Analytische Geometrie 3.1 - Pyramiden

Betrachtet werden die Pyramiden $ABCD_k$ mit $A(0\mid 0\mid 0)$ $B(4\mid 0\mid 0)$ , $C(0\mid 4\mid 0)$ und $D_k(0\mid 0\mid k)$ , wobei $0\lt k\leq 8$ gilt.
Die Abbildung 1 zeigt eine dieser Pyramiden.

Begründe, dass das Dreieck $BCD_k$ gleichschenklig ist.

(2 BE)

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Abb. 1

Der Mittelpunkt der Strecke $\overline {BC}$ ist $M(2\mid 2\mid 0)$ . Begründe, dass $\,\bigg \vert \, \overline {MD_k}\,\bigg \vert \,= \begin{vmatrix}\\ \pmatrix{-2\\-2\\k} \end{vmatrix}$ die Länge einer Höhe des Dreiecks $BCD_k$ ist.
Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks $BCD_k$ .

(3 BE)

Für jeden Wert von $k$ liegt die Seitenfläche $BCD_k$ in der Ebene $L_k$ .

Bestimme eine Gleichung von $L_k$ in Koordinatenform.

$\bigg($ Zur Kontrolle: $x+y+\dfrac{4}{k}\cdot z =4$ $\bigg )$

(4 BE)

Ermittle denjenigen Wert von $k$ , für den die Größe des Winkels, unter dem die $z$ -Achse die Ebene $L_k$ schneidet, $30^{\circ}$ beträgt.

(4 BE)

Die Punkte $U(0\mid 0\mid -1)$ , $B$ , $C$ und $D_8$ sind ebenfalls Eckpunkte einer Pyramide.
Ermittle, um wie viel Prozent das Volumen dieser Pyramide größer ist als das Volumen der Pyramide $ABCD_8$ .

(3 BE)

Bestimme den Abstand des Punktes $U(0\mid 0\mid -1)$ von der Ebene $L_8$ .

(2 BE)

Der Punkt $U$ wird an der Ebene $L_8$ gespiegelt. Ermittle die Koordinaten des Spiegelpunktes $\(U$ .

(4 BE)

Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte $A$ und $Q(1\mid 1\mid 3)$ sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen.
Für $k=6$ enthält die Seitenfläche $BCD_k$ der Pyramide den Eckpunkt $Q$ des Quaders.
Für kleinere Werte von $k$ schneidet die Seitenfläche $BCD_k$ den Quader in einem Vieleck.

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Abb. 2

Für einen Wert von $k$ verläuft die Seitenfläche $BCD_k$ durch die Eckpunkte $P$ und $R$ des Quaders. Bestimme diesen Wert von $k$ .

$\bigg($ Zur Kontrolle: $k=4$ $\bigg)$

(3 BE)

Bestimme für $k=4$ das Teilverhältnis, in dem der Punkt $P$ die Strecke $\overline {BD_4}$ teilt.

(2 BE)

Gib in Abhängigkeit von $k$ die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche $BCD_k$ den Quader schneidet.

(4 BE)

Nun wird die Pyramide $ABCD_6$ , d.h. diejenige für $k=6$ , betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader mit quadratischer Grundfläche einbeschrieben; der Punkt $A$ ist gemeinsamer Eckpunkt der Quader. Die Seitenflächen der Quader sind parallel zu den Koordinatenebenen. Die Höhe $h$ der Quader durchläuft alle Werte mit $0\lt h\lt 6$ . Für jeden Wert von $h$ liegt der Eckpunkt $Q_h$ in der Seitenfläche $BCD_6$ der Pyramide. Die Abbildung 3 zeigt einen dieser Quader.
Ermittle die Koordinaten des Punktes $Q_h$ in Abhängigkeit von $h$ .

(4 BE)

Abb. 3

Eine Ebene $T$ , die parallel zur $yz$ -Ebene liegt, schneidet die Pyramide $ABCD_6$ so, dass die beiden entstehenden Teilkörper das gleiche Volumen haben.
Ermittle die Stelle, an der die Ebene $T$ die $x$ -Achse schneidet.

(5 BE)

(40 BE)

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Die Dreicke $ABD_k$ und $ACD_k$ sind beide rechtwinklig und haben gleich lange Katheten. Folglich müssen auch ihre Hypothenusen gleich lang sein, die gerade den beiden Schenkel des Dreiecks $BCD_k$ entsprechen.

Höhe des Dreiecks begründen

Da das Dreieck $BCD_k$ mit der Grundseite $\overline{BC}$ gleichschenklig ist, ist die Höhe durch die Länge der Strecke zwischen dem Mittelpunkt von $\overline{BC}$ mit dem Punkt $D_k$ gegeben. Diese entspricht gerade $\mid \overline{MD_k} \mid.$

Flächeninhalt bestimmen

$\overline{BC}=\pmatrix{0-4\\4-0\\0-0}=\pmatrix{-4\\4\\0}$

Rechenweg anzeigen

$A=\dfrac{1}{2}\sqrt{32}\cdot \sqrt{8+k^2}$

Da die Ebene nicht durch den Ursprung verläuft, eignet sich die Darstellung $ax+by+cz=4$ für die Ebene $L_k.$

Einsetzen der Koordinaten des Punktes $B$ liefert $a=1.$

Einsetzten der Koordinaten des Punktes $C$ liefert $b=1.$

Einsetzten der Koordinaten des Punktes $D_k$ liefert die Gleichung $c\cdot k=4,$ also $c=\dfrac{4}{k}.$

Die Ebenengleichung ist also gegeben durch $L_k: x+y+\dfrac{4}{k}z=4.$

Die $z$ -Achse wird beschrieben durch $\overrightarrow{z}=\pmatrix{0\\0\\1}.$ Der Normalenvektor der Ebene $L_k$ lautet $\overrightarrow{n_{L_k}}=\pmatrix{1\\1\\\dfrac{4}{k}}.$ Für $k \gt 0$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(30^{\circ})&=& \dfrac{\mid \overrightarrow{z}\circ \overrightarrow{n_{L_k}} \mid}{\mid \overrightarrow{z}\mid \circ \mid \overrightarrow{n_{L_k}} \mid} \\[5pt] k&=&\sqrt{24} \end{array}$

Die Pyramide $UBCD_8$ kann in die Pyramiden $UABC$ und $ABCD_8$ aufgeteilt werden. Beide Pyramiden haben dann das Dreieck $ABC$ als Grundfläche.

Es gilt $\mid \overrightarrow{AU}\mid =1$ und $\mid \overrightarrow{AD_8} \mid=8.$ Die Pyramide $UBCD_8$ hat also ein um $\dfrac{1}{8}=12,5\,\%$ größeres Volumen als die Pyramide $ABCD_8.$

Der Abstand kann mithilfe der hesseschen Normalform berechnet werden.

$\overrightarrow{n_{L_k}}=\pmatrix{1\\1\\\dfrac{1}{2}}$

$\mid \overrightarrow{n_{L_8}} \mid=\sqrt{2+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$

$L_8:\dfrac{2}{3}\cdot \left(x+y+\dfrac{1}{2}z-4\right)=0$

$d(L_8;U)$ $=\dfrac{2}{3}\cdot \left| 1\cdot 0+1\cdot 0 +\dfrac{1}{2}\cdot (-1)-4\right|$ $=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{9}{2}=3$

Der Abstand von der Ebene $L_8$ zum Punkt $U$ beträgt $3\,\text{LE}.$

Die Lotgerade durch den Punkt $U$ und die Ebene $L_8$ ist gegeben durch $l: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\0\\-1}+t\cdot \pmatrix{1\\1\\\dfrac{1}{2}}.$

Der Schnittpunkt von $l$ mit $L_8$ lässt durch Einsetzen der Koordinaten in die Ebenengleichung bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} t+t+\dfrac{1}{2}\left(-1+\dfrac{t}{2}\right)&=& 4 \\[5pt] -\dfrac{1}{2}+\dfrac{9t}{4}&=& 4 \quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{1}{2} \\[5pt] \dfrac{9t}{4}&=& \dfrac{9}{2} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{4}{9} \\[5pt] t&=& 2 \end{array}$

$\(\overrightarrow{OU$

Der Punkt $\(U$ hat die Koordianten $\(U$

Einsetzen der Koordinaten des Punktes $P(1\mid 0 \mid 3)$ in $L_k$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 1\cdot1+1\cdot 0 +\dfrac{4}{k}\cdot 3&=& 4 \\[5pt] 1 +\dfrac{12}{k}&=& 4 \quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] \dfrac{12}{k}&=& 3 \quad \scriptsize \mid\;\cdot k \\[5pt] 12&=& 3k \quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] 4&=& k \\ k&=& 4 \end{array}$

Der Punkt $P$ hat die $z$ -Koordinate $3,$ der Punkt $D_4$ hat die $z$ -Koordinate $4.$ Damit teilt der Punkt $P$ die Strecke $\overline{BD_4}$ im Verhältnis $3:1.$

Aus den vorherigen Teilaufgaben ist bekannt:

Für $k=6$ schneidet die Ebene den Quader in genau einem Punkt, für $k\gt 6$ also in keinem Punkt
Für $k=4$ schneidet $BCD_k$ den Quader in den Punkten $P$ und $R$

Außerdem schneidet die Ebene $L_k$ den Punkt mit den Koordinaten $(0\mid 0 \mid 3)$ für $k=3:$

$\begin{array}[t]{rll} 1\cdot 0+1\cdot 0+\dfrac{4}{k}\cdot 3&=& 4 \\[5pt] \dfrac{12}{k}&=& 4 \quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{k}{4} \\[5pt] 3&=& k \\[5pt] k&=& 3 \end{array}$

Damit lässt sich für die Anzahl an Eckpunkten in Abhängigkeit von $k$ folgern:

$4\leq k \lt 6:$ drei Eckpunkte
$3\lt k\lt4:$ fünf Eckpunkte
$0\lt k \leq 3:$ vier Eckpunkte

Der Punkt $Q_h$ liegt auf der Strecke $\overline{MD_6}$ und hat die $z$ -Koordiante $z=h.$ Die Strecke $\overline{MD_6}$ liegt auf der Geraden mit folgender Gleichung:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{x}=\pmatrix{2\\2\\0}+t\cdot \pmatrix{-2\\-2\\6}$

Damit ein Punkt auf dieser Geraden die $z$ -Koordinate $z=h$ hat, muss $t=\dfrac{h}{6}$ gelten. Damit gilt für die restlichen Koordinaten $x=y=2-\dfrac{h}{3}.$

Die Koordinaten des Punktes $Q_h$ lauten $Q_h\left(2-\dfrac{h}{3} \left| 2-\dfrac{h}{3} \right| h\right).$

Es bezeichnet $f$ den Abstand des Schnittpunkts von $T$ mit der $x$ -Achse und dem Punkt $B.$ Die Ebene $T$ schneidet die Strecke $\overline{BD_6}$ dann bei $z=\dfrac{6}{4}f$ und die Strecke $\overline{BC}$ bei $y=f.$

Das Volumen der abgetrennten Pyramide lässt sich damit wie folgt berechnen:

Grundseite: $G=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{6}{4}f\cdot f=\dfrac{3}{4}\cdot f^2$
Höhe: $h=f$

$V_a=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot f^2 \cdot f= \dfrac{1}{4}f^3$

Das Volumen der gesamten Pyramide ist gegeben durch $V_P=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot 6=16.$

Es muss also gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{4}f^3 &=& \dfrac{1}{2}\cdot 16 \quad \scriptsize \mid\; \cdot 4 \\[5pt] f^3 &=& 32 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{} \\[5pt] f &\approx& 3,2 \end{array}$

Damit lässt sich der gesuchte Wert von $x$ berechnen:

$x=4-3,2=0,8$

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