Analysis 1

Die folgende Abbildung stellt einen achsensymmetrischen Querschnitt des Rumpfes einer Segelyacht vereinfacht in einem Koordinatensystem dar. Die $x$ -Achse beschreibt die Lage der Wasseroberfläche und die $y$ -Achse verläuft entlang der Symmetrieachse. Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

Die rechte Randlinie wird mithilfe der Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 4$ für $0 \leq x \leq 2,2$ modelliert.

a1)

Berechne die Breite des Querschnitts auf Höhe der Wasseroberfläche und zeige, dass die Deckslinie ca. $0,93 \;\text{m}$ über der Wasseroberfläche liegt.

(3 BE)

a2)

Weise nach, dass der Graph von $f$ im Intervall $[0 ; 2,2]$ eine Wendestelle besitzt, und gib die Koordinaten des Wendepunktes an.

(4 BE)

a3)

Berechne die Größe des Winkels, der sich aus der rechten und der linken Randlinie an der Kielspitze im Inneren des Querschnitts ergibt.

(4 BE)

a4)

Bestimme den Flächeninhalt des Querschnitts.

(4 BE)

Bei der Trainingsfahrt einer Rennyacht wird ihre Geschwindigkeit durch die Funktion $v$ mit $v(t) = 20 \cdot \left(1 - \mathrm{e}^{-0,004 \cdot t}\right)$ mit $t \geq 0$ beschrieben. Dabei gibt $t$ die Zeit in Sekunden $(s)$ nach Beginn der Zeitmessung an und $v(t)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde $\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right).$

b1)

Zeige, dass die mittlere Änderungsrate der Geschwindigkeit im Zeitraum von $2\;\text{s}$ bis $10\;\text{s}$ nach Beginn der Zeitmessung ungefähr gleich der momentanen Änderungsrate der Geschwindigkeit $6\;\text{s}$ nach Beginn der Zeitmessung ist.

(4 BE)

b2)

Begründe anhand des Funktionsterms von $v,$ dass die Geschwindigkeit der Yacht stets kleiner als $20\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ist.

(2 BE)

b3)

Der Wert des Terms $\displaystyle\int_0^T v(t)\;\mathrm{d}t$ gibt die Länge des zurückgelegten Weges in Metern innerhalb des Zeitraums von $0$ bis $T$ Sekunden an.

Bestimme den Wert für $T,$ so dass diese Länge $5000\;\text{m}$ beträgt.

(2 BE)

Gegeben ist die Schar der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = x^3 - kx^2 + 4x - 4$ und $k \gt 0.$

Der Graph jeder Funktion $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet. Jeder Graph $G_k$ verläuft durch den Punkt $P(0 \mid -4).$ Die folgende Abbildung zeigt $G_3.$

c1)

Zeige, dass jeweils zwei verschiedene Graphen $G_{k_1}$ und $G_{k_2}$ nur den Punkt $P$ gemeinsam haben.

(3 BE)

c2)

Bestimme alle Werte von $k,$ so dass $G_k$ keine waagerechte Tangente besitzt.

(4 BE)

c3)

Auf jedem Graphen $G_k$ liegt genau ein von $P$ verschiedener Punkt $B_k,$ so dass die dort angelegte Tangente $t_k$ durch $P$ verläuft.

Zeichne $B_3$ und $t_3$ in die Abbildung ein.
Berechne die $x$ -Koordinate des Berührpunktes $B_k$ in Abhängigkeit von $k.$

(6 BE)

c4)

Zeige für jeden Punkt $Q$ auf dem Graphen $G_k:$

Die im Punkt $Q$ angelegte Tangente $s$ hat höchstens einen weiteren gemeinsamen Punkt mit $G_k.$

(4 BE)

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a1)

Breite berechnen

Der CAS liefert aus $f(x)=0$ für die Nullstelle von $f$ im Bereich $0\leq x\leq2,2$ den Wert $x=2.$

Aufgrund der Symmetrie und wegen $2\cdot 2\,\text{m}=4\,\text{m}$ beträgt die Breite des Querschnitts auf Höhe der Wasseroberfläche $4\,\text{m}.$

Höhe der Deckslinie über der Wasseroberfläche zeigen

Rechenweg anzeigen

$f(2,2)\approx 0,93$

Die Deckslinie liegt somit ca. $0,93\;\text{m}$ über der Wasseroberfläche.

a2)

Wendestelle nachweisen

$\(f$

Notwendige Bedingung für eine Wendestelle überprüfen:

$\(f$

Mit Hilfe des CAS folgt $x=1.$

Hinreichende Bedingung für eine Wendestelle überprüfen:

$\(f$

Bei $x=1$ liegt also eine Wendestelle im Intervall $[0;2,2]$ vor.

Koordinaten angeben

$f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2$ $+ 4 \cdot 1 - 4 = -2$

Der Wendepunkt hat somit die Koordinaten $(1 \mid -2).$

a3)

$\(f$

Die Steigung der Tangente an der Kielspitze beträgt also 4. Für den Winkel $\alpha,$ den die Tangente mit der $x$ -Achse bildet, gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& f$

Da die Randlinien symmetrisch zur $y$ -Achse sind, ist der Winkel zwischen der Tangente und der $y$ -Achse für beide Randlinien $90^\circ - \alpha.$ Der gesuchte Winkel $\beta$ zwischen den beiden Randlinien an der Kielspitze ist daher das Doppelte dieses Wertes:

$\alpha = 2 \cdot (90^\circ - \tan^{-1}(4))\approx 28^\circ$

Der Winkel an der Kielspitze ist ungefähr $28^\circ$ groß.

a4)

Der Flächeninhalt des Querschnitts im Bereich der positiven $x$ -Achse ist gegeben durch die Fläche zwischen der Deckslinie und dem Graphen der Funktion $f.$ Aufgrund der Symmetrie folgt für den gesamten Flächeninhalt:

Rechenweg anzeigen

$A \approx 11,9$

Der Flächeninhalt des Querschnitts beträgt also etwa $11,9\,\text{m}^2.$

b1)

Die mittlere Änderungsrate der Geschwindigkeit im Zeitraum von $2\;\text{s}$ bis $10\;\text{s}$ wird wie folgt berechnet:

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{v(10) - v(2)}{10-2} \approx 0,078$

Die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit bei $t = 6\;\text{s}$ wird durch die Ableitung der Funktion $v(t)$ bestimmt:

$\(v$

Einsetzen von $t = 6$ ergibt:

$\(v$ $\approx 0,078$

Da die mittlere Änderungsrate und die momentane Änderungsrate übereinstimmen, ist die Aussage gezeigt.

b2)

Die Funktion $v(t) = 20 \cdot \left(1 - \mathrm e^{-0,004t}\right)$ beschreibt die Geschwindigkeit der Yacht. Da für alle Werte von $t$ stets $\mathrm e^{-0,004t} \gt 0$ gilt, folgt:

$v(t) = 20 \cdot \left(1 - \mathrm e^{-0,004t}\right) \lt 20$

Somit ist die Geschwindigkeit der Yacht stets kleiner als $20\;\frac{\text{m}}{\text{s}}.$

b3)

Gesucht ist die Lösung der Gleichung $5000=\displaystyle \int_0^T v(t)\;\mathrm{d} t.$

Mit dem CAS folgt $T \approx 460.$

c1)

Rechenweg anzeigen

$(k_2-k_1)\cdot x^2 &=& 0$

Da $k_1 \neq k_2$ vorausgesetzt ist, ergibt sich keine weitere Lösung für $x$ außer $x = 0$ . Die beiden Funktionen haben also nur den Punkt $P(0 \mid -4)$ gemeinsam.

c2)

Eine waagerechte Tangente liegt vor, wenn die Steigung $\(f_k$ ist. Gesucht ist also die Lösung der folgenden Gleichung:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

Mit der pq-Formel ergibt sich:

$x_{1;2} =\dfrac{k}{3} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{k}{3}\right)^2 - \dfrac{4}{3}}$

Damit $\(f_k$ keine Lösung hat, muss der Ausdruck unter der Wurzel negativ sein:

$\begin{array}[t]{rll} \left(-\dfrac{k}{3}\right)^2 - \dfrac{4}{3} &\lt& 0 \\[5pt] \dfrac{k^2}{9} - \dfrac{4}{3} &\lt& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{4}{3} \\[5pt] \dfrac{k^2}{9} &\lt& \dfrac{4}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 9 \\[5pt] k^2 &\lt& 12 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\ } \\[5pt] k &\lt& \sqrt{12} \end{array}$

Somit besitzt $G_k$ für $k \lt \sqrt{12}$ keine waagerechte Tangente.

c3)

$\boldsymbol{B_3}$ und $\boldsymbol{t_3}$ in Abbildung einzeichnen

$\boldsymbol{x}$ -Koordinate des Berührpunktes berechnen

Um die $x$ -Koordinate des Berührpunktes $B_k$ in Abhängigkeit von $k$ zu bestimmen, wird die Funktion $f_k(x)$ gleich der Gleichung der Tangente an $G_k$ im Punkt $B_k$ gesetzt:

$\(f_k(x)= f$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{k}{2} \end{array}$

Da $x_1 = 0$ dem Punkt $P(0 \mid -4)$ entspricht, ist die gesuchte $x$ -Koordinate $x_2=\frac{k}{2}.$

c4)

Die Tangente $s$ an den Graphen $G_k$ im Punkt $Q(q \mid f_k(q))$ ist wie folgt gegeben:

$s(x)=f_k(q)+f_k^{\prime}(q) \cdot(x-q)$

Mit Hilfe des CAS liefert die Gleichung $s(x)=f_k(x)$ die folgenden beiden Lösungen:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&k-2q \\[5pt] x_2&=&q \end{array}$

Da $x_2$ die $x$ -Koordinate von $Q$ ist und es nur eine weitere Lösung gibt, ist die Aussage somit wahr.

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