Stochastik

Aufgabe 4: Stochastik

Ein Großhändler bietet Samenkörner für Salatgurken in zwei Qualitätsstufen an. Ein Samenkorn der höheren Qualitätsstufe A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\,\%,$ eines der Qualitätsstufe B mit einer Wahrscheinlichkeit von $70\,\%.$
Ein Gemüseanbaubetrieb kauft Samenkörner beider Qualitätsstufen, davon $65\,\%$ der Qualitätsstufe A.

a1)

Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

$\,$

a2)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem zufällig ausgewählten keimenden Samenkorn um ein Samenkorn der Qualitätsstufe B handelt.

$\,$

Der Anbaubetrieb sät $200$ Samenkörner der Qualitätsstufe $B$ .

a3)

Bestimme für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
$E$ : „Von den gesäten Samenkörnern keimen genau $140$ .“
$F$ : „Von den gesäten Samenkörnern keimen mehr als $130$ und weniger als $150$ .“

$\,$

a4)

Beschreibe die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang:

Term anzeigen

(14 P)

Keimt ein Samenkorn, so wächst daraus eine Gurkenpflanze heran. Pro Pflanze der Qualitätsstufe $B$ kann im Mittel die gleiche Anzahl von Gurken geerntet werden wie bei Pflanzen der Qualitätsstufe $A$ . Es besteht das Risiko, dass ein Samenkorn zwar keimt, durch Wettereinflüsse oder Schädlinge aber keine erntereife Pflanze heranwächst. Dieses Risiko beträgt für alle gekeimten Samenkörner der Qualitätsstufe A $15\,\%$ und für alle gekeimten Samenkörner der Qualitätsstufe B $25\,\%.$
Der Preis pro Samenkorn beträgt für die Qualitätsstufe A $17$ Cent und für die Qualitätsstufe B $12$ Cent. Der Anbaubetrieb verkauft alle geernteten Gurken zum gleichen Preis.
Prüfe, ob es für den Anbaubetrieb finanziell sinnvoll wäre, sich auf Samenkörner der Qualitätsstufe B zu beschränken, indem du die Samenkosten pro erntereifer Gurkenpflanze bestimmst.

(6 P)

Der Großhändler behauptet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualitätsstufe B durch eine Weiterentwicklung auf mehr als $70\,\%$ erhöht habe. Dazu werden nach der Weiterentwicklung $100$ Samenkörner der Qualitätsstufe B zufällig ausgewählt und gesät.

c1)

Ermittle die Entscheidungsregel für einen Hypothesentest, der das Ziel hat, die Behauptung des Großhändlers auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ zu stützen.

$\,$

c2)

Bestimme für den oben konzipierten Test die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art unter der Voraussetzung, dass die Keimwahrscheinlichkeit auf $80\,\%$ gestiegen ist.

(12 P)

Von einer dritten Qualitätsstufe $C$ werden $50$ Samenkörner gesät. Von diesen keimen $27.$ Aus diesem Stichprobenergebnis soll nun die Keimwahrscheinlichkeit eines Samenkorns der Qualitätsstufe $C$ abgeschätzt werden.

d1)

Prüfe, ob eine Keimwahrscheinlichkeit von $60\,\%$ $(p=0,6)$ mit dem Stichprobenergebnis $27$ auf dem Signifikanzniveau von $5\,\%$ verträglich ist. Das ist genau dann der Fall, wenn das Stichprobenergebnis im $95\,\%$ -Annahmebereich der Hypothese $H: p=0,6$ liegt.

$\,$

d2)

Bestimme zu dem Stichprobenergebnis die obere Grenze des zugehörigen $95\,\%$ -Konfidenzintervalls für die Keimwahrscheinlichkeit auf $3$ Dezimalen genau.

a1)

$\blacktriangleright$ Sachverhalt im Baumdiagramm darstellen

Wir bezeichnen das Ereignis, dass ein Samenkorn keimt, mit $K$ , dass es nicht keimt mit $\overline{K}.$

Diagramm mit Wahrscheinlichkeiten und Entscheidungsbaum für die Optionen A und B.

Abb. 1: Baumdiagramm

a2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Mit dem Satz von Bayes und dem Baumdiagramm ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_K(B)$ wie folgt:

$P_K(B) \approx 28,41\,\%$

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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes keimendes Samenkorn von der Qualität B ist, beträgt ca. $28,41\,\%.$

a3)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X$ , die die zufällige Anzahl der keimenden Samenkörner in einer Stichprobe von $200$ Samenkörnern der Qualität B beschreibt.
Die Samenkörner keimen unabhängig voneinander, die Wahrscheinlichkeit, ob es keimt oder nicht, ist also bei jedem Samenkorn gleich. Zudem werden nur die beiden Möglichkeiten „keimt“ oder „keimt nicht“ betrachtet.
$X$ kann also als binomialverteilt angenommen werden, mit den Parametern $n=200$ und $p= P_B(K)= 0,7.$

Bei $E$ ist die Wahrscheinlichkeit $P(X = 140)$ gesucht. Diese lässt sich wie folgt umschreiben:

$\begin{array}[t]{rll} & P(X=140)\\[5pt] =&P(X\leq 140)- P(X \leq 139) \end{array}$

Die beiden Wahrscheinlichkeiten ergeben sich nun mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung für $n=200$ und $p=0,7:$

$P(E)\approx 6,15\,\%$

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Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $E,$ also dafür, dass genau $140$ Samenkörner keimen, beträgt ca. $6,15\,\%.$

Für $F$ folgt ebenfalls mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung:

$P(F)\approx 85,77\,\%$

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Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $F,$ also dafür, dass von den $200$ Samenkörnern mehr als $130$ und weniger als $150$ keimen, beträgt ca. $85,77\,\%.$

a4)

$\blacktriangleright$ Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang beschreiben

Mit der binomialverteilten Zufallsgröße $X$ aus Aufgabenteil c) und der Formel für die summierte Binomialverteilung folgt:

$...= P(120 \lt X \lt 160)$

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Der Term beschreibt daher die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $200$ gesäten Samenkörnern der Qualitätsstufe B mehr als $120$ und weniger als $160$ keimen.

$\blacktriangleright$ Entscheidung durch Rechnung treffen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\,\%$ keimt ein Samenkorn der Qualitätsstufe A, aus einem solchen gekeimten Samenkorn entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von $85\,\%$ eine fruchttragende Pflanze.
Bezeichne das Ereignis, dass eine fruchttragende Pflanze entsteht mit $F$ .

$\begin{array}[t]{rll} & P_A(F)\\[5pt] =& P_A(K)\cdot P_{A\cap K}(F) \\[5pt] =& 0,95\cdot 0,85 \\[5pt] =& 0,8075\\[5pt] =& 80,75\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $80,75\,\%$ entsteht aus einem Samenkorn der Qualitätsstufe A eine fruchttragende Pflanze. Pro Samenkorn müssen $17$ Cent gezahlt werden. Somit folgen für die Samenkosten $K(A)$ pro erntereifer Gurkenpflanze für die Qualitätsstufe $A$ :

$\begin{array}[t]{rll} K(A)&=& \dfrac{0,17}{0,8075}\\[5pt] &\approx& 0,21 \end{array}$

Für Samenkörner der Qualitätsstufe $B$ folgt entsprechend:

$\begin{array}[t]{rll} &P_B(F)\\[5pt] =& P_B(K)\cdot P_{B\cap K}(F) \\[5pt] =& 0,7\cdot 0,75 \\[5pt] =& 0,525 \\[5pt] =& 52,5\,\% \end{array}$

Somit folgen für die Samenkosten $K(B)$ pro erntereifer Gurkenpflanze für die Qualitätsstufe $B$ :

$\begin{array}[t]{rll} K(B)&=& \dfrac{0,12}{0,525}\\[5pt] &\approx& 0,23 \end{array}$

Somit folgt, dass die Samenkosten pro erntereifer Pflanze bei der Qualitätsstufe $B$ höher sind als bei der Qualitätsstufe $A$ . Somit lohnt es sich nicht für den Betrieb sich auf Samenkörner der Qualitätsstufe $B$ zu beschränken.

c1)

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel bestimmen

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_p,$ die die Anzahl der keimenden Samenkörner in der Stichprobe von $100$ Körnern der Qualitätsstufe B beschreibt. Dann kann diese aus gleichen Gründen wie $X$ als binomialverteilt mit den Parametern $n= 100$ und $p$ angenommen werden.
Die Nullhypothese lautet:

$H_0: \; p \leq 0,7$

Das Signifikanzniveau $\alpha = 5\,\%$ gibt an, dass die Nullhypothese höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von $5\,\%$ fälschlicherweise abgelehnt werden darf.
Ist $X_p$ also entsprechend der Nullhypothese mit $p=0,7$ verteilt, soll mit dem Signifikanzniveau folgende Ungleichung gelten:

$\begin{array}[t]{rll} P(X_p \gt k )&\leq& 0,05 \\[5pt] 1- P(X_p\leq k)&\leq&0,05 \\[5pt] P(X_p\leq k)&\geq&0,95 \\[5pt] \end{array}$

Mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung für $n=100$ und $p =0,7$ ergibt sich:

Das kleinste $k,$ das diese Ungleichung erfüllt, ist $k =77.$

Die Entscheidungsregel ergibt sich also wie folgt:

Werden in der Stichprobe mehr als $77$ keimende Körner gefunden, kann die Nullhypothese abgelehnt werden und man kann davon ausgehen, dass die Weiterentwicklung tatsächlich die Wahrscheinlichkeit zum Keimen erhöht.

c2)

$\blacktriangleright$ Fehler zweiter Art

$X$ ist erneut binomialverteilt mit $p=0,8$ und $n=100$ . Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art entspricht der Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 77)$ . Mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung folgt:

$P(X\leq77) \approx 26,1$

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art etwa $26,1\,\%.$

d1)

$\blacktriangleright$ Verträglichkeit prüfen

Laut Aufgabenstellung ist die Verträglichkeit gegeben, wenn $27$ im Intervall $[\mu -1,96\sigma; \mu +1,96\sigma]$ liegt. Da $\mu$ der Erwartungswert und $\sigma$ die Standardabweichung einer $B_{50;0,6}$ -verteilten Zufallsgröße ist, können sie mit den zur Binomialverteilung gehörenden Formeln wie folgt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& 30\\[10pt] \sigma&=& \sqrt{12} \end{array}$

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Damit ergibt sich für das Intervall:

$\left[23; 36\right]$

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Die Anzahl der keimenden Samenkörner liegt innerhalb des angegebenen Intervalls und ist somit bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ mit der vermuteten Wahrscheinlichkeit von $60\,\%$ verträglich.

d2)

$\blacktriangleright$ Obere Grenze für Keimwahrscheinlichkeit ermitteln

Es ist die größte Wahrscheinlichkeit $p_{max}$ gesucht für die $27$ im Intervall $[\mu -1,96\sigma; \mu +1,96\sigma]$ liegt.

Aufgrund von Rundung ergibt sich somit für die untere Intervallgrenze die Gleichung $\mu -1,96\sigma \approx 26,5$ .

Somit folgt für die maximale Keimwahrscheinlichkeit die folgende Gleichung:

$\left(\frac{4802}{25}+2.650\right) \cdot p +\dotsc$

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Mit dem Taschenrechner folgen somit die Lösungen $p_1 \approx 0,3945$ und $p_2 \approx 0,6612$ . Da aus der vorherigen Teilaufgabe klar wird, dass $p\gt 0,6$ sein muss, folgt $p_{max} \approx 0,6612$ .

Damit liegt die obere Grenze für die Keimwahrscheinlichkeit etwa bei $66,12\,\%$ .

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