Stochastik 1

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

Unter den Abonnenten sind $70\,\%$ höchstens 40 Jahre alt. Von diesen haben $80\,\%$ das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als 40 Jahre sind, haben sich $50\,\%$ für das Komplettpaket entschieden.

a1)

Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(3 BE)

a2)

Eine unter allen Abonnenten zufällig ausgewählte Person hat sich für das Komplettpaket entschieden.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie höchstens 40 Jahre alt ist.

(3 BE)

a3)

Unter allen Abonnenten werden 250 zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

weniger als 170 Abonnenten höchstens 40 Jahre alt sind;
die Anzahl der Abonnenten, die höchstens 40 Jahre alt sind, um maximal 10 von ihrem Erwartungswert abweicht.

(5 BE)

a4)

Bestimme die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mehr als 20 Personen älter als 40 Jahre sind.

(4 BE)

Der Anteil der zufriedenen Abonnenten von derzeit $60\,\%$ soll gesteigert werden. Dazu wird ein Algorithmus entwickelt, der jedem Abonnenten täglich individuell einen Spielfilm vorschlägt. Als Basis für die Entscheidung über den dauerhaften Einsatz des Algorithmus plant das Management einen Probebetrieb. Im Anschluss soll die Nullhypothese „Der Anteil der zufriedenen Abonnenten beträgt höchstens $60\,\%$ “ mithilfe einer Stichprobe von 200 zufällig ausgewählten Abonnenten auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden.

b1)

Gib an, welche Überlegung das Management zur Wahl dieser Nullhypothese geführt haben könnte.

(2 BE)

Für den beschriebenen Test ergibt sich $\{132; 133; \ldots; 200\}$ als Ablehnungsbereich der Nullhypothese.

b2)

Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt:

$Z:$ Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe
$P_{0,6}^{200}(Z \geq 132) \approx 0,047$

Begründe, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänze diese geeignet.

(4 BE)

b3)

Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als $90\,\%$ betragen könnte.

(4 BE)

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a1)

$A:$

„Ein Abonnent ist höchstens 40 Jahre alt.“

$B:$

„Ein Abonnent hat das Komplettpaket.“

Baumdiagramm Videostreaming Komplettpaket Mathe Abi 2024

a2)

$\begin{array}[t]{rll} P_B(A)&=&\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,7\cdot0,8}{0,7\cdot0,8+0,3\cdot0,5} \\[5pt] &=&\dfrac{0,56}{0,71} \\[5pt] &\approx&0,79 \\[5pt] &=& 79 \,\% \end{array}$

a3)

$X:$ Anzahl der Abonnenten, die höchstens 40 Jahre alt sind

$X$ ist binomialverteilt mit $n=250$ und $p=0,7.$ Mit dem Taschenrechner folgt für die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 170 Abonnenten höchstens 40 Jahre alt sind:

$\begin{array}[t]{rll} P_{0{,}7}^{250}(X \lt 170)&=& P_{0,7}^{250}(X \leq 169) \\[5pt] &\approx& 22\,\% \end{array}$

Der Erwartungswert von $X$ beträgt $\mu=n\cdot p=250\cdot0,7=175.$ Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Abonnenten, die höchstens 40 Jahre alt sind, um maximal 10 von ihrem Erwartungswert abweicht:

Rechenweg anzeigen

$P_{0{,}7}^{250}(175 - 10 \leq X \leq 175 + 10) \approx 85\%$

a4)

$Y:$ Anzahl der Abonnenten, die älter als 40 Jahre alt sind

$Y$ ist binomialverteilt mit $n=250$ und $p=0,3.$ Es ist nun der minimale Wert von $n$ gesucht, sodass folgende Ungleichung erfüllt ist:

$P(Y\gt20) \gt 99\,\%$

Systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert:

$\begin{array}[t]{rll} P_{0,3}^{103}(Y\gt20)&=& 1-P(Y\leq 20) \\[5pt] &\approx& 0,9895 \\[5pt] &=& 98,95\,\% \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P_{0,3}^{104}(Y\gt 20)&=& 1-P(Y\leq 20) \\[5pt] &\approx& 0,9910 \\[5pt] &=& 99,10\,\% \end{array}$

Es müssen somit mindestens 104 Abonnenten zufällig ausgewählt werden, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mehr als 20 Personen älter als 40 Jahre sind.

b1)

Das Management möchte vermeiden, dass der Algorithmus dauerhaft eingesetzt wird, obwohl der Einsatz des Algorithmus die Zufriedenheit unter den Abonnenten in Wirklichkeit nicht erhöht.

b2)

Die beiden angegebenen Lösungsschritte sind nicht ausreichend, da zusätzlich überprüft werden muss, ob es keinen Wert $k$ gibt, der kleiner als 132 ist und für den $P_{0,6}^{200}(Z \geq k) \leq 0,05$ gilt. Mit dem Taschenrechner folgt für $k=131:$

$\begin{array}[t]{rll} P_{0,6}^{200}(Z \geq 131)&=&1-P_{0,6}^{200}(Z \leq 130) \\[5pt] &\approx&0,064 \end{array}$

Als eine geeignete Ergänzung der angegebenen Lösungsschritte ergibt sich somit:

$Z:\;$ Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe
$P_{0,6}^{200}(Z \geq 132) \approx 0,047$
$P_{0,6}^{200}(Z \geq 131) \approx 0,064$

b3)

Der Fehler zweiter Art tritt auf, wenn die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.

Bei einem Anteil von beispielsweise $61\,\%$ zufriedenen Abonnenten folgt für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers zweiter Art:

$\begin{array}[t]{rll} P_{0,61}^{200}(Y \leq 131)&\approx& 0,917 \\[5pt] &=& 91,7\,\% \end{array}$

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