Analytische Geometrie 2

An einem Balkon wird ein Solarmodul montiert. In einem geeigneten Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$ -Ebene den Erdboden. Das Viereck $ABCD$ mit den Eckpunkten $A(1 \mid 0 \mid 4), B(3 \mid 0 \mid 4),$ $C(3 \mid 0,5 \mid 2,8)$ und $D(1 \mid 0,5 \mid 2,8)$ liegt in einer Ebene $E$ und beschreibt die Moduloberseite. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

a1)

Weise nach, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist.

(3 BE)

a2)

Berechne den Flächeninhalt der Moduloberseite und die Länge einer Diagonalen.

(4 BE)

a3)

Bestimme eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform.
[zur Kontrolle: $12x_2 + 5x_3 = 20$ ]

(3 BE)

a4)

Jede Gerade, die in der Ebene $E$ liegt und durch das Innere des Rechtecks $ABCD$ verläuft, teilt das Rechteck in genau zwei Vielecke: ein $m$ -Eck und ein $n$ -Eck.

Gib alle möglichen Paare $(m, n)$ mit $m \leq n$ an.

Skizziere für jedes dieser Paare beispielhaft eine Gerade in die folgende Abbildung.

(4 BE)

Der Punkt $S(-2 \mid 4,25 \mid 5,4)$ stellt die Spitze eines Fahnenmastes in der Nähe des Balkons dar. Zu einem bestimmten Zeitpunkt verlaufen die Sonnenstrahlen in eine Richtung, die durch den Vektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{2\\-2\\-1}$ beschrieben wird. Die Spitze des Fahnenmastes erzeugt dabei auf der Moduloberseite einen Schattenpunkt, der im Modell durch den Punkt $F$ dargestellt wird.

b1)

Berechne die Koordinaten von $F.$

(4 BE)

b2)

Berechne die Größe des Schnittwinkels der Gerade durch die Punkte $S$ und $F$ mit der Ebene $E.$

(3 BE)

b3)

Nun wird die Richtung der Sonnenstrahlen allgemeiner durch den Vektor $\overrightarrow{v_k} = \pmatrix{2 \\ -(1+k) \\ -k^2}$ mit $k \gt 0$ beschrieben.

Mit Hilfe eines Normalenvektors $\vec{n}$ der Ebene $E$ wird die Funktion $f$ mit

$f(k) = \dfrac{|\vec{v}_k \circ \vec{n}|}{|\vec{v}_k| \cdot |\vec{n}|}$ $= \dfrac{5k^2 + 12k + 12}{13 \cdot \sqrt{k^4 + k^2 + 2k + 5}}$ für $k \gt 0$

definiert. Die Funktion $f$ hat genau eine Maximalstelle $k^*.$ Es gilt $k^* \approx 1,64.$

Berechne $\alpha$ mit $\sin(\alpha) = f(k^*)$ und $0^\circ\lt \alpha \lt 90^\circ.$ Erläutere die Bedeutung von $\alpha$ im Sachzusammenhang.

(4 BE)

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a1)

$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{ 3 - 1 \\ 0 - 0 \\ 4 - 4 } = \pmatrix{ 2 \\ 0 \\ 0 }$

$\overrightarrow{DC} = \pmatrix{ 3 - 1 \\ 0{,}5 - 0{,}5 \\ 2{,}8 - 2{,}8 } = \pmatrix{ 2 \\ 0 \\ 0 }$

Es gilt also $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.$ Weiter gilt:

$\overrightarrow{BC} = \pmatrix{ 3 - 3 \\ 0{,}5 - 0 \\ 2{,}8 - 4 } = \pmatrix{ 0 \\ 0{,}5 \\ -1{,}2 }$

$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC} = 2 \cdot 0 + 0 \cdot 0,5 + 0 \cdot (-1,2) = 0$

Das Viereck $ABCD$ hat also zwei gleich lange gegenüberliegende Seiten und einen rechten Winkel. Somit handelt es sich um ein Rechteck.

a2)

Flächeninhalt berechnen

$\left|\overrightarrow{AB}\right| \cdot \left|\overrightarrow{BC}\right| = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{0,5^2 + (-1,2)^2}$ $= 2,6$

Der Flächeninhalt der Moduloberseite beträgt damit $2,6 \; \text{m}^2 .$

Länge einer Diagonalen berechnen

$\overrightarrow{AC}=\pmatrix{3-1\\0,5-0\\2,8-4}=\pmatrix{2\\0,5\\-1,2}$

Für die Länge der Diagonale $\overrightarrow{AC}$ gilt:

$\left|\overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{2^2 + 0,5^2 + (-1,2)^2} \approx 2,39$

Die Diagonale ist somit ca. $2,39 \; \text{m}$ lang.

a3)

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}&=&\pmatrix{2\\0\\0} \times \pmatrix{0\\0,5\\-1,2} \\[5pt] &=&\pmatrix{0 \cdot (-1,2) - 0 \cdot 0,5\\0 \cdot 0 - 2 \cdot (-1,2)\\2 \cdot 0,5 - 0 \cdot 0} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\2,4\\1} \end{array}$

Folglich ist

$\overrightarrow{n} = 5 \cdot \pmatrix{0\\2{,}4\\1} = \pmatrix{0\\12\\5}$

ein Normalenvektor der Ebene $E.$ Diese ist also von der Form $12x_2+5x_3=d.$

Einsetzen der Koordinaten des Punktes $A$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 12 \cdot 0 + 5 \cdot 4&=&d \\[5pt] 20&=&d \end{array}$

Insgesamt ergibt sich somit $12x_2 + 5x_3 = 20$ als Koordinatengleichung von $E.$

a4)

Es treten folgende Paare $(m, n)$ auf: $(3,3),(3,4),(3,5)$ und $(4,4).$

b1)

Die Gerade $g$ verläuft durch den Punkt $S(-2 \mid 4,25 \mid 5,4)$ in Richtung des Vektors $\overrightarrow{v} = \pmatrix{2\\-2\\-1}$ und wird somit durch folgende Gleichung beschrieben:

$g : \overrightarrow{x} = \pmatrix{-2\\4,25\\5,4} + t \cdot \pmatrix{2\\-2\\-1}$

Um den Schnittpunkt von $g$ mit der Ebene $E$ der Moduloberseite zu finden, werden die allgemeinen Koordinaten eines Punktes auf der Geraden $g$ in die Koordinatengleichung von $E$ eingesetzt:

Rechenweg anzeigen

$t=2$

Es folgt:

$\overrightarrow{OF} = \pmatrix{-2\\4,25\\5,4} + 2 \cdot \pmatrix{2\\-2\\-1} = \pmatrix{2\\0,25\\3,4}$

Der Punkt $F$ hat somit die Koordinaten $F(2\mid 0,25\mid 3,4).$

b2)

Der Schnittwinkel $\alpha$ der Geraden $g$ und der Ebene $E$ wird durch den Winkel zwischen dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v} = \pmatrix{2\\-2\\-1}$ der Geraden und dem Normalenvektor $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\12\\5}$ der Ebene bestimmt.

Der Schnittwinkel lässt sich wie folgt berechnen:

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 48^\circ$

b3)

Rechenweg anzeigen

$f(1,64)\approx 0,814$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=& f(k^*) \\[5pt] \sin(\alpha)&=& f(1,64) \\[5pt] \sin(\alpha)&\approx& 0,814 \quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 54,5^\circ \end{array}$

Im Sachzusammenhang ist $\alpha$ die Größe des maximalen Winkels, unter dem die Sonnenstrahlen auf die Moduloberseite treffen.

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