Analytische Geometrie

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$ mit $A(6 \mid 3\mid 0),$ $B(0\mid 6\mid 0),$ $C(3 \mid 0 \mid 0),$ $D(6 \mid 3 \mid 6),$ $E(0\mid 6 \mid 6)$ und $F(3 \mid 0 \mid 12).$

a1)

Untersuche, ob das Dreieck $D E F$ gleichschenklig ist.

(4 P)

a2)

Die Punkte $D,$ $E$ und $F$ liegen in der Ebene $L.$ Ermittle eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $L: 2 x_1+4 x_2+3 x_3-42=0$ )

(4 P)

a3)

Bestimme die Größe des Winkels, den $L$ mit der $x_1 x_2$ -Ebene einschließt.

(3 P)

a4)

Berechne den Abstand des Ursprungs zur Ebene $L.$

(3 P)

a5)

Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden von $L$ mit der $x_1 x_2$ -Ebene in Parameterform.

(3 P)

b1)

Begründe, dass das Viereck $A D F C$ ein Trapez ist.

(2 P)

b2)

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ kann mit dem Term $6 \cdot 6-\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6$ berechnet werden.
Veranschauliche diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.

(3 P)

b3)

Berechne das Volumen des Körpers $ABCDEF.$

(3 P)

b4)

Auf der Kante $\overline{AD}$ liegt der Punkt $Q,$ auf der Kante $\overline{BE}$ der Punkt $R(0\mid 6\mid 2)$ .
Das Dreieck $FQR$ hat in $Q$ einen rechten Winkel. Bestimme die $x_3$ -Koordinate von $Q.$

(5 P)

Die Ebene $N_k$ enthält die $x_3$ -Achse und den Punkt $P_k(1-k\mid k \mid 0)$ mit $0 \lt k \lt 1.$

c1)

Für einen bestimmten Wert $k$ besitzt $N_k$ die Gleichung $-3 x_1+6 x_2=0.$
Zeichne die Schnittfläche dieser Ebene mit dem Körper $A B C D E F$ in die Abbildung ein.

(3 P)

c2)

Welche Kanten des Körpers von $N_k$ geschnitten werden, ist abhängig von $k.$ Durchläuft $k$ alle Werte zwischen $0$ und $1,$ so gibt es Bereiche $] a ; b[,$ für die $N_k$ für alle Werte von $k$ mit $a\lt k \lt b$ jeweils die gleichen Kanten des Körpers schneidet.
Bestimme den größten dieser Bereiche und gib die zugehörigen Kanten an.

(4 P)

Der Körper wird so um die Gerade $AB$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_1x_2$ -Ebene liegt und dabei eine positive $x_2$ -Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung.

$\overrightarrow{BA} \circ \left[\overrightarrow{OB} +r \cdot \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{OC} \right]=0$ $\Leftrightarrow r=0,8$

Mit $\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OB} + r\cdot \overrightarrow{BA}$ folgt $S(4,8 \mid 3,6 \mid 0).$

$\overrightarrow{O T}=\overrightarrow{O S}+ \,\bigg \vert \, \overrightarrow{C S} \,\bigg \vert \, \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$

Formuliere eine passende Aufgabenstellung und gib die Bedeutung von $S$ an.

(3 P)

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a1)

$\left|\overrightarrow{DF} \right| = \left| \pmatrix{-3\\-3\\6} \right|$ $= \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 +6^2}$ $= \sqrt{54}$

$\left|\overrightarrow{EF} \right| = \left| \pmatrix{3\\-6\\6} \right|$ $= \sqrt{3^2 + (-6)^2 +6^2}$ $= \sqrt{81} = 9$

$\left|\overrightarrow{DE} \right| = \left| \pmatrix{-6\\3\\0} \right|$ $= \sqrt{(-6)^2 + 3^2 +0^2}$ $= \sqrt{45}$

Alle drei Seiten des Dreiecks $DEF$ sind verschieden lang. Es ist also nicht gleichschenklig.

a2)

Ein Normalenvektor von $L$ ergibt sich mit dem Kreuzprodukt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{DE}\times\overrightarrow{DF} & \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\3\\0}\times \pmatrix{-3\\-3\\6}& \\[5pt] &=& \pmatrix{3\cdot 6-(-3)\cdot 0\\0\cdot (-3)-6\cdot (-6)\\(-6)\cdot (-3)-(-3)\cdot 3}& \\[5pt] &=& \pmatrix{18\\36\\27}& \\[5pt] &=& 9\cdot \pmatrix{2\\4\\3} \end{array}$

Einsetzen in die allgemeine Koordinatengleichung:

$L: 2\cdot x_1+4\cdot x_2+3\cdot x_3-d = 0$

Durch Punktprobe mit $D$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} d&=& 2\cdot 6+4\cdot 3+3\cdot 6 \\[5pt] d &=& 42 \end{array}$

Eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform ist somit gegeben durch:

$L: 2\cdot x_1+4\cdot x_2+3\cdot x_3 -42 =0$

a3)

Als ein Normalenvektor der $x_1x_2$ -Ebene kann $\pmatrix{0 \\0\\1}$ gewählt und somit der Winkel berechnet werden:

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 56^{\circ}$

a4)

Mit der Formel für den Abstand eines Punkts zu einer Ebene folgt:

$d(O,L) = \dfrac{\left|2\cdot 0+4\cdot 0 +3\cdot 0-42\right|}{\sqrt{2^2+4^2+3^2}}$ $= \dfrac{42}{\sqrt{29}}\approx 7,80\,\text{[LE]}$

a5)

Für die $x_1x_2$ -Ebene gilt $x_3=0.$ Zudem kann beispielsweise $x_2 = t$ als Geradenparameter festgelegt werden. Einsetzen in die Ebenengleichung von $L$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$x_1 = 21 -2t$

Damit gilt für die Schnittgerade:

$x_1 = 21-2t$

$x_2 = t$

$x_3 = 0$

Daraus ergibt sich folgende Geradengleichung in Parameterform:

$s:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{21\\0\\0} + t\cdot \pmatrix{-2\\1\\0}$

b1)

Die Punkte $A$ und $D$ sowie $F$ und $C$ haben jeweils die gleichen $x_1$ - und $x_2$ -Koordinaten. Daher liegen die Kanten $\overline{AD}$ und $\overline{CF}$ parallel zur $x_3$ -Achse und damit auch parallel zueinander.

Das Viereck $ADFC$ ist somit ein Trapez.

b2)

b3)

Für den Flächeninhalt der Grundfläche gilt:

$A_{ABC}$ $= 6 \cdot 6$ $-\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3$ $-2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6$ $= \dfrac{27}{2} \;[\text{FE}]$

Der Körper kann unterteilt werden in ein gerades dreiseitiges Prisma, dessen Grundfläche das Dreieck $ABC$ bildet, und eine dreiseitige Pyramide mit der Spitze $F,$ welche sich oberhalb des Prismas befindet.

Die Höhe des dreiseitigen Prismas ergibt sich aus den $x_3$ -Koordinaten von $D$ und $E:$

$h_{Prisma}=6$

Das Volumen ergibt sich damit zu:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Prisma}}&=& A_{ABC}\cdot h_{\text{Prisma}}\\[5pt] &=& \dfrac{27}{2} \cdot 6 \\[5pt] &=& 81 \;[\text{VE}] \end{array}$

Die Höhe der Pyramide ergibt sich ebenfalls aus der $x_3$ -Koordinate von $F$ und der von $D:$

$h_{Pyramide} = 12-6 = 6$

Das Volumen der dreiseitigen Pyramide folgt mit:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Pyramide}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot A_{ABC} \cdot h_{\text{Pyramide}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{27}{2} \cdot 6 \\[5pt] &=& 27 \;[\text{VE}] \end{array}$

Das Gesamtvolumen des Körpers ist also gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& V_{\text{Prisma}}+V_{\text{Pyramide}}\\[5pt] &=& 81+27 \\[5pt] &=& 108 \;[\text{VE}] \end{array}$

b4)

Sei $c$ die gesuchte $x_3$ -Koordinate von $Q$ , dann gilt:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} c_1&=&3 \\[5pt] c_2&=&11 \end{array}$

Da $Q$ auf der Kante $[AD]$ liegt, kommt für die $x_3$ -Koordinate nur $c_1=3$ infrage.

c1)

Schnittfläche - Schleswig-Holstein Abi 2023

c2)

Es gibt zwei Bereiche, in denen immer jeweils die gleichen Kanten geschnitten werden.

Der erste Bereich liegt in der Abbildung links vom Punkt $A.$ Dort werden durch die Ebene jeweils die Kanten $[AC], [DF]$ und $[CB]$ geschnitten.

Der zweite Bereich liegt in der Abbildung rechts vom Punkt $A.$ Dort werden jeweils die Kanten $[AB], [CB], [DE]$ und $[EF]$ geschnitten.

$P_k$ liegt genau dann auf der Strecke $\overline{OA},$ wenn gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x_A}{y_A}&=& \dfrac{x_P}{y_P} & \\[5pt] \dfrac{6}{3}&=& \dfrac{1-k}{k} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot k \\[5pt] 2k&=& 1-k &\quad \scriptsize \mid\; +k \\[5pt] 3k&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] k&=& \dfrac{1}{3} \end{array}$

Der größte Bereich ist somit Bereich 2, der die Kanten $[AB], [CB], [DE]$ und $[EF]$ schneidet, mit $k\in\; \left] \frac{1}{3};1 \right[.$

Aufgabenstellung formulieren

„Der mit $C$ bezeichnete Eckpunkt des Körpers wird nach der Drehung mit $T$ bezeichnet. Ermittle die Koordinaten von $T.$ “

Bedeutung angeben

Der Punkt $S$ ist der Fußpunkt des Lots von $C$ auf die Gerade durch $A$ und $B.$

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