Analysis

Analysis - Aufgabe 2

Ein Designer möchte Glaskaraffen der folgenden Form entwerfen.

Grafik mit Außenrandkurve und Innenrandkurve in einem Koordinatensystem.

Der Innenraum der Karaffe wird durch den Rotationskörper modelliert, der durch Rotation des Graphen der Funktion $f$ mit

$f(x)=5\cdot (x+1)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{3}\cdot x}$

über dem Intervall [ $0;12$ ] um die $x$ -Achse entsteht.
Eine Längeneinheit entspricht einem Zentimeter.

Berechne sowohl den maximalen als auch den minimalen Innendurchmesser der Karaffe.

Bestimme das Fassungsvermögen der Karaffe und berechne die Höhe, in der der Eichstrich für $0,7$ Liter angebracht werden muss.

Ermittle die Stelle $x\in[0,12]$ , an der der Graph von $f$ die betragsmäßig größte Steigung hat.

(17P)

b) Zur Modellierung der Außenfläche der Karaffe wird der Graph der Funktion $g$ mit
$g(x)=5,5\cdot (x+1)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{3}\cdot x}$ im Intervall $[-0,5;12]$ verwendet. Die Karaffe steht auf einem ebenen Tisch.

Bestimme den Inhalt der Berührfläche von Karaffe und Tisch.

Berechne den Winkel, den die Außenrandkurve mit der Tischoberfläche einschließt.

$1\,\text{cm}^3$ Glas hat die Masse $2,5\,\text{g}$ . Berechne die Masse der Glaskaraffe.

(11P)

c) Der Designer variiert die Formen der Karaffen. Er verwendet nun zur Modellierung möglicher Innenrandkurven die Funktionen $h_{a;\,b}$ mit

$h_{a;\,b}(x)=a(x+1)\mathrm{e}^{-bx}\,\,\, a\gt 0\; \; 0\lt b \lt 1$ .

Jeder der zugehörigen Graphen hat genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt.

Skizziere die Graphen der Funktion $h_{6;\,0,4}$ und $h_{4;\,0,6}$ im Intervall $[0;\,12]$ .

Der Designer möchte, dass Maximalstelle und Wendestelle von $h_{a;\,b}$ genau $5\,\text{cm}$ auseinanderliegen und der maximale Innendurchmesser der zugehörigen Karaffe $14\,\text{cm}$ beträgt.
Berechne die zugehörigen Parameterwerte für $a$ und $b$ .

(8P)

d) $P(x\mid g(x))$ ist ein Punkt auf dem Graphen von $g$ aus Aufgabenteil b). Sei $d(x)$ der Abstand dieses Punktes $p$ vom Punkt $S(0\mid 5)$ .
Bestimme $x$ so, dass dieser Abstand minimal wird.

(4P)

a) $\blacktriangleright$ Maximalen Innendurchmesser berechnen

In diesem Aufgabenteil ist der maximale Innendurchmesser des Rotationskörpers gesucht. Beachte dafür, dass die $x$ -Achse in der Skizze die vertikale Achse ist und die $y$ -Achse die horizontale Achse.

Der Innendurchmesser an einer Stelle $x$ entspricht dem doppelten Funktionswert $2 \cdot f(x)$ . Damit ergibt sich der maximale Innendurchmesser aus dem doppelten globalen Maximum der Funktion $f$ im Intervall $[0;12]$ .

Um einen Extrempunkt $\left(x_{\text{E}} \mid f(x_{\text{E}})\right)$ einer Funktion $f$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:

Notwendige Bedingung: $f‘(x_{\text{E}}) = 0$

Hinreichende Bedingung:
- $f‘‘(x_{\text{E}}) \lt 0$ $\Rightarrow$ Hochpunkt des Graphen von $f$ an der Stelle $x_{\text{E}}$ .
  $f‘‘(x_{\text{E}}) \gt 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt des Graphen von $f$ an der Stelle $x_{\text{E}}$
- Oder: Vorzeichen-Wechsel der ersten Ableitung:
  Wert der ersten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_{\text{E}}$ positiv und nach $x_{\text{E}}$ negativ $\Rightarrow$ $x_{\text{E}}$ Hochpunkt des Graphen.
  Wert der ersten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_{\text{E}}$ negativ und nach $x_{\text{E}}$ positiv $\Rightarrow$ $x_{\text{E}}$ Tiefpunkt des Graphen.

Überprüfe, ob die erste Ableitung $f‘$ eine Nullstelle besitzt (Notwendige Bedingung) und welches Vorzeichen die zweite Ableitung $f‘‘$ an der Nullstelle besitzt (Hinreichende Bedingung).

1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

Nehme zum Bestimmen der Nullstelle der $1.$ Ableitung deinen CAS zur Hilfe: Speichere dort den Funktionsterm $f(x)=5 \cdot (x+1) \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{3} \cdot x}$ ab.

Wähle dann unter

menu 4: Analysis 1: Ableitung

den Befehl zum Bestimmen der 1. Ableitung von $f(x)$ aus. Den Befehl zum Bestimmen einer Nullstelle findest du unter:

menu 3: Algebra 1: Löse

Screenshot einer mathematischen Berechnung mit Funktionen und Ableitungen.

Der CAS liefert dir die potentielle Extremstelle $x_H=2$ , die im vorgegebenen Intervall $[0; 12]$ liegt.

2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

Bestimme mit Hilfe deines CAS die 2. Ableitung von $f(x)$ , indem du die 1. Ableitung $f‘(x)$ erneut ableitest. Setze dort die potentielle Extremstelle $x_H=2$ ein:

Mathematische Berechnungen in einer Software, die Ableitungen und Gleichungen löst.

Da $\mathrm e^{-\frac{2}{3}} \gt 0$ , ist die 2. Ableitung von $f(x)$ an der Stelle $x_H=2$ negativ. Somit ist an der Stelle $x_H=2$ ein Maximum und dein CAS liefert dir den maximalen Durchmesser, indem du $2 \cdot f(2)$ berechnest:

Mathematische Aufgabe mit Berechnungen und Ergebnissen in einer Softwareanwendung.

Der maximale Innendurchmesser beträgt ca. $15,4\text{ cm}$ .

$\blacktriangleright$ Minimalen Innendurchmesser berechnen

Hier ist der minimale Innendurchmesser des Rotationskörpers gesucht. Aus dem vorigen Aufgabenteil weißt du, dass die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt nur die Stelle $x_H=2$ liefert. Also nimmt der Graph von $f$ sein Minimum auf dem Rand des Intervalls $[0;12]$ an. Der CAS liefert dir die Funktionswerte von $f$ an den Stellen $x_1=0$ und $x_2=12$ :

Mathematische Berechnungen und Ergebnisse in einer Softwareansicht.

Es gilt:

$5\gt 1,19 \approx 65 \cdot \mathrm e^{-4}=f(12)$ .

$f$ nimmt sein Minimum im Intervall $[0;12]$ an der Stelle $x_2=12$ an und der minimale Innendurchmesser beträgt $2 \cdot f(12) = 130 \cdot \mathrm e^{-4} \text{ cm} \approx 2,38 \text{ cm}$ .

$\blacktriangleright$ Fassungsvermögen der Karaffe bestimmen

Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass der Rotationskörper durch Rotation von $f(x)$ im Intervall $[0;12]$ um die $x$ -Achse entsteht. Nutze die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers bei Rotation um die $x$ -Achse:

Volumen bei Rotation um die $x$ -Achse: $V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} (f(x))^2\mathrm dx$

Das Intervall $[0;12]$ liefert dir die Integrationsgrenzen. Wähle in deinem CAS unter

menu 4: Analysis 3: Integral

den Befehl zum Berechnen des Integrals. Durch Einsetzen der Integrationsgrenzen $x_1=0$ und $x_2=12$ und $\left(f(x)\right)^2$ erhältst du:

Mathematische Berechnungen und Integrale in einer Softwareanwendung.

Damit beträgt das Fassungsvermögen der Karaffe etwa $993 \text{ cm}^3 = 0,993 \text{ Liter}$ .

$\blacktriangleright$ Höhe des Eichstrichs bestimmen

Gesucht ist die Höhe des Eichstrichs für $0,7\text{ Liter}$ . Dazu muss das Volumen der Karaffe vom inneren Glasboden bis zum Eichstrich $700 \text{ cm}^3$ betragen. Berechne die obere Grenze des Integrals, sodass der Wert des Terms zur Berechnung des Volumes gleich $700$ ist. Nutze deinen CAS und speichere mit dem Befehl

menu 4: Analysis 3: Integral

den Term zur Berechnung des Volumens $\pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{b} \left(f(x)\right)^2 \;\mathrm dx$ ab. Setze diesen gleich $700$ und löse mit folgendem Befehl nach der gesuchten Integrationsgrenze $b$ auf:

menu 3: Algebra 1: Löse

Du erhältst:

Mathematische Gleichung mit Integral und Lösung für b in einer Softwareanwendung.

Der Eichstrich wird in der Höhe von ca $4,5 \text{ cm}$ über dem inneren Glasboden angebracht.

$\blacktriangleright$ Stelle der betragsmäßig größten Steigung des Graphen von $\boldsymbol{f}$ ermitteln

Die Stelle $x \in [0;12]$ mit der betragsmäßig größten Steigung des Graphen von $f$ kann an einer Wendestelle des Graphen oder an einer Randstelle des Intervalls $[0;12]$ liegen. Bestimme die Wendestellen des Graphen und vergleiche die Steigung an diesen Stellen mit der Steigung an den Randstellen des betrachteten Intervalls. Setze dazu die ermittelten Stellen in die Funktiosgleichung der 1. Ableitung von $f(x)$ ein.

Eine Wendestelle einer Funktion ist durch die notwendige und hinreichende Bedingung für eine Wendestelle bestimmt.

Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle besagt, dass die zweite Ableitung der Funktion an der Wendestelle gleich Null sein muss. Also benötigtst du die zweite Ableitung von $f$ .

Mit der hinreichenden Bedingung überprüfst du, ob es sich um die Stelle der größten Steigung handelt. Setze dafür die potenziellen Wendestellen in die Funktionsgleichung der dritten Ableitung von $f$ ein und überprüfe das Vorzeichen.

1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

Mit dem Befehl

menu 4: Analysis 1: Ableitung

kannst du die 2. Ableitung von $f$ mit dem CAS bestimmen. Hast du diese bereits im 1. Aufgabenteil gespeichert, musst du sie nicht neu ermitteln. Setze $f‘‘(x)$ gleich Null und löse mit dem solve-Befehl nach $x$ auf:

Mathematische Berechnungen in einer Software, inklusive Ableitungen und Lösungen.

Eine mögliche Wendestelle liegt bei $x_W=5$ .

2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

Berechne die 3. Ableitung mit Hilfe des CAS und setze $x_W=5$ ein, um die hinreichende Bedingung zu überprüfen:

Mathematische Berechnung mit Ableitungen und Dezimaldarstellung in einer Softwareanwendung.

Da $f‘‘‘(5) \approx 0,1 \neq 0$ , besitzt der Graph von $f$ an der Stelle $x_W=5$ eine Wendestelle.

3. Schritt: Potentielle Stellen überprüfen

Mögliche Stellen der betragsmäßig größten Steigung des Graphen von $f$ sind die Randstellen $x_1=0$ , $x_2=12$ und die Wendestelle $x_W$ . Setze diese in den Betrag der 1. Ableitung $f‘(x)$ ein. Dein CAS liefert dir:

Mathematische Berechnung mit Ableitungen und Ergebnissen für verschiedene Werte.

Die Steigung ist an der Stelle $x_1=0$ betragsmäßig am größten.

b) $\blacktriangleright$ Inhalt der Berührfläche von Karaffe und Tisch bestimmen

Die Berührfläche von Karaffe und Tisch ist kreisförmig. Der Radius entspricht dem Funktionswert von $g$ an der Stelle $x_r=-0,5$ . Berechne den gesuchten Flächeninhalt mit Hilfe der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$ :

$A= \pi \cdot r^2$

Speichere den Funktionsterm $g(x)=5,5 \cdot (x+1) \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{3}\cdot x}$ in deinem CAS. Setze den Radius $g(-0,5)$ in die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises ein und berechne mit Hilfe des CAS.

Mathematische Berechnungen in einem Software-Interface mit Funktionen und Ergebnissen.

Somit hat die Berührfläche von Karaffe und Tisch einen Flächeninhalt von ca. $33,16 \text{ cm}^2$ .

$\blacktriangleright$ Gesuchten Winkel berechnen

Hier ist der Winkel zwischen Außenrandkurve, die durch den Graphen der Funktion $g$ dargestellt wird, und der Tischoberfläche, die durch die Gerade $x=-0,5$ dargestellt wird, gesucht.

Berechne dazu die Steigung an der Stelle $x_r=-0,5$ durch Einsetzen in die 1. Ableitung von $g$ .

Nutze aus, dass der Tangens des Winkels zwischen einer Geraden und der $x$ -Achse genau der Steigung der Geraden entspricht: $g‘(x_r)=\tan(\alpha)$ .
Damit kannst du den Winkel $\alpha$ zwischen Funktionsgraphen und $x$ -Achse berechnen.

Der gesuchte Winkel $\boldsymbol{\color{#87c800}{\beta}}$ zwischen Funktionsgraphen und der Geraden $x=-0,5$ ergibt sich aus der Gleichung $\beta + \alpha=90^{\circ}$ , da $\alpha$ und $\beta$ zusammen den Winkel zwischen $x$ - und $y$ -Achse, der $90^{\circ}$ beträgt, ergeben. Sowohl $\alpha$ als auch $\beta$ sind größer oder gleich $0^{\circ}$ und kleiner oder gleich $90^{\circ}$ .

1. und 2. Schritt: Steigung berechnen und Hilfswinkel $\boldsymbol{\alpha}$ ermitteln

Berechne mit

menu 4: Analysis 1: Ableitung

die 1. Ableitung von $g$ und setze dort $x_r=-0,5$ ein. Setze $g‘(-0,5)=\tan(\alpha)$ und löse mit

menu 3: Algebra 1: Löse

nach $\alpha \in [0;90]$ auf.

Mathematische Gleichungen und Berechnungen auf einem Bildschirm.

Für den Hilfswinkel $\alpha$ gilt: $\alpha \approx 79,54^{\circ}$ .

3. Schritt: Gesuchten Winkel $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

Nutze die Beziehung zwischen $\alpha$ und $\beta$ . Umformen von $\beta + \alpha=90^{\circ}$ ergibt $\beta=90^{\circ}-\alpha$ . Setze hier $\alpha \approx 79,54^{\circ}$ ein:

$\beta=90^{\circ}-\alpha=90^{\circ}-79,54^{\circ} = 10,46^{\circ}$

Der Winkel, den die Außenrandkurve mit der Tischoberfläche einschließt, beträgt etwa $10,46^{\circ}$ .

$\blacktriangleright$ Masse der Glaskaraffe berechnen

Berechne die Masse der Glaskaraffe. Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass $1 \text{ cm}^3$ Glas $2,5 \text{ g}$ wiegt. Berechne das Volumen des Glasrandes, indem du das Volumen des Glasinneren vom Volumen des Glausäußeren subtrahierst. Die einzelnen Volumina erhältst du wie im Aufgabenteil a)(2) mit der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers:

Volumen bei Rotation um die $x$ -Achse: $V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} (f(x))^2\mathrm dx$

Das Volumen des Glasrandes kannst du mit der Information aus der Aufgabenstellung in die Masse der Glaskaraffe umrechnen.

Den Funktionsterm von $g(x)$ hast du bereits in deinem CAS gespeichert. Speichere noch den Funktionsterm von $f$ . Nutze

menu 4: Analysis 3: Integral

den Befehl zum Berechnen des Integrals. Der äußere Glasrand besitzt die untere Integrationsgrenze $a=-0,5$ und die obere Integrationsgrenze $b=12$ , wobei das Glasinnere die Integrationsgrenzen $x_1=0$ und $x_2=12$ besitzt. Es ergibt sich:

Mathematische Gleichung mit Integralen und Funktionen auf einem Bildschirm.

Die Masse der Glaskaraffe erhältst du, indem du das Volumen mit $2,5$ multiplizierst:

$240,26 \cdot 2,5 \approx 600,65$

Die Glaskaraffe wiegt etwa $601 \text{ g}$ .

c) $\blacktriangleright$ $\boldsymbol{h_{6;0,4}}$ und $\boldsymbol{h_{4;0,6}}$ skizzieren

Skizziere die Graphen von $h_{6;0,4}=6\cdot(x+1)\cdot \mathrm e^{-0,4 \cdot x}$ und $h_{4;0,6}=4\cdot(x+1)\cdot \mathrm e^{-0,6 \cdot x}$ . Verschaffe dir dazu einen Überblick wichtiger Punkte des Graphen der Funktion mit deinem CAS.

Bestimme Extrem- und Wendepunkte mit Hilfe der hinreichenden und der notwendigen Bedingung, sowie den $y$ -Achsenabschnitt der Funktionen, um die Graphen besser zeichnen zu können. Für die Graphen beider Funktionen gilt, dass sie sich der $x$ -Achse annähern, je größer die $x$ -Werte werden:

$\lim \limits_{x\rightarrow \infty}\left(6\cdot (x+1) \cdot e^{-0,4\cdot x}\right) = 0$ ,

$\lim \limits_{x\rightarrow \infty} \left(4\cdot (x+1) \cdot e^{-0,6\cdot x}\right) = 0$ .

Definiere zunächst die beiden Funktionen sowie deren Ableitungen in deinem CAS.

Screenshot einer mathematischen Software mit Funktionen und Ableitungen.

Definiere analog auch die zweite und dritte Ableitung der Funktionen (d2h_1, d2h_2, d3h_1, d3h_2). Damit kannst du Extrempunkte

Mathematische Berechnungen und Lösungen auf einem Bildschirm, vermutlich aus einer Software oder App.

und Wendepunkte

Screenshot einer Berechnung mit verschiedenen Werten und Lösungen in einer mathematischen Software.

sowie $y$ -Achsenabschnitte der Funktionen bestimmen:

Tabelle mit Werten und Funktionen, möglicherweise für graphische Skizzen oder mathematische Berechnungen.

Der Graph der Funktion $h_{6;0,4}$ hat einen Hochpunkt $H_1(1,5 \mid 8,23)$ , einen Wendepunkt $W_1(4 \mid 6,06)$ und den $y$ -Achsenabschnitt $6$ .

Der Graph der Funktion $h_{4;0,6}$ hat einen Hochpunkt $H_1(\frac{2}{3} \mid 4,47)$ , einen Wendepunkt $W_1(\frac{7}{3} \mid 3,29)$ und den $y$ -Achsenabschnitt $4$ .

Mit Hilfe dieser Punkte kannst du die beiden Graphen skizzieren:

Graph mit zwei Kurven in Blau und Rot auf schwarzem Hintergrund, beschriftet mit h6;0,4 und h4;0,6.

$\blacktriangleright$ Parameterwerte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ berechnen

Gesucht sind $a$ und $b$ , sodass Maximal- und Wendestelle von $h_{a;b}$ genau $5 \text{ cm}^2$ auseinander liegen und der maximale Innendurchmesser der Karaffe $14 \text{ cm}^2$ beträgt.

Überprüfe dazu die notwendige Bedingung für eine lokale Maximalstelle sowie die notwendige Bedingung für eine Wendestelle der Funktion $h_{a;b}$ und erhalte die allgemeine Formen einer potentiellen Maximal- oder Wendestelle. Die Differenz der beiden Stellen setzt du gleich $5$ , da diese $5 \text{ cm}$ auseinander liegen sollen. Bestimme somit den Wert des Parameters $b$ .

Der maximale Innendurchmesser soll $14 \text{ cm}^2$ betragen. Da der Innendurchmesser dem doppelten Funtionswert entspricht, setze den Funktionswert an der Maximalstelle gleich $7$ . Daraus erhältst du den Parameter $b$ .

1. Schritt: Parameter $\boldsymbol{b}$ bestimmen

Notwendig für eine lokale Maximalstelle $x_H$ von $h_{a;b}$ ist, dass die 1. Ableitung gleich Null ist, also $\boldsymbol{\color{#87c800}{h‘_{a;b}(x_H)=0}}$ gilt. Speichere $h‘_{a;b}$ in deinem CAS und bestimme die 1. Ableitung mit folgendem Befehl:

menu 4: Analysis 1: Ableitung

Mit dem solve-Befehl liefert dir dein CAS die Nullstellen:

Mathematische Gleichungen und Berechnungen zur Ableitung und Lösung in einer Softwareanwendung.

Da $a\gt 0$ in der Aufgabenstellung vorausgesetzt ist, besitzt eine Maximalstelle von $h_{a;b}$ die Form $\dfrac{-(b-1)}{b}$ .

Notwendig für eine Wendestelle $x_W$ von $h_{a;b}$ ist, dass $x_W$ eine Nullstelle der zweiten Ableitung $h‘‘_{a;b}$ ist. Leite mit den gleichen Befehlen wie bei der Bestimmung der Maximalstelle $h‘_{a;b}$ ab und bestimme die Nullstellen von $h‘‘_{a;b}$ :

Mathematische Aufgabenstellung zur Lösung von Gleichungen und Ableitungen.

Da $b \gt 0$ in der Aufgabenstellung gefordert ist, besitzt eine Wendestelle von $h_{a;b}$ die Form $\dfrac{-(b-2)}{b}$ .

Setze die Differenz einer Maximal- und einer Wendestelle gleich $5$ und löse mit dem solve-Befehl nach $b$ auf:

Der CAS liefert dir, dass $b=\dfrac{1}{5}$ ist und $h_{a;b}$ an der Stelle $x_H=\dfrac{-(\frac{1}{5}-1)}{\frac{1}{5}}=4$ eine potentielle Maximalstelle besitzt und an der Stelle $x_W=\dfrac{-(\frac{1}{5}-2)}{\frac{1}{5}}=9$ eine potentielle Wendestelle.

2. Schritt: Parameter $\boldsymbol{a}$ bestimmen

Mathematische Gleichung und Berechnungen auf einem Bildschirm dargestellt.

Die gesuchten Parameterwerte lauten $b=\dfrac{1}{5}$ und $a=\dfrac{7}{5}\cdot \mathrm e^{\frac{4}{5}} \approx 3,12$ .

d) $\blacktriangleright$ Gesuchtes $\boldsymbol{x}$ bestimmen

In der Aufgabenstellung ist ein Punkt $P\left(x \mid g(x) \right)$ auf $g$ sowie der Punkt $S\left(0 \mid 5\right)$ gegeben. Du sollst nun das $x$ berechnen, dass den Abstand $d(x)$ der beiden Punkte minimiert. Mache dir die Situation anhand folgender Skizze klar:

Diagramm mit Achsen und Linien zur Veranschaulichung mathematischer Konzepte.

Mit dem Satz des Pythagoras erhältst du die Länge $d(x)$ als Funktion von $x$ . Um den minimalen Abstand zu ermitteln, ermittelst du das globale Minimum der Funktion $d(x)$ . Prüfe dazu die notwendige und die hinreichende Bedingung für einen Extrempunkt.

1. Schritt: $\boldsymbol{d(x)}$ bestimmen

Da $d(x)$ die Hypothenuse des in der Skizze eingezeichneten Dreiecks ist, ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras:

$d(x)=\sqrt{\; ||\overrightarrow{OP}-\begin{pmatrix}0\\g(x)\end{pmatrix}||+ ||\overrightarrow{OS}-\begin{pmatrix}0\\g(x)\end{pmatrix}}||$

Einsetzen der Koordinaten der Punkte $S\left(0 \mid 5\right)$ und $P\left(x \mid g(x) \right)$ ergibt:

$d(x)=\sqrt{\left(x-0\right)^2 + \left(g(x)-5\right)^2}=\sqrt{x^2+ \left(g(x)-5\right)^2}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen

Speichere $d(x)$ in deinem CAS und leite den Funktionsterm mit

menu 4: Analysis 1: Ableitung

ab. Mit Hilfe des Befehls

menu 3: Algebra 1: Löse

bestimmst du die Nullstellen der 1. Ableitung $d‘(x)$ und überprüfst somit das notwendige Kriterium.

Mathematische Aufgaben in einer Software, die Funktionen und Ableitungen zeigt. Ergebnisse und Berechnungen sind sichtbar.

Dein CAS liefert dir, dass $x_M\approx -0,12$ eine potentielle Extremstelle ist.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen

Leite $d‘(x)$ ein weiteres Mal ab und bestimme die Nullstellen von $d‘‘(x)$ , um die hinreichende Bedingung zu überprüfen:

Screenshot einer mathematischen Software mit Ableitungen und Lösungen von Funktionen.

Da $d‘‘(x_M)\approx 137,97\gt 0$ ist, besitzt $d(x)$ an der Stelle $x_M=-0,12$ ein lokales Minimum. Dies ist auch das globale Minimum, da es keine weiteren Extremstellen gibt.

Der Abstand wird für $x_M=-0,12$ minimal.

a) $\blacktriangleright$ Maximalen Innendurchmesser berechnen

Um einen Extrempunkt $\left(x_{\text{E}} \mid f(x_{\text{E}})\right)$ einer Funktion $f$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:

Notwendige Bedingung: $f‘(x_{\text{E}}) = 0$

Hinreichende Bedingung:
- $f‘‘(x_{\text{E}}) \lt 0$ $\Rightarrow$ Hochpunkt des Graphen von $f$ an der Stelle $x_{\text{E}}$ .
  $f‘‘(x_{\text{E}}) \gt 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt des Graphen von $f$ an der Stelle $x_{\text{E}}$
- Oder: Vorzeichen-Wechsel der ersten Ableitung:
  Wert der ersten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_{\text{E}}$ positiv und nach $x_{\text{E}}$ negativ $\Rightarrow$ $x_{\text{E}}$ Hochpunkt des Graphen.
  Wert der ersten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_{\text{E}}$ negativ und nach $x_{\text{E}}$ positiv $\Rightarrow$ $x_{\text{E}}$ Tiefpunkt des Graphen.

Überprüfe, ob die erste Ableitung $f‘$ eine Nullstelle besitzt (Notwendige Bedingung) und welches Vorzeichen die zweite Ableitung $f‘‘$ an der Nullstelle besitzt (Hinreichende Bedingung).

1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

Nehme zum Bestimmen der Nullstelle der $1.$ Ableitung deinen CAS zur Hilfe: Speichere dort den Funktionsterm $f(x)=5 \cdot (x+1) \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{3} \cdot x}$ ab.

Wähle dann unter

Interactive Calculation diff

den Befehl zum Bestimmen der 1. Ableitung von $f(x)$ aus. Den Befehl zum Bestimmen einer Nullstelle findest du unter:

Interaction Advanced solve

Code-Darstellung zur Definition und Ableitung einer Funktion sowie zur Lösung einer Gleichung.

Der CAS liefert dir im vorgegebenen Intervall $[0; 12]$ die potentielle Extremstelle $x_H=2$ .

2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

Bestimme mit Hilfe deines CAS die 2. Ableitung von $f(x)$ . Setze dort die potentielle Extremstelle $x_H=2$ ein:

Mathematische Gleichung zur Definition einer zweiten Ableitung.

Mathematische Berechnung mit Funktionen und Näherungswert.

Der maximale Innendurchmesser beträgt ca. $15,4\text{ cm}$ .

$\blacktriangleright$ Minimalen Innendurchmesser berechnen

Mathematische Berechnungen und Approximationen in einer Software-Oberfläche.

Es gilt:

$5\gt 1,19 \approx 65 \cdot \mathrm e^{-4}=f(12)$ .

$f$ nimmt sein Minimum im Intervall $[0;12]$ an der Stelle $x_2=12$ an und der minimale Innendurchmesser beträgt $2 \cdot f(12) = 130 \cdot \mathrm e^{-4} \text{ cm} \approx 2,38 \text{ cm}$ .

$\blacktriangleright$ Fassungsvermögen der Karaffe bestimmen

Volumen bei Rotation um die $x$ -Achse: $V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} (f(x))^2\mathrm dx$

Das Intervall $[0;12]$ liefert dir die Integrationsgrenzen. Wähle in deinem CAS unter

Interactive Calculation

den Befehl zum Berechnen des Integrals. Durch Einsetzen der Integrationsgrenzen $x_1=0$ und $x_2=12$ und $\left(f(x)\right)^2$ erhältst du:

Mathematische Gleichung mit Integral, Pi und Näherungswert.

Damit beträgt das Fassungsvermögen der Karaffe etwa $993 \text{ cm}^3 = 0,993 \text{ Liter}$ .

$\blacktriangleright$ Höhe des Eichstrichs bestimmen

Interactive Calculation

den Term zur Berechnung des Volumens $\pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{b} \left(f(x)\right)^2 \;\mathrm dx$ in Abhängigkeit von $b$ . Ersetze in dem berechneten Term die Variable $b$ durch $x$ . Diesen Term setzt du gleich $700$ und löst ihn mit folgendem Befehl auf:

Interaction Advanced solve

Du erhältst:

Mathematische Gleichung mit Integralen und Lösungen, die Variablen und Konstanten enthält.

Der Eichstrich wird in der Höhe von ca $4,5 \text{ cm}$ über dem inneren Glasboden angebracht.

$\blacktriangleright$ Stelle der betragsmäßig größten Steigung des Graphen von $\boldsymbol{f}$ ermitteln

Eine Wendestelle einer Funktion ist durch die notwendige und hinreichende Bedingung für eine Wendestelle bestimmt.

Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle besagt, dass die zweite Ableitung der Funktion an der Wendestelle gleich Null sein muss. Also benötigtst du die zweite Ableitung von $f$ .

Mit der hinreichenden Bedingung überprüfst du, ob es sich um die Stelle der größten Steigung handelt. Setze dafür die potenziellen Wendestellen in die Funktionsgleichung der dritten Ableitung von $f$ ein und überprüfe das Vorzeichen.

1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

Mit dem Befehl

Interactive Calculation diff

Mathematische Gleichungen zur Definition und Lösung einer zweiten Ableitung.

Eine mögliche Wendestelle liegt bei $x_W=5$ .

2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

Berechne die 3. Ableitung mit Hilfe des CAS und setze $x_W=5$ ein, um die hinreichende Bedingung zu überprüfen:

Mathematische Darstellung einer Ableitung und deren Approximierung.

Da $f‘‘‘(5) \approx 0,1 \neq 0$ , besitzt der Graph von $f$ an der Stelle $x_W=5$ eine Wendestelle.

3. Schritt: Potentielle Stellen überprüfen

Mathematische Berechnungen und Ableitungen in einem Software-Interface.

Die Steigung ist an der Stelle $x_1=0$ betragsmäßig am größten.

b) $\blacktriangleright$ Inhalt der Berührfläche von Karaffe und Tisch bestimmen

$A= \pi \cdot r^2$

Mathematische Gleichungen und Funktionen in einer Software-Oberfläche. Ergebnisse und Berechnungen werden angezeigt.

Somit hat die Berührfläche von Karaffe und Tisch einen Flächeninhalt von ca. $33,16 \text{ cm}^2$ .

$\blacktriangleright$ Gesuchten Winkel berechnen

Hier ist der Winkel zwischen Außenrandkurve, die durch den Graphen der Funktion $g$ dargestellt wird, und der Tischoberfläche, die durch die Gerade $x=-0,5$ dargestellt wird, gesucht.

Berechne dazu die Steigung an der Stelle $x_r=-0,5$ durch Einsetzen in die 1. Ableitung von $g$ .

Nutze aus, dass der Tangens des Winkels zwischen einer Geraden und der $x$ -Achse genau der Steigung der Geraden entspricht: $g‘(x_r)=\tan(\alpha)$ .
Damit kannst du den Winkel $\alpha$ zwischen Funktionsgraphen und $x$ -Achse berechnen.

Der gesuchte Winkel $\boldsymbol{\color{#87c800}{\beta}}$ zwischen Funktionsgraphen und der Geraden $x=-0,5$ ergibt sich aus der Gleichung $\beta + \alpha=90^{\circ}$ , da $\alpha$ und $\beta$ zusammen den Winkel zwischen $x$ - und $y$ -Achse, der $90^{\circ}$ beträgt, ergeben. Sowohl $\alpha$ als auch $\beta$ sind größer oder gleich $0^{\circ}$ und kleiner oder gleich $90^{\circ}$ .

1. und 2. Schritt: Steigung berechnen und Hilfswinkel $\boldsymbol{\alpha}$ ermitteln

Berechne mit

Interactive Calculation diff

die 1. Ableitung von $g$ und setze dort $x_r=-0,5$ ein. Setze $g‘(-0,5)=\tan(\alpha)$ und löse mit

Interaction Advanced solve

nach $\alpha \in [0;90]$ auf.

Mathematische Berechnungen mit Ableitungen und Gleichungen in einem Programm.

Für den Hilfswinkel $\alpha$ gilt: $\alpha \approx 79,54^{\circ}$ .

3. Schritt: Gesuchten Winkel $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

Nutze die Beziehung zwischen $\alpha$ und $\beta$ . Umformen von $\beta + \alpha=90^{\circ}$ ergibt $\beta=90^{\circ}-\alpha$ . Setze hier $\alpha \approx 79,54^{\circ}$ ein:

$\beta=90^{\circ}-\alpha=90^{\circ}-79,54^{\circ} = 10,46^{\circ}$

Der Winkel, den die Außenrandkurve mit der Tischoberfläche einschließt, beträgt etwa $10,46^{\circ}$ .

$\blacktriangleright$ Masse der Glaskaraffe berechnen

Volumen bei Rotation um die $x$ -Achse: $V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} (f(x))^2\mathrm dx$

Das Volumen des Glasrandes kannst du mit der Information aus der Aufgabenstellung in die Masse der Glaskaraffe umrechnen.

Den Funktionsterm von $g(x)$ hast du bereits in deinem CAS gespeichert. Speichere noch den Funktionsterm von $f$ . Nutze

Interactive Calculation

Mathematische Gleichungen und Berechnungen auf einem Computerbildschirm.

Die Masse der Glaskaraffe erhältst du, indem du das Volumen mit $2,5$ multiplizierst:

$240,26 \cdot 2,5 \approx 600,65$

Die Glaskaraffe wiegt etwa $601 \text{ g}$ .

c) $\blacktriangleright$ $\boldsymbol{h_{6;0,4}}$ und $\boldsymbol{h_{4;0,6}}$ skizzieren

$\lim \limits_{x\rightarrow \infty}\left(6\cdot (x+1) \cdot e^{-0,4\cdot x}\right) = 0$ ,

$\lim \limits_{x\rightarrow \infty} \left(4\cdot (x+1) \cdot e^{-0,6\cdot x}\right) = 0$ .

Definiere zunächst die beiden Funktionen sowie deren Ableitungen in deinem CAS.

Mathematische Ausdrücke zur Definition von Funktionen und deren Ableitungen in einer Software.

Damit kannst du Extrempunkte

Mathematische Gleichungen und Funktionen werden in einem Code-Format angezeigt.

und Wendepunkte

Mathematische Berechnungen und Lösungen, dargestellt in einem Programmier- oder Software-Interface.

sowie $y$ -Achsenabschnitte der Funktionen bestimmen:

Grafische Darstellung mit Text und Zahlen in einer einfachen Tabelle.

Der Graph der Funktion $h_{6;0,4}$ hat einen Hochpunkt $H_1(1,5 \mid 8,23)$ , einen Wendepunkt $W_1(4 \mid 6,06)$ und den $y$ -Achsenabschnitt $6$ .

Der Graph der Funktion $h_{4;0,6}$ hat einen Hochpunkt $H_1(\frac{2}{3} \mid 4,47)$ , einen Wendepunkt $W_1(\frac{7}{3} \mid 3,29)$ und den $y$ -Achsenabschnitt $4$ .

Mit Hilfe dieser Punkte kannst du die beiden Graphen skizzieren:

$\blacktriangleright$ Parameterwerte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ berechnen

Gesucht sind $a$ und $b$ , sodass Maximal- und Wendestelle von $h_{a;b}$ genau $5 \text{ cm}^2$ auseinander liegen und der maximale Innendurchmesser der Karaffe $14 \text{ cm}^2$ beträgt.

1. Schritt: Parameter $\boldsymbol{b}$ bestimmen

Mit dem diff- sowie solve-Befehl liefert dir dein CAS die Nullstellen:

Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einer Software-Umgebung dargestellt.

Eine Maximalstelle von $h_{a;b}$ besitzt die Form $\frac{1}{b}-1$ .

Mathematische Gleichungen zur Definition und Lösung einer Funktion.

Da $b \gt 0$ in der Aufgabenstellung gefordert ist, besitzt eine Wendestelle von $h_{a;b}$ die Form $\frac{2}{b}-1$ .

Ersetze $b$ durch $x$ und setze die Differenz einer Maximal- und einer Wendestelle gleich $5$ . Löse mit dem solve-Befehl nach $x$ auf:

Mathematische Gleichung zur Lösung einer Variable x mit Ergebnis.

Der CAS liefert dir, dass $x=\dfrac{1}{5}$ ist und $h_{a;b}$ an der Stelle $x_H=\dfrac{1}{\left(\frac{1}{5}\right)}-1=4$ eine potentielle Maximalstelle besitzt und an der Stelle $x_W=\dfrac{2}{\left(\frac{1}{5}\right)}-1=9$ eine potentielle Wendestelle.

2. Schritt: Parameter $\boldsymbol{a}$ bestimmen

Der maximale Innendurchmesser soll $14 \text{ cm}^2$ betragen. Da der Durchmesser an einer Stelle durch zweimal den Funktionswert an dieser Stelle gegeben ist, kannst du dazu $h_{a;\frac{1}{5}}(x_H)$ gleich $\frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ setzen und mit dem solve-Befehl nach $a$ auflösen. Definiere dir dazu im CAS die Funktion $h4(x)$ , wobei der $x$ für den Parameter $a$ steht und $4$ die betrachtete Stelle angibt:

Mathematische Gleichung mit Definition einer Funktion und Lösung für x.

Die gesuchten Parameterwerte lauten $b=\dfrac{1}{5}$ und $a=\dfrac{7}{5}\cdot \mathrm e^{\frac{4}{5}} \approx 3,12$ .

d) $\blacktriangleright$ Gesuchtes $\boldsymbol{x}$ bestimmen

1. Schritt: $\boldsymbol{d(x)}$ bestimmen

Da $d(x)$ die Hypothenuse des in der Skizze eingezeichneten Dreiecks ist, ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras:

$d(x)=\sqrt{\; ||\overrightarrow{OP}-\begin{pmatrix}0\\g(x)\end{pmatrix}||+ ||\overrightarrow{OS}-\begin{pmatrix}0\\g(x)\end{pmatrix}}||$

Einsetzen der Koordinaten der Punkte $S\left(0 \mid 5\right)$ und $P\left(x \mid g(x) \right)$ ergibt:

$d(x)=\sqrt{\left(x-0\right)^2 + \left(g(x)-5\right)^2}=\sqrt{x^2+ \left(g(x)-5\right)^2}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen

Speichere $d(x)$ in deinem CAS und leite den Funktionsterm mit

Interactive Calculation diff

ab. Mit Hilfe des Befehls

Interaction Advanced solve

bestimmst du die Nullstellen der 1. Ableitung $d‘(x)$ und überprüfst somit das notwendige Kriterium.

Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einem Programmier- oder Mathematiktool.

Dein CAS liefert dir, dass $x_M\approx -0,12$ eine potentielle Extremstelle ist.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen

Ermittle die 2. Ableitung von $d(x)$ und bestimme die Nullstellen von $d‘‘(x)$ , um die hinreichende Bedingung zu überprüfen:

Mathematische Definition und Berechnung einer Funktion in einem Programm.

Da $d‘‘(x_M)\approx 137,97\gt 0$ ist, besitzt $d(x)$ an der Stelle $x_M=-0,12$ ein lokales Minimum. Dies ist auch das globale Minimum, da es keine weiteren Extremstellen gibt.

Der Abstand wird für $x_M=-0,12$ minimal.