Aufgabe 3.2

Die Punkte $A(-2\mid 2\mid -1),$ $B(1\mid 2\mid 2),$ $C(2\mid -2\mid 1)$ und $D(-1\mid -2\mid -2)$ sind in dieser Reihenfolge Eckpunkte eines Quadrates, das in der Ebene $E$ liegt.

Gib eine Parametergleichung der Ebene $E$ an.

(2 BE)

Ein vom Punkt $R_a(- 6|2a-4|6)$ in Richtung des Vektors $\overrightarrow{v}=\pmatrix{1\\3\\-1}$ verlaufender geradliniger Laserstrahl trifft genau im Mittelpunkt $M$ des Quadrates $ABCD$ auf die Ebene $E.$ Ermittle $a.$
Bestimme die Größe des Winkels, den der Laserstrahl und die Diagonale $AC$ des Quadrates einschließen.

(6 BE)

Beschreibe die Lagebeziehung des Punktes $P$ zum Quadrat $ABCD,$ dessen Ortsvektor durch die Gleichung $\overrightarrow{OP}= \overrightarrow{OA}+ \dfrac{3}{\left|\overrightarrow{AB} \right|}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ dargestellt wird.

(2 BE)

(10 BE)

$\blacktriangleright$ Parametergleichung angeben

$E:\, \overrightarrow{x}=$ $\pmatrix{-2\\2\\-1} + r\cdot \pmatrix{3\\0\\3}+s\cdot \pmatrix{4\\-4\\2}$

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$\blacktriangleright$ Parameterwert ermitteln

1. Schritt: Koordinaten des Mittelpunkts bestimmen

Der Mittelpunkt eines Quadrates ist auch der Mittelpunkt der beiden Diagonalen, also insbesondere der Diagonalen $AC.$ Mit der Formel für den Mittelpunkt einer Strecke folgt:

$\overrightarrow{OM}= \pmatrix{0\\0\\0}$

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2. Schritt: Geradengleichung aufstellen

Die Gerade, entlang derer der Laserstrahl verläuft, kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

$g_a: ...$

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3. Schritt: Parameterwert bestimmen

$a$ muss so gewählt werden, dass $M$ auf der Geraden $g_a$ liegt:

$\pmatrix{0\\0\\0}= ...$

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Aus der ersten und dritten Zeile folgt, dass $t=6$ gelten muss. Für die zweite Zeile der Gleichung gilt damit:

$a= -7$

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$\blacktriangleright$ Winkelgröße bestimmen

Ein Richtungsvektor des Laserstrahls ist $\overrightarrow{v}.$ Ein Richtungsvektor der Diagonale $AC$ ist $\overrightarrow{AC}.$ Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden folgt daher:

$\phi\approx 59,83^{\circ}$

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Der Winkel, den der Laserstrahl und die Diagonale $AC$ einschließen, ist ca. $59,83^{\circ}$ groß.

$\blacktriangleright$ Lagebeziehung beschreiben

Abb. 1: Skizze

Der Weg zum Punkt $P$ startet im Punkt $A.$ Der Faktor $\frac{1}{\left|\overrightarrow{AB} \right|}$ normiert den Vektor $\overrightarrow{AB}$ auf die Länge $1.$ Der Punkt $P$ entsteht also aufgrund des Faktors $3$ durch Verschiebung des Punktes $A$ um drei Längeneinheiten entlang des Vektors $\overrightarrow{AB}$ und anschließender Verschiebung entlang des Vektors $\overrightarrow{AD}.$ $P$ liegt also auf der Seite $DC$ des Quadrats, da $\left| \overrightarrow{AB}\right| =\left| \overrightarrow{CD}\right| \geq 3$ ist, und ist dabei $3$ Längeneinheiten von $D$ entfernt.

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