieser Skipiste wird im Intervall $[-7; 0]$ durch den Graphen der Funktion $f_{0,5}$ modelliert. In den Intervallen $[0 ; 4]$ und $[4;5]$ erfolgt die Modellierung der Profilkurve durch zwei quadratische Parabeln. Dabei werden die Parabeln so gewählt, dass die Profilkurve keinen Knick hat. Der Boden der Trainingshalle wird in der gleichen Profilansicht durch die $x$ -Achse beschrieben. In der Abbildung 3 ist die Profilkurve der Skipiste skizziert. Es gilt: $1\;\text{LE}=5\;\text{m}.$

Abb. 3

Ein Skiläufer trainiert Abfahrten auf dem Streckenabschnitt, der durch $G_{0,5}$ modelliert wird. Berechne den Höhenunterschied in Metern über dem Intervall $[-7 ; 0].$

(2 BE)

Berechne die Größe der Querschnittsfläche der Skipiste im Intervall $[-7 ; 0]$ und gib diese in Quadratmetern an.

(3 BE)

Begründe, dass die Modellierung der Profilkurve im Intervall $[0 ; 5]$ nicht mit einer quadratischen Parabel anstelle von zwei quadratischen Parabeln möglich ist.

(3 BE)

Begründe, dass die Profilkurve der Skipiste im Intervall $[0 ; 4]$ durch eine Parabel mit der Gleichung $y$ $=a x^2$ $+c$ modelliert werden kann. Berechne die Werte für $a$ und $c$ unter der Bedingung, dass die Querschnittsfläche für den Teil der Wand im Intervall $[0 ; 4]$ eine Größe von $155\;\text{m}^2$ hat.

(4 BE)

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Koordinaten der Schnittpunkte ermitteln

$(4 a-x) \cdot \mathrm e^{\frac{1}{2} x}=0$

Da $\mathrm e^{\frac{1}{2} x}\neq0$ für jedes $x$ gilt, muss nach dem Satz des Nullprodukts $4 a-x=0$ sein, woraus $x=4a$ folgt. Somit gilt $S_x(4a\mid0 ).$

$f(0)=(4 a-0) \cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}\cdot 0}$ $=4a$

Die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_a$ mit der $y$ -Achse sind also $S_y(0\mid4a)$

Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen

$A$ $= \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$ $= \dfrac{1}{2}\cdot|4 a| \cdot|4 a|=8 a^2$

Für die irrationale Zahl $\sqrt{2}$ nimmt $A$ beispielsweise einen ganzzahligen Wert an.

Der Term für die erste Ableitung wird negativ, wenn der lineare Term in der Klammer negativ ist, denn $\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}$ ist immer positiv. Jede lineare Funktion mit einer Steigung $m \neq 0$ hat in einem zusammenhängenden Intervall negative Funktionswerte. Also ist für dieses Intervall $\(f_a$ das heißt die Funktion $f_a$ verläuft monoton fallend.

Einsetzen von $x=4a-2$ in $\(f$ und $f_a$ liefert mit Hilfe des CAS:

Rechenweg anzeigen

$\( f$

$f_a(4a-2)$ $=2$ $\cdot\mathrm e^{2a-1}$

Ableiten von $\(f$ mit Hilfe des CAS liefert:

$\( f$ $= \mathrm e^{\frac{1}{2} x}$ $\cdot\left(-\dfrac{1}{4} x+a-1\right)$

Notwendige Bedingung

$\(f_a$

Da $\mathrm e^{\frac{1}{2} x}\neq0$ für alle $x$ gilt, gilt nach dem Satz vom Nullprodukt genau dann $\(f$ wenn $-\dfrac{1}{4} x+a-1$ $=0.$ Es folgt:

Rechenweg anzeigen

$x_W = 4a-4$

Da nach Aufgabenstellung jeder Graph genau einen Wendepunkt $W_a$ hat, ist $x_W=4 a-4$ die Wendestelle. Für den Abstand der $x$ -Koordinaten von Extrem- und Wendepunkt gilt unabhängig von $a:$

$d$ $=\vert(4 a-2)-(4 a-4)\vert$ $=2\;[\text{LE}]$

$h(4 a-2)=2 \mathrm e^{\frac{1}{2} \cdot(4 a-2)}=2 \mathrm e^{2 a-1}$

Die Funktion $h$ hat die gegebene Gleichung, da alle Extrempunkte auf dem Graphen $G_h$ liegen.

Für jedes $a$ ist der Extrempunkt $E_{a}$ der Schnittpunkt zwischen $G_a$ und $G_h$ , da die Extrempunkte $E_a$ von $G_a$ auf $G_h$ liegen. Da der Graph $G_a$ im Extrempunkt $E_a$ eine Tangente mit der Steigung $m=0$ besitzt, hängt die Größe des Schnittwinkels nur von der Steigung des Graphen von $h$ im Schnittpunkt $E_a$ ab.

Mögliche Extremwertaufgabe: Ermittle den $x$ -Wert des auf dem Graphen von $h$ liegenden Punktes, für den der Abstand zum Koordinatenursprung minimal ist.

Aussage $\text{I}$

Für die Steigung der Geraden durch die beiden Koordinatenschnittpunkte $S_x$ und $S_y$ gilt:

$m$ $=\dfrac{4a-0}{0-4a}$ $=-1.$

Da die Steigung der Winkelhalbierenden des II. Quadranten ebenfalls $-1$ beträgt, verlaufen die Geraden parallel.

Aussage $\text{II}$

Auflösen von $-1+ 2a$ $\( = f$ $= 1$ nach $a$ mit Hilfe des CAS liefert:

$a=1$

Nur für $a=1$ hat die Steigung der Tangente an $G_a$ im Punkt $S_y$ den Wert $1$ und verläuft damit dort orthogonal zur Geraden aus Aussage $\text{I}.$

Für die Gleichungen $x_1$ $=f_1(x_1)$ bzw. $-x_2$ $=-f_1(-x_2)$ mit $x_{1 ; 2}\gt 0$ liefert der solve-Befehl des CAS die folgenden Seitenlängen $x_1$ bzw. $x_2$ der Quadrate:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx&3,376 \\[5pt] x_2&\approx&2,120 \end{array}$

Bei zwei Quadraten ist das Verhältnis der Umfänge gleich dem Verhältnis der Seitenlängen, somit liefert der Quotient $\frac{x_1}{x_2}$ das gesuchte Verhältnis der Umfänge der beiden Quadrate:

$\dfrac{x_1}{x_2}$ $\approx \dfrac{3,376}{2,120}$ $\approx \dfrac{8}{5}$

Die Gleichung $f_1(x)=f_1(-x)$ liefert den gesuchten Punkt $x.$ Auflösen nach $x$ mit Hilfe des CAS ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx&3,83 \\[5pt] x_2&\approx&-3,83 \end{array}$

Da der Punkt $C$ im I. Quadranten liegen soll, ist $x_1$ der gesuchte $x$ -Wert. In $f_1$ einsetzen liefert:

$f_1(3,83)$ $= (4-3,83)\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}\cdot3,83}$ $\approx 1,15$

Der Punkt $C$ hat somit die Koordinaten $C(3,83\mid1,15).$

Das zur $y$ -Achse symmetrische Dreieck hat die Eckpunkte $S_y(0 \mid 4 a)$ und die von $a$ abhängigen Punkte $A_a(x_a \mid f_a(x_a))$ und $B_a(-x_a \mid f_a(-x_a))$ , wobei $x_a\gt0$ die Gleichung $f_a(x)=f_a(-x)$ löst. Für den Flächeninhalt $A$ dieses Dreiecks folgt somit $A$ $= \dfrac{1}{2} \cdot G\cdot h$ $=\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot x_a$ $\cdot(4a-f_a(x_a))$ Der Parameterwert $a$ folgt dann durch Lösen dieser Gleichung.

$f_{0,5}(0)-f_{0,5}(-7) \approx \; 1,73\;[\text{LE}]$

Mit $1 \; \text{LE}=5 \; \text{m}$ folgt ein Höhenunterschied von ca. $8,65\; \text{m}.$

Berechnung des Integrals mit Hilfe des CAS liefert:

$\displaystyle\int_{-7}^{0} f_{0,5} \;\mathrm dx$ $= \displaystyle\int_{-7}^{0} (2-x)\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2} x} \;\mathrm dx$ $\approx 7,3 \;[\text{FE}]$

Aus $1 \; \text{LE}=5 \; \text{m}$ folgt $1 \; \text{FE}=25 \; \text{m}^2,$ somit hat die Querschnittsfläche der Skipiste im Intervall $[-7;0]$ eine Größe von ca. $7,3 \cdot 25 \approx 183\;[\text{m}^2].$

Da die Profilkurve bei $x=0$ und $x=5$ eine waagerechte Tangente besitzt, muss im Intervall $[0;5]$ ein Wechsel von einer Rechtskrümmung zu einer Linkskrümmung erfolgen. Mit lediglich einer quadratischen Parabel ist dies nicht möglich.

Aus der Abbildung folgt, dass die Änderung der Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung an der Stelle $x=4$ erfolgt, somit kann die Skipiste im Intervall $[0;4]$ durch eine Parabel mit der Gleichung $y$ $=a x^2+b x+c$ modelliert werden. Dafür muss der Scheitelpunkt die Koordinaten $(0\mid2)$ haben:

$\begin{array}[t]{rll} y(0)&=&2 \\[5pt] a\cdot 0^2+b\cdot 0+c&=&2 \\[5pt] c&=&2 \end{array}$

Für die Ableitung der Parabel gilt $\(y$ $=2ax+b.$

$\(\begin{array}[t]{rll} y$

Somit folgt $c=2$ und $b=0.$

Mit $y=ax^2+2$ ergibt sich dann durch Berechnung des Integrals mit Hilfe des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} 25\cdot \displaystyle\int_0^4(a x^2+2)\mathrm dx&=&155 \\[5pt] 25\cdot \left(\dfrac{64}{3} a+8\right)&=&155 \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt dann für $a:$

$a = -\dfrac{27}{320}$

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