Analytische Geometrie 1

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit den Eckpunkten $A(-3\mid-3\mid 0),$ $B(3\mid-3\mid 0),$ $C(3\mid3\mid 0),$ $D(-3\mid 3\mid 0)$ und $S(0\mid0\mid 4)$ sowie den Punkt $O(0\mid 0\mid 0),$ der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt.

Die Seitenfläche $CDS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E.$

Pyramide kartesisches Koordinatensystem Mathe Abi 2024

Abbildung 1

a1)

Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide.

(4 BE)

a2)

Genau eine der folgenden Gleichungen $(1)$ bis $(3)$ beschreibt eine Symmetrieebene der Pyramide. Gib diese Gleichung an und begründe für eine der anderen Gleichungen, dass die durch sie beschriebene Ebene keine Symmetrieebene der Pyramide ist.

$(1) \quad x_1-x_3=0$

$(2) \quad x_1+x_2+x_3=4$

$(3) \quad x_1+x_2=0$

(3 BE)

a3)

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $4x_2+3x_3=12$ )

(3 BE)

a4)

Es gibt einen Punkt $P(0\mid0\mid p),$ der im Innern der Pyramide liegt und von allen vier Seitenflächen sowie der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Mithilfe des folgenden Gleichungssystems lässt sich der Wert von $p$ bestimmen:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&\overrightarrow{OQ}&=& \pmatrix{0\\0\\p}+t\cdot\pmatrix{0\\4\\3} \\ \text{II}\quad&12&=&4 \cdot 4 t+3 \cdot(p+3 t) \\ \text{III}\quad&\left\vert\overrightarrow{PQ}\right\vert&=&p \end{array}$

Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $p$ zugrunde liegen.

(5 BE)

Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen $E_k: 4 k \cdot x+4 \sqrt{1-k^2} \cdot y+3 \cdot z = 12$ mit $k \in[-1 ; 1].$
Die Seitenfläche $ADS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E_{-1}$ der Schar, die Seitenfläche $BCS$ in der Ebene $E_1.$

b1)

Zeige, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist.

(1 BE)

b2)

Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $OS$ die Ebene $E_k$ schneidet, unabhängig von $k$ ist, und bestimme diese Größe.

(4 BE)

Jede Ebene $E_k$ der Schar schneidet die $xy$ -Ebene in einer Gerade $g_k.$ Mit $R_k$ wird jeweils derjenige Punkt auf $g_k$ bezeichnet, der von $O$ den kleinsten Abstand hat.
In Abbildung 2 sind $g_k$ und $R_k$ beispielhaft für eine Ebene $E_k$ der Schar dargestellt.

b3)

Zeichne die Punkte $R_{-1}$ und $R_1$ in Abbildung 2 ein.

(2 BE)

Abbildung 2

b4)

Durchläuft $k$ alle Werte von $-1$ bis $1,$ dann dreht sich die Fläche $O R_k S$ um die Strecke $\overline{OS}.$ Dabei entsteht ein Körper. Beschreibe die Form des entstehenden Körpers und bestimme das Volumen dieses Körpers.

(3 BE)

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a1)

Da die Kanten der Grundseite der Pyramide parallel zur $x_1$ - bzw. $x_2$ -Achse verlaufen und die Koordinaten der vier Eckpunkte $A,B,C$ und $D$ die Form $(\pm3\mid\pm3\mid0)$ haben, folgt die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche mit $6\;[\text{LE}].$

Für den Ortsvektor des Mittelpunkts $M$ der Strecke $\overline{BC}$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{BC} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\-3\\0}+\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{3-3\\3-(-3)\\0-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\0\\0} \end{array}$

Für die Höhe $h$ einer Seitenfläche der Pyramide bezüglich der Kante, die in der $x_1x_2$ -Ebene liegt, ergibt sich also:

$\begin{array}[t]{rll} h&=&\left\vert\overrightarrow{MS}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{0-3\\0-0\\4-0}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(-3)^2+0^2+4^2} \\[5pt] &=&5 \end{array}$

Damit beträgt der Flächeninhalt der vier Seitenflächen der Pyramide jeweils $\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot5=15\;[\text{FE}].$

Zusammen mit dem Flächeninhalt der quadratischen Grundfläche von $6\cdot6=36\;[\text{FE}]$ folgt der Flächeninhalt $O_P$ der gesamten Oberfläche der Pyramide mit:

$O_P=36+4\cdot15=96\;[\text{FE}]$

a2)

Gleichung angeben

Einsetzen der Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide in die Gleichungen ergibt, dass $B,D$ und $S$ in Ebene $(3)$ liegen. Da eine Ebene durch drei Punkte eindeutig festgelegt wird, teilt die Ebene $(3)$ folglich die Pyramide von oben betrachtet entlang der Diagonalen $\overline{BD}$ der Grundfläche und ist somit eine Symmetrieebene der Pyramide.

Gleichung begründen

Damit eine Ebene eine Symmetrieebene einer quadratischen Pyramide ist, muss sie durch die Spitze dieser verlaufen. Da die Koordinaten von $S$ Gleichung $(1)$ nicht erfüllen, kann diese keine Symmetrieebene der Pyramide beschreiben.

a3)

Richtungsvektoren bestimmen:

$\overrightarrow{CD}=\pmatrix{-3\\3\\0}-\pmatrix{3\\3\\0}=\pmatrix{-6\\0\\0}$

$\overrightarrow{CS}=\pmatrix{0\\0\\4}-\pmatrix{3\\3\\0}=\pmatrix{-3\\-3\\4}$

Ein möglicher Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E$ folgt also mit:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{CS} \\[5pt] &=&\pmatrix{-6\\0\\0}\times\pmatrix{-3\\-3\\4} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\24\\18} \\[5pt] &=&6\cdot\pmatrix{0\\4\\3} \end{array}$

Mit dem gekürzten Normalenvektor folgt $E:4x_2+3x_3=d.$

Einsetzen der Koordinaten eines Punktes wie beispielsweise $C,$ der in der Ebene $CDS$ liegt, liefert für $d:$

$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot3+3\cdot0&=&d \\[5pt] 12&=&d \end{array}$

Eine mögliche Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform ist somit gegeben durch $4x_2+3x_3=12.$

a4)

Gleichung $\text{I}$ besagt, dass der Punkt $Q$ auf der Lotgeraden zu $E$ durch $P$ liegt.

Gleichung $\text{II}$ liefert, dass der Punkt $Q$ zudem in der Ebene $E$ liegt und damit der Schnittpunkt der Lotgerade mit $E$ ist.

Die Gleichung $\text{III}$ gibt den Abstand des Punktes $P$ zur Grundfläche der Pyramide, die in der Ebene $z=0$ liegt, an, welcher $p$ beträgt. Der Abstand von $P$ zu $E$ stimmt mit diesem Abstand überein.

b1)

Einsetzen der Koordinaten von $S$ in die Gleichung der Ebenenschar $E_k$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 4 k \cdot 0+4 \sqrt{1-k^2} \cdot 0+3 \cdot 4&=&12 \\[5pt] 3\cdot4&=&12 \\[5pt] 12&=&12 \end{array}$

Somit ist der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten.

b2)

Ein Normalenvektor der Ebenenschar $E_k$ kann aus der Koordinatengleichung abgelesen werden und ergibt sich zu $\overrightarrow{n_k}=\pmatrix{4k\\4\sqrt{1-k^2}\\3}.$

Für den Schnittwinkel gilt also:

$\sin(\alpha)= \dfrac{3}{5}$

Rechenweg anzeigen

Somit hängt $\sin(\alpha),$ und damit auch die Größe des Schnittwinkels $\alpha,$ nicht von $k$ ab. Auflösen von $\sin(\alpha)=\frac{3}{5}$ nach $\alpha$ liefert mit dem CAS:

$\alpha\approx36,9^\circ$

b3)

Die Ebene $E_{-1}$ verläuft laut Aufgabenstellung durch die Seitenfläche $ADS$ und somit parallel zur $x_2$ -Achse. Der Punkt $R_{-1}$ mit dem kürzesten Abstand zum Ursprung liegt also genau senkrecht zum Ursprung auf der $x_2$ -Achse und somit auf der $x_1$ -Achse.

$R_1$ liegt analog auf der anderen Seite des Ursprungs auf der $x_1$ -Achse.

b4)

Form beschreiben

Der Körper, der durch die Drehung der Fläche $OR_kS$ um die Strecke $\overline{OS}$ entsteht, ist ein Kegel mit der Spitze $S,$ der senkrecht zur in der $x_1x_2$ -Ebene liegenden Grundfläche halbiert wurde.

Volumen bestimmen

Die Höhe $h$ des Kegels ist durch die Pyramidenhöhe gegeben und beträgt somit $4\;\text{LE}.$

Da die Seiten der Grundfläche der Pyramide $6\;\text{LE}$ lang sind, folgt für den Flächeninhalt der kreisförmigen Grundfläche $G$ mit Radius $r=3:$

$G=\pi\cdot3^2=9\pi\;[\text{FE}]$

Insgesamt ergibt sich damit folgendes Volumen $V$ des halben Kegels:

$V=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\cdot9\pi \cdot 4\right)=6\pi\;[\text{VE}]$

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