Stochastik 4.2 - Ausflugsschiff

Ausflugsschiff

Ein Unternehmen organisiert Fahrten mit einem Ausflugsschiff.

Betrachtet wird zunächst eine Fahrt, bei der das Schiff mit $60$ Fahrgästen voll besetzt ist.
Zu Beginn der Fahrt werden drei Fahrgästen zufällig ausgewählt; diese erhalten jeweils ein Freigetränk.

Ermittle die Anzahl möglicher Dreiergruppen, die sich bei der Auswahl ergeben können.

(2 BE)

Zwei Drittel der Fahrgästen kommen aus Deutschland, die übrigen aus anderen Ländern.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei ausgewählten Fahrgäste aus Deutschland kommen.

(2 BE)

Unter den Fahrgästen befinden sich Erwachsene und Kinder. Die Hälfte der Fahrgäste isst während der Fahrt ein Eis, von den Erwachsenen nur jeder Dritte, von den Kindern $75 \,\%$ .
Berechne, wie viele Kinder an der Fahrt teilnehmen.

(3 BE)

Möchte man an einer Fahrt teilnehmen, so muss man dafür im Voraus eine Reservierung vornehmen. Erfahrungsgemäß erscheinen von den Personen mit Reservierung einige nicht zur Fahrt. Für die $60$ Plätze lässt das Unternehmen deshalb bis zu $64$ Reservierungen zu. Es soll davon ausgegangen werden, dass für jede Fahrt tatsächlich $64$ Reservierungen vorgenommen werden. Erscheinen mehr als $60$ Personen mit Reservierung zur Fahrt, so können nur $60$ von ihnen daran teilnehmen; die übrigen müssen abgewiesen werden. Vereinfachend soll angenommen werden, dass die Anzahl der Personen mit Reservierung, die zur Fahrt erscheinen, binomialverteilt ist, wobei die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, $10 \,\%$ beträgt.

Gib einen Grund dafür an, dass es sich bei dieser Annahme im Sachzusammenhang um eine Vereinfachung handelt.

(1 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Person mit Reservierung abgewiesen werden muss.

(3 BE)

Für das Unternehmen wäre es hilfreich, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens eine Person mit Reservierung abweisen zu müssen, kleiner als ein Prozent wäre. Dazu müsste die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, mindestens einen bestimmten Wert haben.
Ermittle den Wert auf ganze Prozent genau.

(4 BE)

Das Unternehmen richtet ein Online-Portal zur Reservierung ein und vermutet, dass dadurch der Anteil der Personen mit Reservierung, die zur jeweiligen Fahrt nicht erscheinen, zunehmen könnte. Als Grundlage für die Entscheidung darüber, ob pro Fahrt künftig mehr als $64$ Reservierungen angenommen werden, soll die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens $10\,\%$ .“ mithilfe einer Stichprobe von $200$ Personen mit Reservierung auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden. Vor der Durchführung des Tests wird festgelegt, die Anzahl der Reservierungen pro Fahrt nur dann zu erhöhen, wenn die Nullhypothese aufgrund des Testergebnisses abgelehnt werden müsste.

Ermittle für den beschriebenen Test die zugehörige Entscheidungsregel.

(5 BE)

Entscheide, ob bei der Wahl der Nullhypothese eher das Interesse, dass weniger Plätze frei bleiben sollen, oder das Interesse, dass nicht mehr Personen mit Reservierung abgewiesen werden müssen, im Vordergrund stand. Begründe Deine Entscheidung.

(3 BE)

Beschreibe den Fehler zweiter Art im Sachzusammenhang.

(2 BE)

(25 BE)

$\blacktriangleright$ Anzahl möglicher Dreiergruppen ermitteln

Gesucht ist die Anzahl aller möglichen Kombinationen von $3$ Personen aus der Grundmenge der insgesamt $60$ Personen. Es geht dabei nicht um die Reihenfolge der drei Personen und keine Person kann doppelt in einer Dreiergruppe vorkommen. Es handelt sich also um eine ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen .

$\binom{60}{3} = 34.220$

Es gibt $34.220$ mögliche Dreiergruppen.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Zwei Drittel der $60$ Fahrgäste kommen aus Deutschland. Dies sind also:

$\frac{2}{3}\cdot 60 = 40$

Mit der Pfadmultiplikationsregel erhältst du:

$\frac{40}{60} \cdot \frac{39}{59}\cdot \frac{38}{58} \approx 0,2887 = 28,87\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $28,87\,\%$ kommen die drei ausgewählten Fahrgäste aus Deutschland.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Kinder berechnen

Zur Übersicht kannst du ein Baumdiagramm zeichnen. Bezeichne den gesuchten Anteil der Kinder mit $p.$

Abb. 1: Baumdiagramm

Mit den Pfadregeln ergibt sich folgende Gleichung:

$p=0,4$

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$40\,\%$ der Fahrgäste sind also Kinder. Insgesamt sind es $60$ Fahrgäste.

$0,4\cdot 60 = 24$

An der Fahrt nehmen $24$ Kinder teil.

$\blacktriangleright$ Vereinfachung begründen

Um die Anzahl der zur Fahrt erscheinenden Personen als binomialverteilt zu betrachten, wird vereinfachend davon ausgegangen, dass jede Person mit einer Reservierung mit gleicher Wahrscheinlichkeit unabhängig von anderen Personen mit Reservierung erscheint oder nicht erscheint. Das ist in der Realität streng genommen nicht gegeben. Reserviert beispielsweise eine Familie mit fünf Personen, so werden vermutlich die Eltern nicht unabhängig von den Kindern entscheiden zur Fahrt anzutreten und umgekehrt, sodass man schon von einer gewissen Abhängigkeit unter den Fahrgästen ausgehen kann.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Es muss mindestens eine Person mit Reservierung abgewiesen werden, wenn höchstens $3$ Personen mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheinen. Betrachte dazu die Zufallsvariable $X,$ die die zufällige Anzahl der Personen mit Reservierung beschreibt, die nicht zur Fahrt erscheinen. Diese wird laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit $n=64$ und $p=0,1$ betrachtet. Zur Berechnung kannst du dein CAS verwenden:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ E: Binomial Cdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf

$P(X\leq 3)\approx 10,63\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $10,63\,\%$ muss mindestens eine Person mit Reservierung abgewiesen werden.

$\blacktriangleright$ Neuen Wert für die Wahrscheinlichkeit ermitteln

Betrachte nun die Zufallsgröße $X_p,$ die analog zu $X$ binomialverteilt mit $n=64$ und unbekanntem $p$ verteilt ist. Diese beschreibt nun die Anzahl der Personen mit Reservierung, die nicht zur Fahrt antreten. $p$ soll nun so gewählt werden, dass folgende Ungleichung erfüllt ist:

$P(X_p \leq 3) \leq 0,01$

Da $p$ in ganzen Prozentpunkten angegeben werden soll, kannst du nun mithilfe deines CAS verschiedene Werte von $p$ ausprobieren. Du erhältst folgende Wahrscheinlichkeiten:

$P(X_{0,14} \leq 3 ) \approx ...$
$P(X_{0,15} \leq 3 ) \approx ...$

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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, muss also mindestens $15\,\%$ betragen.

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel ermitteln

Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y,$ die in der Stichprobe von $200$ zufällig ausgewählten Personen mit Reservierung die zufällige Anzahl der Personen mit Reservierung beschreibt, die nicht zur Fahrt erscheinen. Diese kann als binomialverteilt mit $n=200$ und unbekanntem $p$ angenommen werden. Geht man davon aus, dass $Y$ entsprechend der Nullhypothese verteilt ist,

$H_0:\,$ „Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens $10\,\%.$ “

so ist $p \leq 0,1,$ sodass man von $p=0,1$ im Extremfall ausgehen kann.
Gesucht ist nun die Entscheidungsgrenze $k,$ für die die Nullhypothese gerade noch abgelehnt wird, obwohl sie eigentlich gilt. Aufgrund des Signifikanzniveaus von $5\,\%$ ist also das kleinste $k$ gesucht, für das gerade noch folgende Ungleichung erfüllt ist:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y \geq k)&\leq 0,05 \\[5pt] ... \\[5pt] P(Y\leq k-1)&\geq 0,95 \end{array}$

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Mithilfe einer Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung für $n=200$ oder deinem CAS erhältst du mit $p=0,1$ folgende Wahrscheinlichkeiten:

$P(Y \geq 26 )\approx ...$
$P(Y \geq 27 )\approx ...$

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Es ist also $k-1\geq 27$ und damit $k\geq 28.$

Treten also $28$ oder mehr Fahrgäste aus der Stichprobe ihre Fahrt nicht an, so kann das Unternehmen auf dem Signifikanzniveau von $5\,\%$ davon ausgehen, dass sich der Anteil der Fahrgäste mit Reservierung, die nicht zur Fahrt erscheinen, erhöht hat und wird die Anzahl der für eine Fahrt möglichen Reservierungen erhöhen. Erscheinen weniger als $28$ Personen der Stichprobe nicht zur Fahrt, belässt das Unternehmen die Anzahl der möglichen Reservierungen bei $64.$

$\blacktriangleright$ Hintergrund der Nullhypothese begründen

Die Nullhypothese, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, höchstens $10\,\%$ beträgt, wird nur dann abgelehnt, wenn signifikant mehr Fahrgäste mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheinen, als es auf dem Signifikanzniveau von $5\,\%$ angemessen wäre.
Durch das Signifikanzniveau von $5\,\%$ wird die Wahrscheinlichkeit dafür auf höchstens $5\,\%$ eingeschränkt, fälschlicherweise von einem erhöhten Ausfall auszugehen, obwohl er sich der Ausfall eigentlich doch nicht erhöht hat.
Man beschränkt also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man mehr Reservierungen möglich macht, obwohl sich der Ausfall nicht erhöht hat auf $5\,\%.$ Bei der Wahl der Nullhypothese stand daher das Interesse im Vordergrund, dass nicht mehr Personen mit Reservierung abgewiesen werden müssen.

$\blacktriangleright$ Fehler zweiter Art beschreiben

Beim Fehler 2. Art wird die Nullhypothese fälschlicherweise nicht abgelehnt, obwohl eigentlich eine andere der Gegenhypothese entsprechende Wahrscheinlichkeit gilt. Im Sachzusammenhang würde das Unternehmen fälschlicherweise davon ausgehen, dass sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt antritt nicht verändert hat, obwohl sich die Wahrscheinlichkeit tatsächlich erhöht hat. Das Unternehmen würde dann nicht mehr Reservierungen möglich machen und hätte als Konsequenz vermutlich mehr freie Plätze auf den Fahrten.

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