Analysis 1

Angesichts des vorhergesagten Anstiegs des Meeresspiegels wird an der Nordseeküste ein neuer Klimadeich geplant. Stellvertretend für den ganzen Deich wird ein ausgewählter Deichquerschnitt betrachtet, dessen obere Begrenzungslinie durch die Funktion $f$ mit

$f(x)=-288\cdot(x-9)\cdot \mathbb{e}^{-0,1\cdot(x-9)^2-6}$ und $0\leq x\leq9$

modelliert wird. Im Folgenden entspricht dabei eine Längeneinheit sowohl in $x$ - als auch in $y$ -Richtung stets $10 \; \text{m}$ in der Wirklichkeit.

Grafik eines Diagramms mit einem Höhenprofil zwischen Seeseite und Landseite, einschließlich Deichhöhe und Koordinaten.

$A$ ist ein Bezugspunkt auf dem Deich, der zur Vermessung dient. $H$ ist der höchste Punkt des Deiches.

a1)

Bestimme die Höhe des Punktes $A$ und die Steigung des Deiches im Punkt $A$ .

(3 P)

a2)

Berechne die Breite des Deiches in einer Höhe von $5 \; \text{m}$ .

(3 P)

a3)

Berechne die Deichhöhe.

(4 P)

Im Folgenden wird die Schar der Funktionen $g_k$ mit

$g_k(x)=-8\cdot k^2\cdot(x-9)\cdot\mathbb{e}^{-0,1\cdot(x-9)^2-k}$ für $k\in\mathbb{R}$ und $0 \leq x\leq9$ betrachtet.

b1)

Zeige, dass $f$ ein Element dieser Schar ist.

(2 P)

b2)

Begründe anhand des Funktionsterms:
Für jedes $k\neq0$ hat $g_k$ genau eine Nullstelle.

(2 P)

Ein Planungsbüro modelliert mithilfe der Funktionen $g_k$ die obere Begrenzungslinie von weiteren Deichquerschnitten.

Dazu werden im Folgenden ausschließlich die Parameterwerte $k$ mit $5\leq k\leq7$ betrachtet.

b3)

Für jedes solche $k$ ist $H_k\left(9-\sqrt{5}\,\bigg \vert \, 8\cdot\sqrt{\dfrac{5}{\mathbb{e}}}\cdot k^2\cdot\mathbb{e}^{-k}\right)$ der Hochpunkt des Graphen von $g_k$ . Die y-Koordinate von $H_k$ entspricht der Deichhöhe.

Bestimme denjenigen Wert für $k$ , für den die Deichhöhe $11 \; \text{m}$ beträgt.

(2 P)

Berechne die Deichhöhe des höchsten Deiches, der mit Hilfe einer dieser Funktionen $g_k$ mit $5\leq k\leq7$ modelliert werden kann.

(5 P)

b4)

Für jedes betrachtete $k$ hat $g_k$ im Intervall $[0;9-\sqrt{5}]$ genau eine Wendestelle.

Bestimme die Koordinaten des zugehörigen Wendepunkts.

[Kontrolle: Die Wendestelle ist $9-\sqrt{15}.$ ]

(3 P)

b5)

Der Deich steigt seeseitig bis zu seinem höchsten Punkt an. Dabei verläuft das Deichprofil im Uferbereich zunächst flach, wird dann steiler und flacht zum höchsten Punkt hin wieder ab. Aus Stabilitätsgründen darf der maximale Steigungswinkel des Deichprofils seeseitig höchstens 20° betragen.
Untersuche, für welche $k$ mit $5 \leq k\leq 7$ diese Bedingung erfüllt ist.

(5 P)

Für die weitere Planung wird der durch $g_{5,8}$ modellierte Deich ausgewählt. Dieser soll einen begradigten Bereich (die sogenannte Deichkrone) erhalten.

Graph einer Funktion mit x- und y-Achse, zeigt einen ansteigenden und dann abfallenden Verlauf.

c1)

Ermittle rechnerisch die Höhe, in der der Deich begradigt werden müsste, damit die Deichkrone waagerecht und $12 \; \text{m}$ breit ist.

(3 P)

Es wird schließlich entschieden, den Deich für $6,0 \leq x \leq 7,2$ zu begradigen.

c2)

Zeige, dass der Deich auf diese Weise nicht waagerecht begradigt wird.

Bestimme die Neigung des begradigten Bereichs in Prozent.

(3 P)

c3)

Ein Abschnitt des geplanten Deichs soll $2 \; \text{km}$ lang werden.

Berechne die Menge des benötigten Materials in Kubikmetern.

(5 P)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

a1)

Der Punkt $A$ liegt bei $x=5.$

$f(5)=0,577$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

$\(f$

Der Punkt $A$ liegt auf einer Höhe von $5,77\;\text{m}.$ Die Steigung im Punkt $A$ beträgt $0,317.$

a2)

$f(x)=0,5$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

Es ergeben sich die Schnittstellen $x_1=4,755$ und $x_2=8,260.$

Für die Breite des Deichs gilt:
$8,260\;\text{LE}-4,755\;\text{LE}=3,503\;\text{LE}\,$ $\mathrel{\widehat{=}}35,03\;\text{m}$

a3)

Um die Höhe des Deichs zu bestimmen, muss das lokale Maximum bestimmt werden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Die Koordinaten des lokalen Maximums lauten:
$M(6,764\mid0,968)$

Der Deich ist somit $9,68\;\text{m}$ hoch.

b1)

$g_k(x)=f(x)$

Gleichung anzeigen

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

$k=6$

$g_6(x)=f(x)$

b2)

Für alle $k\neq0$ gilt:

$\mathrm{e}^{-0,1\cdot(x-9)^2-k}\gt0$

$-8\cdot k^2\lt0$

Somit muss für $g_k(x)=0$ gelten:

$\begin{array}[t]{rll} x-9&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+9 \\[5pt] x&=& 9 \end{array}$

$g_k$ hat für $k\neq0$ also genau eine Nullstelle.

b3)

$8\cdot\sqrt{\dfrac{5}{\mathrm{e}}}\cdot k^2\cdot\mathrm{e}^{-k}=1,1$

Der Term wird auf $k$ aufgelöst. Mit dem CAS ergibt sich $k=5,807.$

Für $k=5,807$ beträgt die Deichhöhe $11\;\text{m}$ .

Die Deichhöhe in Abhängigkeit von $k$ wird durch folgende Funktion beschrieben:

$h(k)=8\cdot\sqrt{\dfrac{5}{\mathrm{e}}}\cdot k^2\cdot\mathrm{e}^{-k}$

Gesucht wird nun das Maximum im Intervall $[5;7].$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Das Maximum von $h$ befindet sich an der Stelle $k=2.$ Somit wird das Maimum im Intervall $[5;7]$ an einer Randstelle angenommen.

Es gilt $h(5)\approx 1,828$ und $h(7)\approx 0,485.$

Im Intervall $[5;7]$ liegt das lokale Maximum also an der Stelle $x=5.$

$h(5)=1,828$

Die maximale Deichhöhe beträgt somit $18,28\;\text{m}.$

b4)

Notwendiges Kriterium einer Wendestelle: $\(g_k$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

Der CAS liefert $x_1=9-\sqrt{15}$ und $x_2=9.$ Nur $x_1$ liegt im angegebenen Intervall.

$g_k(9-\sqrt{15})=8\cdot \sqrt{\dfrac{15}{\mathrm{e}^3}}\cdot k^2\cdot e^{-k}$
$W\left(9-\sqrt{15} \,\bigg \vert \, 8\cdot \sqrt{\dfrac{15}{\mathrm{e}^3}}\cdot k^2\cdot e^{-k}\right)$