Analysis Aufgabe 1

Aufgabe 1: Analysis-CAS

Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=x^2 \cdot \mathrm{e}^{-a \cdot x}$ , $a\gt 0.$
Die Graphen von $f_a$ werden mit $G_a$ bezeichnet.

a1)

Skizziere $G_{0,2}$ für $0\leq x \leq 40.$

$\,$

a2)

Berechne denjenigen Wert von $a$ , für den der Punkt $\left(1 \mid \frac{1}{2}\right)$ auf $G_a$ liegt.

$\,$

a3)

Bestimme die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von $G_a$ in Abhängigkeit von $a.$
$\big[$ Zur Kontrolle: Die Extremstellen von $f_a$ sind $0$ und $\frac{2}{a}.\big]$

$\,$

a4)

Zeige, dass die Extrempunkte von $G_a$ für alle Werte von $a$ auf dem Graphen der Funktion mit der Gleichung $y=\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^2}$ liegen.

(12 P)

Für jeden Wert von $b$ mit $b\gt 0$ sind die Punkte $A(0 \mid 0)$ und $B(b \mid 0)$ sowie der Punkt $C(b \mid f_{0,2}(b))$ gegeben.

b1)

Skizziere ein mögliches Dreieck $ABC$ in deiner Skizze aus Teilaufgabe a).

$\,$

b2)

Bestimme denjenigen Wert von $b$ , für den der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ maximal ist, und gebe den zugehörigen Flächeninhalt an.

$\,$

Der Graph $G_{0,2}$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=p$ mit $p\gt 0$ schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück ein.

b3)

Zeige, dass der Inhalt dieses Flächenstücks für alle Werte von $p$ kleiner als $250$ ist.

(11 P)

Die Abbildung zeigt schematisch den Längsschnitt eines Schiffs, dessen Deck horizontal liegt.

Diagramm eines Bootes mit Beschriftungen zu verschiedenen Bereichen wie Bugspitze, Deck und Kajüte.

Abb. 1: Längsschnitt

Bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen Ursprung an der Bugspitze liegt und dessen $x$ -Achse entlang der Decklinie verläuft, beschreibt die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k$ mit

$k(x)=-0,3 \cdot x^2 \cdot e^{-0,2 \cdot x}$

für $0\leq x \leq 20$ modellhaft die Kiellinie. Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

$c)$

c1)

Es gilt $k(x)=-\frac{3}{10}\cdot f_{0,2}(x).$ Beschreibe, wie der Graph von $k$ aus dem Graphen von $f_{0,2}$ hervorgeht.

$\,$

c2)

Der Kiel hat in einem Punkt seinen größten Neigungswinkel gegen die Horizontale. Bestimme die Größe dieses Neigungswinkels.

$\,$

Der horizontal liegende Boden der Kajüte liegt $2,20\,\text{m}$ unterhalb des Decks. Der parallel dazu verlaufende Boden des Stauraums unterhalb der Kajüte hat in Längsrichtung des Schiffs eine Länge von $6\;\text{m}$ .

c3)

Berechne die Länge des Bodens in Längsrichtung des Schiffs.

$\,$

c4)

Ermittle rechnerisch, wie weit der Boden des Stauraums unterhalb des Bodens der Kajüte liegt.

Bildnachweise [nach oben]

[1]

a1)

$\blacktriangleright$ Graph skizzieren

Für den Graph der Funktion $f_{0,2}$ ergibt sich für $0 \leq x\leq40$ die folgende Darstellung:

Graph mit einer grünen Kurve, die die Werte von y in Abhängigkeit von x darstellt. G₀,₂ ist markiert.

Abb. 1: Graph der Funktion $f_{0,2}$

a2)

$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{a}$ berechnen

Es soll gelten $f(1)=\frac{1}{2}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $a=\text{ln}(2)$ liegt der Punkt $\left(1 \mid \frac{1}{2} \right)$ auf dem Graphen von $f_a$ .

a3)

$\blacktriangleright$ Lage und Art der Extrempunkte bestimmen

Mit dem notwendigen Kriterium $f‘(x)=0$ für lokale Extremstellen und dem CAS ergibt sich:

$x_1=0$ und $x_2=\frac{2}{a}$

Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einer Software-Anwendung.

Abb. 2: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

Das hinreichende Kriterium für lokale Extremstellen liefert für $x_1=0$ und $x_2=\frac{2}{a}$ :

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘‘\left(0\right)&=& 2 \gt 0 \\[5pt] f_a‘‘\left(\frac{2}{a}\right)&=& -2\cdot \mathrm e^{-2} \lt 0 \\[5pt] \end{array}$

An der Stelle $x_1=0$ besitzt $G_a$ also ein lokales Minimum und an der Stelle $x_2=\frac{2}{a}$ ein lokales Maximum.

Die zugehörigen Funktionswerte lassen sich mit dem $\text{CAS}$ bestimmen:

Mathematische Berechnungen und Funktionen in einem Software-Dokument.

Abb. 3: Berechnung mit dem CAS

$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(0\right)&=& 0 \\[5pt] f_a\left(\dfrac{2}{a}\right)&=& \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \\[5pt] \end{array}$

Der Graph von $f_a$ besitzt für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H_a\left(\dfrac{2}{a} \,\Bigg| \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \right)$ und einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid 0).$

a4)

$\blacktriangleright$ Lage der Extrempunkte überprüfen

Für den Hochpunkt $H_a\left(\frac{2}{a} \big| \frac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}\right)$ folgt durch Einsetzen in die gegebene Funktionsgleichung:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}&=& \dfrac{ \left( \frac{2}{a} \right)^2}{\mathrm{e}^2}\\[5pt] \dfrac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}&=& \dfrac{\frac{4}{a^2} }{\mathrm{e}^2}\\[5pt] \dfrac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}&=& \dfrac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}\\[5pt] \end{array}$

Für den Tiefpunkt $T(0 \mid 0)$ folgt entsprechend:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \dfrac{0^2}{\mathrm{e}^2}\\[5pt] 0&=& 0\\[5pt] \end{array}$

Somit sind die Punktproben für alle $a\gt 0$ erfüllt und damit liegen die Extrempunkte auf dem Graphen der gegebenen Funktion.

b1)

$\blacktriangleright$ Dreieck skizzieren

Ein mögliches Dreieck $ABC$ in der Skizze aus Teilaufgabe $a$ sieht folgendermaßen aus:

Diagramm mit einer orangefarbenen Fläche und einer grünen Kurve in einem Koordinatensystem.

Abb. 4: Dreieck $ABC$

b2)

$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{b}$ bestimmen

1. Schritt: Funktion aufstellen

Die Grundseite des Rechtecks lässt sich über die $x$ -Koordinate und die Höhe über den zugehörigen Funktionswert berechnen. Der Flächeninhalt kann also über folgende Funktion beschrieben werden:

$\begin{array}[t]{rll} A(b)&=& a\cdot b \cdot 0,5&\quad \scriptsize \\[5pt] A(b)&=& b\cdot f_{0,2}(b)\cdot 0,5&\quad \scriptsize \\[5pt] A(b)&=& b\cdot b^2\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot b}\cdot 0,5 \end{array}$

2. Schritt: Maximum bestimmen

Vollständige Lösung anzeigen

Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} A‘(b)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{CAS}\\[5pt] b_1&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] b_2&=&15 \end{array}$

Mit der Bedingung $b \gt 0$ folgt, dass nur die Lösung $b_2=15$ möglich ist.

Hinreichendes Kriterium für Extremstellen anwenden:

$A‘‘(15)\approx -32,55 \lt 0 \;\;\; \rightarrow \;H$

Somit besitzt der Graph der Funktion $A(b)$ an der Stelle $b=15$ einen Hochpunkt.

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=& b\cdot f_{\frac{1}{5}}(x)\cdot 0,5\\[5pt] &=& 15^3\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot 15}\cdot 0,5\\[5pt] &=& \dfrac{3.375}{2e^3} \\[5pt] &\approx& 84,02 \end{array}$

Der maximale Flächeninhalt beträgt etwa $84,02\;\text{FE}$ .

b3)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Für den gesuchten Flächeninhalt im ersten Quadranten folgt mit den Grenzen $0$ und $p$ und dem CAS:

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Gleichungen und Berechnungen in einem Dokument.

Abb. 5: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

Die Größe des Flächenstücks beträgt

Vollständige Lösung anzeigen

Dieser besteht aus zwei Summanden, von denen nur einer, $250,$ positiv ist. Der andere ist wegen des negativen Vorzeichens und weil $p\gt 0$ und $\mathrm e^{-\frac{p}{5}} \gt 0$ gilt, negativ. Daraus folgt, dass der Wert des Terms und damit der Flächeninhalt immer kleiner als $250$ $\text{ FE}$ ist.

c1)

$\blacktriangleright$ Zusammenhang der Graphen beschreiben

Der Funktionsterm von $k$ entsteht durch Multiplikation des Funktionsterms von $f_{0,2}$ mit dem Faktor $-0,3.$ Durch das negative Vorzeichen wird der Graph von $f_{0,2}$ an der $x$ -Achse gespiegelt. Durch den Faktor $0,3$ wird der Graph entlang der $y$ -Achse gestaucht.
Der Graph von $k$ geht also aus dem Graphen von $f_{0,2}$ durch Stauchung um den Faktor $0,3$ entlang der $y$ -Achse und Spiegelung an der $x$ -Achse hervor.

c2)

$\blacktriangleright$ Betrag des größten Neigungswinkels berechnen

1. Schritt: Stelle mit der größten Steigung berechnen

Die Stellen mit der größten Steigung des Graphen von $k$ , sind die Extremstellen von $k‘$ . Mit dem notwendigen Kriterium für eine Extremstelle folgt:

$x_{1,2}=\dotsc$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Überprüfung mit dem hinreichenden Kriterium ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} &k‘‘‘\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& 0,09 \neq 0 \\[10pt] &k‘‘‘\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& -5,58 \neq 0 \\[10pt] \end{array}$

An beiden Stellen besitzt der Graph von $k‘$ also einen Extrempunkt. Für die Steigung des Graphen von $k$ an diesen Stellen folgt:

$\begin{array}[t]{rll} &k‘\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& -0,69 \\[10pt] &k‘\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& 0,24 \\[5pt] \end{array}$

Die betragsmäßig größte Steigung hat der Graph von $k$ also an der Stelle $x_s = -5\cdot \sqrt{2}+10$ mit $k‘(x_s)\approx -0,69.$

2. Schritt: Größe des Winkels berechnen

$\alpha \approx -34,61^{\circ}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Betrag des betragsmäßig größten Neigungswinkels des Kiels gegenüber der Horizontalen beträgt ca. $34,61^{\circ}.$

c3)

$\blacktriangleright$ Länge des Bodens der Kajüte bestimmen

Da der Boden der Kajüte $2,20 \,\text{m}$ unterhalb des Decks liegt, müssen die Stellen $x_1$ und $x_2$ bestimmt werden, für welche $k(x_1)=k(x_2)=-2,20$ gilt. Mit dem Solve-Befehl deines CAS folgt:

$x_1 \approx 4,0617$ und $x_2 \approx 19,99$

Damit folgt für die Länge $l_K$ des Bodens der Kajüte:

$\begin{array}[t]{rll} l_K&\approx& 19,99 - 4,0617 \\[5pt] &\approx & 15,92 \end{array}$

Damit beträgt die Länge des Bodens der Kajüte in Längsrichtung des Schiffs etwa $15,92 \,\text{m}$ .

c4)

$\blacktriangleright$ Lage des Stauraums berechnen

Stelle mit dem Solve-Befehl des CAS suchen, an der gilt:

$k(x)=k(x+6)$

Es ergibt sich $x\approx 7,3$ . Der zugehörige $y$ -Wert ist $k(7,3)\approx -3,7$ .

Die Kajüte liegt $2,2\;\text{m}$ unterhalb des Decks. Somit ergibt sich:

$3,7-2,2=1,5$

Der Boden des Stauraums liegt ungefähr $1,5\;\text{m}$ unterhalb des Bodens der Kajüte.

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[5]

a1)

$\blacktriangleright$ Graph skizzieren

Für den Graph der Funktion $f_{0,2}$ ergibt sich für $0 \leq x\leq40$ die folgende Darstellung:

Abb. 1: Graph der Funktion $f_{0,2}$

a2)

$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{a}$ berechnen

Es soll gelten $f(1)=\frac{1}{2}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $a=\text{ln}(2)$ liegt der Punkt $\left(1 \mid \frac{1}{2} \right)$ auf dem Graphen von $f_a$ .

a3)

$\blacktriangleright$ Lage und Art der Extrempunkte bestimmen

Mit dem notwendigen Kriterium $f‘(x)=0$ für lokale Extremstellen und dem CAS ergibt sich:

$x_1=0$ und $x_2=\frac{2}{a}$

Das hinreichende Kriterium für lokale Extremstellen liefert für $x_1=0$ und $x_2=\frac{2}{a}$ :

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘‘\left(0\right)&=& 2 \gt 0 \\[5pt] f_a‘‘\left(\frac{2}{a}\right)&=& -2\cdot \mathrm e^{-2} \lt 0 \\[5pt] \end{array}$

An der Stelle $x_1=0$ besitzt $G_a$ also ein lokales Minimum und an der Stelle $x_2=\frac{2}{a}$ ein lokales Maximum.

Die zugehörigen Funktionswerte lassen sich mit dem $\text{CAS}$ bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(0\right)&=& 0 \\[5pt] f_a\left(\dfrac{2}{a}\right)&=& \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \\[5pt] \end{array}$

Screenshot einer mathematischen Software mit definierten Funktionen und Ableitungen.

Abb. 2: keyboard $\to$ Math2

Mathematische Gleichung zur Lösung einer Funktion, dargestellt in einer Softwareoberfläche.

Abb. 3: solve-Befehl

Mathematische Berechnungen und Funktionen in einer Softwareoberfläche.

Abb. 4: Funktionswerte der zweiten Ableitung berechnen

a4)

$\blacktriangleright$ Lage der Extrempunkte überprüfen

Für den Hochpunkt $H_a\left(\frac{2}{a} \big| \frac{4 \cdot \mathrm{e}^{-2}}{a^2}\right)$ folgt durch Einsetzen in die gegebene Funktionsgleichung:

Für den Tiefpunkt $T(0 \mid 0)$ folgt entsprechend:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \dfrac{0^2}{\mathrm{e}^2}\\[5pt] 0&=& 0\\[5pt] \end{array}$

Somit sind die Punktproben für alle $a\gt 0$ erfüllt und damit liegen die Extrempunkte auf dem Graphen der gegebenen Funktion.

b1)

$\blacktriangleright$ Dreieck skizzieren

Ein mögliches Dreieck $ABC$ in der Skizze aus Teilaufgabe $a$ sieht folgendermaßen aus:

Abb. 5: Dreieck $ABC$

b2)

$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{b}$ bestimmen

1. Schritt: Funktion aufstellen

2. Schritt: Maximum bestimmen

Vollständige Lösung anzeigen

Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} A‘(b)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{CAS}\\[5pt] b_1&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] b_2&=&15 \end{array}$

Mit der Bedingung $b \gt 0$ folgt, dass nur die Lösung $b_2=15$ möglich ist.

Hinreichendes Kriterium für Extremstellen anwenden:

$A‘‘(15)\approx -32,55 \lt 0 \;\;\; \rightarrow \;H$

Somit besitzt der Graph der Funktion $A(b)$ an der Stelle $b=15$ einen Hochpunkt.

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=& b\cdot f_{\frac{1}{5}}(x)\cdot 0,5\\[5pt] &=& 15^3\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot 15}\cdot 0,5\\[5pt] &=& \dfrac{3.375}{2e^3} \\[5pt] &\approx& 84,02 \end{array}$

Der maximale Flächeninhalt beträgt etwa $84,02\;\text{FE}$ .

b3)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Für den gesuchten Flächeninhalt im ersten Quadranten folgt mit den Grenzen $0$ und $p$ und dem CAS:

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Software mit Funktionen zur Definition und Integration von Funktionen.

Abb. 6: Flächeninhalt

Die Größe des Flächenstücks beträgt

Vollständige Lösung anzeigen

Dieser besteht aus vier Summanden, von denen nur einer, $250,$ positiv ist. Die übrigen drei sind wegen des negativen Vorzeichens und weil $p\gt 0$ und $\mathrm e^{-\frac{p}{5}} \gt 0$ gilt, negativ. Daraus folgt, dass der Wert des Terms und damit der Flächeninhalt immer kleiner als $250$ $\text{ FE}$ ist.

c1)

$\blacktriangleright$ Zusammenhang der Graphen beschreiben

c2)

$\blacktriangleright$ Betrag des größten Neigungswinkels berechnen

1. Schritt: Stelle mit der größten Steigung berechnen

Die Stellen mit der größten Steigung des Graphen von $k$ , sind die Extremstellen von $k‘$ . Mit dem notwendigen Kriterium für eine Extremstelle folgt:

$x_{1,2}=\dotsc$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Überprüfung mit dem hinreichenden Kriterium ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} &k‘‘‘\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& 0,09 \neq 0 \\[10pt] &k‘‘‘\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& -5,58 \neq 0 \\[10pt] \end{array}$

An beiden Stellen besitzt der Graph von $k‘$ also einen Extrempunkt. Für die Steigung des Graphen von $k$ an diesen Stellen folgt:

$\begin{array}[t]{rll} &k‘\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& -0,69 \\[10pt] &k‘\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& 0,24 \\[5pt] \end{array}$

Die betragsmäßig größte Steigung hat der Graph von $k$ also an der Stelle $x_s = -5\cdot \sqrt{2}+10$ mit $k‘(x_s)\approx -0,69.$

2. Schritt: Größe des Winkels berechnen

$\alpha \approx -34,61^{\circ}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Betrag des betragsmäßig größten Neigungswinkels des Kiels gegenüber der Horizontalen beträgt ca. $34,61^{\circ}.$

c3)

$\blacktriangleright$ Länge des Bodens der Kajüte bestimmen

$x_1 \approx 4,0617$ und $x_2 \approx 19,99$

Damit folgt für die Länge $l_K$ des Bodens der Kajüte:

$\begin{array}[t]{rll} l_K&\approx& 19,99 - 4,0617 \\[5pt] &\approx & 15,92 \end{array}$

Damit beträgt die Länge des Bodens der Kajüte in Längsrichtung des Schiffs etwa $15,92 \,\text{m}$ .

c4)

$\blacktriangleright$ Lage des Stauraums berechnen

Stelle mit dem Solve-Befehl des CAS suchen, an der gilt:

$k(x)=k(x+6)$

Es ergibt sich $x\approx 7,3$ . Der zugehörige $y$ -Wert ist $k(7,3)\approx -3,7$ .

Die Kajüte liegt $2,2\;\text{m}$ unterhalb des Decks. Somit ergibt sich:

$3,7-2,2=1,5$

Der Boden des Stauraums liegt ungefähr $1,5\;\text{m}$ unterhalb des Bodens der Kajüte.

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