Aufgabe 2.2

Gegeben sind die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=\frac{1}{a}x^3+3x^2+5x+2a;$ $x\in \mathbb{R},$ $a\in \mathbb{R},$ $a\neq 0$ und die Funktion $h$ it $h(x)=-\frac{1}{2}\cdot x^{-3};$ $x\in \mathbb{R},$ $x\neq 0.$
Die zugehörigen Graphen sind $G_a$ und $K.$

Gib die für den Graphen $K$ vorliegende Symmetrie an und begründe diese.
Bestimme das Verhalten der Funktionswerte von $h$ für $x \to +\infty.$ Begründe, dass es keine reelle Zahl $a$ gibt, so dass gilt:

$\lim\limits_{x\to\infty}h(x)=\lim\limits_{x\to\infty}f_a(x).$

(6 BE)

Die Tangente an $K$ im Punkt $P(-1\mid h(-1))$ und die beiden Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck.
Ermittle den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

(5 BE)

Begründe, dass der Graph $K$ keine lokalen Extrempunkte besitzt.

(2 BE)

Ermittle die Koordinaten von zwei Punkten des Graphen $G_2,$ in denen die Tangenten an den Graphen $G_2$ den Anstieg $m=1,5$ haben.

(6 BE)

Es gibt einen Wert des Parameters $a,$ für den der Graph $G_a$ genau einen Punkt mit waagerechter Tangente besitzt.
Bestimme diesen Parameterwert. Erläutere, wie du nachweisen könntest, dass der Graph $G_a$ für diesen Parameterwert einen Sattelpunkt besitzt.

(8 BE)

Ein Gartenbesitzer hat sich in einer Ecke seines Gartens einen Teich angelegt. Der Rand dieses Teiches an der Wasseroberfläche wird durch Teile der Graphen $G_2$ und $K$ modelliert. Im Intervall $− 3 \leq x \leq − 2$ verläuft eine Brücke über den Teich, $1\,\text{LE}=1\,\text{m}.$
In der nebenstehenden Darstellung sind die Teichoberfläche und die Brücke senkrecht von oben betrachtet dargestellt.

Abb. 1

Ermittle die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen $G_2$ und $K.$ Runde die Werte auf zwei Nachkommastellen.
Der Gartenteich wird kurzzeitig durch eine rechteckige Plane abgedeckt. Die Seiten dieser Plane liegen parallel zu den Koordinatenachsen. Berechne die Seitenlängen, die diese Plane mindestens haben muss.

(9 BE)

Wenn genau senkrecht zur Teichoberfläche Licht auf den Gartenteich fällt, entsteht durch die Brücke ein Schatten, der zum Teil auf der Wasseroberfläche liegt.
Berechne die Größe der Wasseroberfläche, die in diesem Fall im Schatten liegt.

(3 BE)

Die über den Teich führende Brücke soll in einem neuen $x-y$ -Koordinatensystem modelliert werden durch eine ganzrationale Funktion 4. Grades, die symmetrisch zur $y$ -Achse verläuft.
Die Brücke hat eine Spannweite von $4$ Metern und ist in der Mitte $0,5$ Meter hoch (über der $x$ -Achse). An den beiden Enden hat die Brücke einen Steigungswinkel von $45^{\circ}$ (bzw. $- 45^{\circ}$ ).
Ermittle die Gleichung der Parabel.

(6 BE)

Für einen Grillplatz hat der Gartenbesitzer eine Fläche in seinem Garten betoniert.
Der Koordinatenursprung ist im Modell der Punkt der betonierten Fläche, der den geringsten Abstand zum Teichrand hat.
Ermittle diesen Abstand.

(5 BE)

(50 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Symmetrie angeben und begründen

$\begin{array}[t]{rll} h(-x)&=&-\frac{1}{2}\cdot (-x)^{-3} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot x^{-3} \\[5pt] &=& -h(x) \\[5pt] \end{array}$

Es gilt also $h(-x)=-h(x).$ Damit ist der Graph von $h,$ also $K,$ punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

$\blacktriangleright$ Verhalten der Funktionswerte bestimmen

$h(x)$ lässt sich wie folgt umformen:

$h(x)= -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^3}$

Für $x\to +\infty$ gilt $\frac{1}{x^3}\to 0.$ Insgesamt gilt daher $h(x)\to 0$ für $x\to +\infty.$

$\blacktriangleright$ Begründen, dass es keinen passenden Parameterwert gibt

Für jeden Wert von $a\in \mathbb{R}$ mit $a\gt 0$ gilt:

$\frac{1}{a}x^3\to \infty$ für $x\to \infty.$

Für jeden Wert von $a\in \mathbb{R}$ mit $a\lt 0$ gilt:

$\frac{1}{a}x^3\to -\infty$ für $x\to \infty.$

Da dies für den Summanden des Funktionsterms mit dem größten Exponenten gilt, gilt dies für den gesamten Funktionsterm. Es gibt also keinen Wert für $a,$ für den $\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f_a(x)$ ist, da $\lim\limits_{x\to+\infty}h(x) = 0$ ist.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks ermitteln

1. Schritt: Tangentengleichung aufstellen

Für die Steigung der Tangente folgt mithilfe des Ableitungsbefehls deines CAS:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

$\begin{array}[t]{rll} m_t&=& h‘(-1) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& \frac{3}{2}\cdot (-1)^{-4} \\[5pt] &=&\frac{3}{2} \end{array}$

Für den Funktionswert an der Stelle $x=-1$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} t(-1)&=& h(-1) \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \end{array}$

Eine Punktprobe liefert für den $y$ -Achsenabschnitt $b_t$ der Tangente:

$b_t=2$

Vollständige Lösung anzeigen

Eine Gleichung der Tangente an $K$ im Punkt $P$ lautet also $t(x)= \frac{3}{2}x+2.$

2. Schritt: Längen berechnen

Das Dreieck besitzt im Koordinatenursprung einen rechten Winkel. Eine der beiden Katheten ist $2\,\text{LE}$ lang. Die zweite Kathetenlänge kann über die Nullstelle der Tangente bestimmt werden. Die Gleichung kannst du auch mit dem solve-Befehl deines CAS lösen.

$x= -\frac{4}{3}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die zweite Kathete ist $\frac{4}{3} \,\text{LE}$ lang.

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3} \cdot 2 \\[5pt] &=& \frac{4}{3} \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks, das die Tangente an $K$ im Punkt $P$ mit den Koordinatenachten einschließt, beträgt $\frac{4}{3} \,\text{FE}.$

$\blacktriangleright$ Begründen, dass es keine lokalen Extrempunkte gibt

Für die erste Ableitungsfunktion von $h$ gilt: $h‘(x)= \frac{3}{2}x^{-4}.$ Diese besitzt keine Nullstelle. Es gibt also keine Stelle $x,$ für die das notwendige Kriterium für lokale Extremstellen $h‘(x)=0$ erfüllt ist. Der Graph von $h$ kann also keine lokale Extremstelle besitzen.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Punkte nachweisen

Die Steigung des Graphen $G_2$ wird durch die erste Ableitungsfunktion $f_2‘$ beschrieben. Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 1,5&=& f_2‘(x) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1&=& \frac{-6- \sqrt{15}}{3} \\[5pt] &\approx& -3,29\\[5pt] x_2&=& \frac{-6+ \sqrt{15}}{3} \\[5pt] &\approx& -0,71 \end{array}$

Für die $y$ -Koordinaten folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f(-3,29)&\approx& 2,22 \\[5pt] f(-0,71)&\approx& 1,78 \\[5pt] \end{array}$

In den beiden Punkten $Q(-3,29\mid 2,22)$ und $R(0,71\mid 1,78)$ besitzt der Graph $G_2$ die Steigung $m=1,5.$

$\blacktriangleright$ Parameterwert bestimmen

Eine waagerechte Tangente besitzt der Graph $G_a$ an den Stellen $x,$ an denen $f_a‘(x)=0$ gilt. Mit dem Ableitungs- und dem solve-Befehl des CAS kannst du diese Gleichung lösen.

$x_{1/2} = ...$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Gleichung $f_a‘(x)=0$ hat genau eine Lösung, wenn der Radikand, also der Wert unter der Wurzel, Null ist:

$a =\frac{5}{3}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $a=\frac{5}{3}$ besitzt $G_a$ genau einen Punkt mit waagerechter Tangente.

$\blacktriangleright$ Nachweis für einen Sattelpunkt erläutern

Bei einem Sattelpunkt handelt es sich um einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Ich könnte also nachweisen, dass die notwendige Bedingung, $f_a‘‘(x)=0$ und die hinreichende Bedingung $f_a‘‘‘(x)\neq 0$ zusätzlich zur waagerechten Tangente erfüllt sind, indem ich die jeweiligen Funktionswerte berechne.

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Schnittpunkte ermitteln

Mit dem solve-Befehl deines CAS kannst du die $x$ -Koordinaten bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} f_2(x)&=& h(x) &\quad \scriptsize \mid\;CAS\\[5pt] x_1&\approx& -4,00 \\[5pt] x_2&\approx& -0,64 \end{array}$

Für die $y$ -Koordinaten folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f_2(-4,00)&\approx& 0,00 \\[5pt] f_2(-0,64)&\approx& 1,90 \end{array}$

Die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_2$ und $K$ lauten $P_1(-4,00\mid 0,00)$ und $P_2(-0,64\mid 1,90).$

$\blacktriangleright$ Seitenlängen der Plane berechnen

Die Länge der Seite der Plane, die parallel zur $x$ -Achse liegt, ergibt sich über die Differenz der Beträge der $x$ -Koordinaten der beiden Schnittpunkte von $K$ und $G_2:$

$a= 4,00 -0,64 = 3,36$

Die obere Begrenzung der Plane verläuft entlang der $y$ -Koordinate des höchsten Punkts von $G_2$ oder $K.$ Analog dazu verläuft die untere Begrenzung der Plane entlang der $y$ -Koordinate des tiefsten Punkts von $G_2$ oder $K.$

1. Schritt: Kleinsten und Größten Funktionswert berechnen

Du kannst jeweils den kleinsten und größten Funktionswert von $h$ und $f_2$ mit dem fMin- bzw fMax-Befehl deines CAS bestimmen.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

Mit dem fMin- bzw. fMax-Befehl erhältst du die Stelle $x\in[-4,00;-0,64],$ an der der Funktionswert von $f_2$ bzw. $h$ am kleinsten bzw. größten ist.

$\text{fMin(f_2(x),x,-4.00,-0.64)}$ bzw. $\text{fMax(f_2(x),x,-4.00,-0.64)}$

$x_{h_{\text{min}}} \approx -4,00$

$x_{h_{\text{max}}} \approx -0,64$

$x_{f2_{\text{min}}} \approx -4,00$

$x_{f2_{\text{max}}} \approx -2,8165$

Die zugehörigen Funktionswerte lassen sich ebenfalls mit dem CAS berechnen:

$\begin{array}[t]{lll} h(-4,00)&=& f_2(-4,00)\\[5pt] &\approx& 0,00 \\[5pt] h(-0,64)&\approx& 1,90 \\[5pt] f_2(-2,8165)&\approx& 2,54 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Mit dem fMin- bzw. fMax-Befehl erhältst du den kleinsten bzw. größten Funktionswert von $f$ im angegebenen Intervall und die zugehörige Stelle $x_{\text{min}}$ bzw. $x_{\text{max}}$ .

$\text{fMin(f_2(x),x,-4.00,-0.64)}$ bzw. $\text{fMax(f_2(x),x,-4.00,-0.64)}$

$h(x_{h_{\text{min}}}) \approx 0,00$

$h(x_{h_{\text{max}}}) \approx 1,90$

$f_2(x_{f2_{\text{min}}}) \approx 0,00$

$f_2(x_{f2_{\text{max}}}) \approx 2,54$

2. Schritt: Zweite Seitenlänge berechnen

Die zweite Seitenlänge der Plane muss also $2,54-0=2,54$ betragen.

Die Plane hat mindestens die Seitenlängen $3,36\,\text{m}$ und $2,54\,\text{m}.$

$\blacktriangleright$ Größe der Schattenfläche berechnen

Es wird genau der Teil der Wasseroberfläche vom Schatten bedeckt, der direkt senkrecht unter der Brücke liegt. Der Flächeninhalt kann also mithilfe eines Integrals über die Differenzenfunktion $f_2-h$ berechnet werden:

$A\approx 2,3$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Teil der Wasseroberfläche, der im Schatten liegt, ist ca. $2,3\,\text{m}^2$ groß.

$\blacktriangleright$ Parabelgleichung ermitteln

Die Brücke soll durch eine ganzrationale Funktion $4.$ Grades modelliert werden, deren Graph symmetrisch zur $y$ -Achse ist. Ihr Funktionsterm hat daher folgende Form:

$p(x)= ax^4 +bx^2+c$

Es gelten folgende Bedingungen:

Die Brücke ist $0,5$ Meter hoch. Es ist also $p(0)=0,5.$ Daraus folgt direkt $c=0,5.$

Die Brücke hat eine Spannweite von $4$ Meter, es muss also $p(-2)=p(2)=0$ sein.

An beiden Enden hat die Brücke einen Steigungswinkel von $45^{\circ}$ bzw. $-45^{\circ},$ was einem Steigungswert von $1$ bzw. $-1$ entspricht. Es muss also gelten: $p‘(-2)=1$ bzw. $p‘(2)=-1.$

Für die erste Ableitungsfunktion von $p$ gilt:

$p‘(x)= 4ax^3+2bx$

Es ergibt sich also folgendes Gleichungssystem.

$c= 0,5$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit dem solve-Befehl deines CAS erhältst du:

$\begin{array}{lrll} a&=& -\frac{1}{32} \\ b&=& 0 \\ c&=& 0,5 \\ \end{array}$

Für die Funktionsgleichung der Parabel folgt:

$p(x)= -\frac{1}{32} x^4+0,5.$

$\blacktriangleright$ Geringsten Abstand bestimmen

Der gesuchte Abstand entspricht dem minimalen Abstand vom Koordinatenursprung zum Graphen $K.$ Dieser kann mithilfe der Abstandsformel mit folgender Funktion beschrieben werden:

$d(x) = \sqrt{(h(x)-0)^2 +(x-0)^2}$

Mit dem fMin-Befehl deines CAS erhältst du die $x$ -Koordinate des Punkts $M$ auf $K,$ der zum Koordinatenursprung den geringsten Abstand hat und den Abstand:

$x_M\approx -0,96$ und $d(-0,96)\approx 1,11$

Der geringste Abstand vom Grillplatz zum Gartenteich beträgt ca. $1,11\,\text{m}.$