Analysis 2.2 - Flugzeugflügel

Analysis: Flugzeugflügel

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x)= (-ax^2 +2x)\cdot \mathrm e^{-ax};$ $a\in \mathbb{R},$ $a\gt 0.$

Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

Berechne die Nullstellen der Funktion $f_a$ in Abhängigkeit von $a.$

(2 BE)

Gib das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x \rightarrow + \infty$ und $x \rightarrow -\infty$ an.

(2 BE)

Ermittle die Art und die Lage der lokalen Extrempunkte von $G_a$ .

(zur Kontrolle: $x_1=\frac{-\sqrt{2}+2}{a};x_2= \frac{\sqrt{2}+2}{a}$ )

(5 BE)

Bestimme eine Gleichung der Kurve, auf der die Hochpunkte der Graphen $G_a$ liegen.

(2 BE)

Für die Stelle $x_0 = 30-10\sqrt{3}$ der Funktion $f_{0,1}$ gelten folgende Bedingungen:

$\(f_{0,1}$
$\(f_{0,1}$

Gib die Bedeutung der Stelle $x_0$ an.

(1 BE)

Weiterhin wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)= -\frac{3}{4}x\cdot \mathrm e^{-0,1x}$ betrachtet. Der Graph von $h$ wird mit $H$ bezeichnet.

Die Graphen $G_{0,1}$ und $H$ schneiden sich in den Punkten $S_1(0\mid 0)$ und $S_2(\frac{55}{2}\mid -\frac{165}{8}\cdot \mathrm e^{-2,75} ).$
Entscheide, welcher dieser Punkte Schnittpunkt aller Graphen $G_a$ mit $H$ ist.
Begründe deine Entscheidung.

(2 BE)

Die Funktion $h$ besitzt folgende Eigenschaften:

$\lim\limits_{x\to+\infty} h(x)=0;$ $\lim\limits_{x\to-\infty} h(x)=+ \infty$
$\(h$

Begründe mithilfe einer Skizze, dass der Graph $H$ einen Wendepunkt besitzt.

(3 BE)

Der Graph einer Funktion $h^*$ geht aus dem Graphen $H$ hervor. Es gilt:

der Graph $H$ wurde an beiden Koordinatenachsen gespiegelt und
der gespiegelte Graph $H$ wurde danach so verschoben, dass gilt: $\lim\limits_{x\to-\infty} h^*(x)=1.$

Gib eine Funktionsgleichung von $h^*$ an.

(3 BE)

An den Graphen $H$ wird im Schnittpunkt mit der $x$ -Achse eine Tangente $t$ gelegt.
Die Tangente $t$ schließt mit der $x$ -Achse und der Geraden $x=b_1$ mit $b_1 \in \mathbb{R},$ $b \gt 0$ eine Fläche von $A_1= \frac{75}{2} \,\text{FE}$ ein.
Bestimme $b_1$ .

(zur Kontrolle: $t(x)= - \frac{3}{4}x$ )

(3 BE)

Die Tangente $t$ aus der Teilaufgabe $i)$ , die $x$ -Achse und die Gerade $x=b_2$ mit $b_2 \in \mathbb{R}, b_2 \gt 0$ begrenzen vollständig eine Fläche $A_2$ .

Ermittle das Teilverhältnis der Strecken $\overline{S_1Q_2}:\overline{S_1Q_1},$ wenn gilt:
$Q_1(10 \mid 0), O_2(b_2 \mid 0)$ und $A_2 = \frac{1}{2} \cdot A_1.$

(3 BE)

Die Konstrukteure einer kleinen Firma haben einen neuartigen Flugzeugflügel entworfen. Dabei werden die Graphen der Funktionen $f_{0,1}$ und $h$ zwischen ihren Schnittpunkten $S_1$ und $S_2$ zur Modellierung des Querschnitts dieses Flugzeugflügels verwendet (vgl. Abbildung).
Es gilt: $1\,\text{LE} = 1\,\text{dm}.$

Diagramm zur Darstellung der Länge von Flugzeugflügeln mit Verbindungslinien zwischen Punkten.

Für die Konstruktion des Flugzeugflügels müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

(I)

Die Länge des Flugzeugflügels ist der horizontale Abstand zwischen $S_1$ und $S_2.$ Diese Länge beträgt $27,5\,\text{dm}.$

(II)

Die maximale vertikale Höhe des Flugzeugflügels lässt sich mithilfe der Differenzfunktion von $f_{0,1}$ und $h$ bestimmen. Sie darf $7,15\,\text{dm}$ nicht überschreiten.

(III)

Der Neigungswinkel zwischen Verbindungslinie $\overline{S_1S_2}$ und der Horizontalen soll kleiner als $7^{\circ}$ sein.

Prüfe, ob diese Bedingungen eingehalten wurden.

(8 BE)

Begründe ohne Rechnung, dass die Länge des Flugzeugflügels kürzer als die Verbindungslinie zwischen $S_1$ und $S_2$ ist.

(2 BE)

Die Richtung, aus der während einer bestimmten Phase des Fluges die Luft anströmt, kann modellhaft durch eine Gerade zwischen $S_1$ und einem Punkt $R(x_R \mid f_{0,1}(x_R))$ mit $x_R \lt 20$ angenommen werden. Im Punkt $R$ ändert der Graph von $f_{0,1}$ seine Krümmungsart.
Weise nach, dass die Größe des Winkels $\delta = \sphericalangle S_2S_1R$ nicht mehr als $18^{\circ}$ beträgt.

(5 BE)

In den Flugzeugflügel soll ein quaderförmiger Tank integriert werden. Die Querschnittsfläche des Tanks kann durch ein achsenparalleles Rechteck, dessen untere Seite auf der $x$ -Achse liegt, modelliert werden. Dieser Tank hat im Querschnitt die Maße $100 \,\text{cm} \,\text{x} \, 30 \,\text{cm}$ .
Stelle diesen Sachverhalt in einer Skizze dar.

Zeige rechnerisch, dass ein solcher Tank nicht in den Flugzeugflügel eingebaut werden kann.

(4 BE)

Vereinfachend kann angenommen werden, dass ein Teil eines Flugzeugflügels stets den abgebildeten Querschnitt und eine Tiefe von $2\,\text{m}$ besitzt.
Ein moderner Flugzeugflügel besteht zu ca. $53 \,\%$ aus carbonfaserverstärktem Kunststoff (CFK). CFK hat neben einer besseren Stabilität vor allem den Vorteil der Massereduktion durch eine geringere Dichte (ca. $1,5 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ ) als herkömmliche Stoffe wie Aluminium (ca. $2,7 \frac{\,\text{g}}{\,\text{cm}^3}$ ).
Bestimme für den beschriebenen Teil des Flugzeugflügels die benötigte Masse an CFK in $\text{kg}$ und die Massereduktion gegenüber der bisherigen Verwendung von Aluminium in $\text{kg}.$

(5 BE)

(50 BE)

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Flugzeugflügel

$f_a(x)=0$

$(-ax^2+2x)\cdot\mathrm{e}^{-ax}=0$

$\mathrm{e}^{-ax}$ kann für kein $x$ null ergeben.

$-ax^2+2x=0$
$ax^2=2x$

$x_1=0\quad x_2=\dfrac{2}{a}$

$\lim\limits_{x\to\infty}(-ax^2+2x)\cdot\mathrm{e}^{-ax}=0$

Da $\lim\limits_{x\to\infty}\mathrm{e}^{-ax}=0,$ verläuft die gesamte Funktion $f_a$ für $x\to\infty$ gegen 0.

$\lim\limits_{x\to-\infty}(-ax^2+2x)\cdot\mathrm{e}^{-ax}=-\infty$

$\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-ax}=+\infty$ und $\lim\limits_{x\to-\infty}(-ax^2+2x)=-\infty$

Somit verläuft $f_a$ für $x\to-\infty$ gegen $-\infty.$

Mit der Produktregel wird zunächst die Ableitung von $f_a$ gebildet:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\mathrm{e}^{-ax}\cdot(-4ax+a^2x^2+2)=0$
$e^{-ax}$ kann nicht null werden.

$-4ax+a^2x^2+2=0$
$x^2-\dfrac{4}{a}x+\dfrac{2}{a^2}=0$

$x_{1,2}=\dfrac{2}{a}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{a}\right)^2-\dfrac{2}{a^2}}$ $=\dfrac{2}{a}\pm\sqrt{\dfrac{2}{a^2}}$

Am Schaubild ist zu sehen, dass bei $x=\dfrac{2}{a}+\sqrt{\dfrac{2}{a^2}}$ einen Tiefpunkt und bei $x=\dfrac{2}{a}-\sqrt{\dfrac{2}{a^2}}$ einen Hochpunkt gibt.

Zunächst muss der Hochpunkt von $f_a$ bestimmt werden: $P_a\left(\dfrac{2}{a}-\sqrt{\dfrac{2}{a^2}}\mid y\right)$
$x=\dfrac{2}{a}-\sqrt{\dfrac{2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{a}$

Auf $a$ auflösen:
$a=\dfrac{\sqrt{2}}{x}$

Nun wird der $y$ -Wert berechnet:
$y=f_a\left(\dfrac{\sqrt{2}}{a}\right)=\dfrac{2\sqrt{2}-2}{a}\cdot \mathrm{e}^{-\sqrt{2}}$

Um die Gleichung der Ortskurve zu erhalten, muss nun $a$ in $y$ eingesetzt werden:
$y=\dfrac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}\cdot \mathrm{e}^{-\sqrt{2}}\cdot x$

An der Stelle $x_0$ ist die Ableitung zweiten Grades gleich null und die Ableitung dritten Grades ungleich null. Somit befindet sich am Graph an dieser Stelle ein Wendepunkt.

Der Punkt $S_1$ ist Schnittpunkt aller Graphen der Funktion $f_a$ mit dem Graph $H$ . Es gilt:

$f_a(0)=0$ unabhängig von $a.$

Graph einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen.

Der Graph $H$ ist bis zum Tiefpunkt monoton fallend. Danach steigt er monoton an. Da sich der Graph für $x\rightarrow\infty$ null annähert, muss er in einem Wendepunkt seine Krümmung wechseln.

Zunächst wird der Graph an der $x$ -Achse gespiegelt:

$-h(x)=\dfrac{3}{4}x\cdot\mathrm{e}^{-0,1x}$

Nun zusätzlich an der $y$ -Achse:

$-h(-x)=-\dfrac{3}{4}x\cdot\mathrm{e}^{0,1x}$

Damit $\lim\limits_{x\to-\infty}h^*(x)=1$ gilt, muss der gespiegelte Graph um eine Längeneinheit nach oben verschoben werden:

$h^*(x)=-\dfrac{3}{4}x\cdot\mathrm{e}^{0,1x}+1$

$\(h$

Für die Tangentengleichung $t(x)$ am Ursprung gilt: $t(x)=-\dfrac{3}{4}x$

$A_1=\,\bigg \vert \,\displaystyle\int_{0}^{b_1}-0,75x\;\mathrm dx\,\bigg \vert \,$ $= \,\bigg \vert \,\left[-\dfrac{0,75}{2}x^2\right]^{b_1}_0\,\bigg \vert \,=\dfrac{0,75}{2}b_1^2$

$A_1=\dfrac{75}{2}$

$\dfrac{0,75}{2}b_1^2=\dfrac{75}{2}$

$b_1^2=100$
$b_1=10\quad{b_2=-10}$

$b_2$ fällt weg, da $b_1>0.$ Also: $b_1=10$

$A_2=A_1\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{75}{4}$
$A_2=\,\bigg \vert \,\displaystyle\int_{0}^{b_2}-0,75x\;\mathrm dx\,\bigg \vert \,$ $= \,\bigg \vert \,\left[-\dfrac{0,75}{2}x^2\right]^{b_2}_0\,\bigg \vert \,=\dfrac{0,75}{2}b_2^2$
$\dfrac{1,5}{4}b_1^2=\dfrac{75}{4}$

$b_2^2=50$
$b_1=-\sqrt{50}\quad{b_2=+\sqrt{50}}$
$b_1$ fällt weg, da $b_2>0.$ Also: $b_2=+\sqrt{50}$

$\overline{S_1Q_2}=50\quad\overline{S_1Q_1}=10$

Somit beträgt das Verhältnis $\overline{S_1Q_2}$ : $\overline{S_1Q_1}$ $5:1.$

Bedingung 1:
Aus Aufgabe f können die Schnitstellen $x_1=0$ und $x_2=\dfrac{55}{2}$ entnommen werden.
$\dfrac{55}{2}-0=27,5\;\text{[dm]}$
Bedingung 1 ist somit erfüllt.

Bedingung 2:
Es müssen die Koordinaten des Hochpunkts der Differenzfunktion $d(x)=f_{0,1}(x)-h(x)$ bestimmt werden.

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menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

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Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

$H(6,75\mid7,13)$

Der Flügel hat eine maximale vertikale Höhe von $7,13\;\text{dm}.$
Somit ist Bedingung 2 ebenfalls erfüllt.

Bedingung 3:

$S_1(0\mid0)\quad S_2(27,5\mid-1,32)$

$\tan(\alpha)=\dfrac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\dfrac{1,32}{27,5}$

$\alpha=2,75°$

Somit ist auch Bedingung 3 erfüllt.

Die Verbindungsstrecke der beiden Punkte ist länger, da sie sich sowohl in $x$ -Richtung, als auch in $y$ -Richtung erstreckt. Die Verbindsungslinie entspricht der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Hypotenuse ist immer die längste Strecke im Dreieck.

Gesucht wird nach dem Wendepunkt. Dieser kann durch die Nullstelle der zweiten Ableitung von $f_{0,1}$ bestimmt werden.

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menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

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keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

Im Bereich $x_R <20$ existiert folgender Wendepunkt:

$R(12,68\mid2,61)$

Um den Winkel $\delta$ zu berechnen, müssen der Neigungswinkel $\alpha$ der Strecke $\overline{S_1S_2}$ und der Neigungswinkel $\beta$ des Punktes $R$ addiert werden:

$\delta=\alpha+\beta\quad\alpha=2,75°$
$\beta=\arctan\left(\dfrac{2,61}{12,68}\right)=11,63°$

$\delta=2,75°+11,63°=14,38°$

Zunächst werden die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion $f(x)$ mit einer Geraden $n(x)=3$ bestimmt:

$Z_1(2,05\mid3)\quad{Z_2(11,73\mid3)}$

Nun wird die Länge der Strecke $\overline{Z_1Z_2}$ bestimmt:

$11,73-2,05=9,68$

Ein $100\;\text{cm}$ $(=10\;\text{dm})$ breites Rechteck passt somit nicht in die Querschnittsfläche des Flügels.

Zunächst wird der Flächeninhalt der Querschnittsfläche des Flügels bestimmt. Dazu wird die Differenzfunktion $d$ aus Teilaufgabe k) integriert. Als Grenzen werden die Schnittstellen der Funktionen $f_{0,1}$ und $h$ verwendet.

$A=\displaystyle\int_{0}^{27,5}d(x)\;\mathrm dx=105,37\;\text{[dm]}^2$

Nun wird das Volumen berechnet:

$V_{ges}= 105,37\;\text{[dm]}^2\cdot20\;\text{[dm]}$ $=2107,4\;\text{[dm]}^3$

Das CFK-Volumen beträgt:

$V_{CFK}=2107,4\;\text{[dm]}^3\cdot0,53$ $=1116,92\;\text{[dm]}^3$

Zuletzt wird die Masse berechnet:

$1\dfrac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}=1\dfrac{\text{kg}}{{\text{dm}}^3}$
$1116,92\;\text{dm}^3\cdot 1,5\dfrac{\text{kg}}{{\text{dm}}^3}=1675,38\;\text{kg}$

Somit werden $1675,38\;\text{kg}$ CFK benötigt.

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