Analysis 2

Während eines Sommertages werden von 4:00 Uhr morgens bis 18:00 Uhr abends Wetterdaten von einer Messstation aufgenommen.

Eine Messgröße ist die Temperatur der Luft. Die Funktion $s$ mit

$s(t) = -0,03t^3 + 0,95t^2 - 8t + 33$ und $4 \leq t \leq 18$

beschreibt diese Messergebnisse. Dabei gibt $t$ die vergangene Zeit seit 0:00 Uhr in Stunden $(\text{h})$ an und $s(t)$ die Temperatur in Grad Celsius $(^\circ\text{C}).$

Der Graph von $s$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1

a1)

Bestimme rechnerisch die maximale und die minimale Temperatur im Messzeitraum.

(5 BE)

a2)

Außer der maximalen und der minimalen Temperatur gibt es weitere Temperaturen, die bei dieser Messung nur einmal auftreten.

Ermittle näherungsweise anhand der Abbildung 1 diese Temperaturen und die entsprechenden Uhrzeiten. Zeichne dazu geeignete Hilfslinien ein.

(4 BE)

a3)

Berechne sowohl die größte als auch die kleinste momentane Änderungsrate der Temperatur im Messzeitraum.

(5 BE)

a4)

Berechne den Wert des Terms $\frac{1}{18-4} \displaystyle\int_{4}^{18} s(t) \, \mathrm{d}t$ und gib die Bedeutung dieses Terms im Sachzusammenhang an.

(3 BE)

Luft enthält Wasser im gasförmigen Zustand. Die maximale Masse an Wasser, die in Luft enthalten sein kann, ist abhängig von der Temperatur.

Die Funktion $f$ mit

$f(x) = 4,8 \cdot \mathrm e^{0,062\cdot x}$

beschreibt diesen Zusammenhang. Dabei ist $x$ die Temperatur in Grad Celsius. $f(x)$ gibt in der Einheit Gramm $(\text{g})$ die maximale Masse an Wasser an, die ein Kubikmeter Luft enthalten kann. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f.$

Abbildung 2

b1)

Berechne $f(10)$ sowie die Stelle $x$ mit $f(x) = 20.$

(2 BE)

b2)

Beurteile die folgende Aussage:

Es gibt eine Stelle $x,$ an der der Funktionswert von $f$ und die Steigung des Graphen von $f$ gleich groß sind.

(5 BE)

b3)

Die Funktion $f$ wächst streng monoton. Interpretiere diese Tatsache im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Die Messstation ermittelt auch die sogenannte relative Luftfeuchtigkeit, die als Prozentsatz $p\,\%$ angegeben wird. Die relative Luftfeuchtigkeit ist der Anteil der Masse an Wasser in der Luft bezogen auf die maximale Masse an Wasser, die in Luft enthalten sein kann.

c1)

Für jeden Wert $p$ mit $0 \leq p \leq 100$ beschreibt die Funktion $f_p$ mit $f_p(x) = \frac{p}{100} \cdot f(x)$ den Zusammenhang zwischen der Temperatur und der Masse an Wasser in der Luft bei einer vorliegenden relativen Luftfeuchtigkeit von $p\,\%.$

Zeichne den Graphen der Funktion $f_{50}$ in die Abbildung 2.

(3 BE)

c2)

Am Tag der Messung liegt um 15 Uhr eine relative Luftfeuchtigkeit von $60\,\%$ vor.

Bestimme, welche relative Luftfeuchtigkeit um 18 Uhr vorliegt, falls die Masse an Wasser in der Luft unverändert bleibt.

(5 BE)

Die Messwerte der Temperatur der Luft im Verlauf des nächsten Tages werden mit Hilfe einer ganzrationalen Funktion $\tilde{s}$ dritten Grades in Abhängigkeit von $t$ beschrieben. Dabei gibt $t$ wieder die Zeit in Stunden seit 0:00 Uhr an und $\tilde{s}(t)$ die Temperatur in Grad Celsius.

Bei der Auswertung der Wetterdaten wird die Verkettung $v$ der Funktionen $f$ und $\tilde{s}$ mit dem Funktionsterm $v(t) = f(\tilde{s}(t))$ betrachtet.

d1)

Gib die Bedeutung des Werts $v(12)$ im Sachzusammenhang an.

(2 BE)

d2)

Im Folgenden werden die Funktionen $f, \tilde{s}$ und $v$ auf ganz $\mathbb{R}$ betrachtet. Für den Term $\(v$ der ersten Ableitungsfunktion von $v$ gilt die Gleichung

$\(v$

Weiterhin gilt $\(f$ für alle $x \in \mathbb{R}.$

Begründe damit die folgende Aussage:

Wenn $t_m$ eine lokale Maximalstelle von $\tilde{s}$ ist, dann ist $t_m$ auch eine lokale Maximalstelle von $v.$

(4 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

a1)

$\(s$

Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} -0,09 t^2 + 1,9 t - 8 &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; :(-0,09) \\[5pt] t^2 - 21,11 t + 88,89 &=& 0 \end{array}$

Mit der pq-Formel folgt:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} t_1&\approx&5,81 \\[5pt] t_2&\approx&15,30 \end{array}$

Anhand des dargestellten Graphen von $s$ ist ersichtlich, dass dies die globalen Extremstellen sind. Die Funktion $s(t)$ wird an diesen Stellen ausgewertet, um die Temperaturen zu bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} s(t_1) &\approx& 12,70 \\[8pt] s(t_2) &\approx& 25,54 \end{array}$

Daher beträgt die maximale gemessene Temperatur ca. $25,5^\circ\text{C}$ und die minimale ca. $12,7^\circ\text{C}$ .

a2)

Die Temperaturen zwischen ca. $14^{\circ} \mathrm{C}$ und $22^{\circ} \mathrm{C}$ treten nur einmal auf, und zwar zwischen etwa 8 Uhr und 12 Uhr.

a3)

$\(s$

Notwendiges Kriterium für Wendestellen anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} -0,18t + 1,9 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +0,18t \\[5pt] 1,9 &=& 0,18t &\quad \scriptsize \mid\; :0,18 \\[5pt] \dfrac{1,9}{0,18} &=& t \\[5pt] 10,56 &\approx& t \end{array}$

Die momentane Änderungsrate der Temperatur an den Endpunkten und bei $t = 10,56$ wird durch die erste Ableitung $\(s$ bestimmt:

$\(s$

Somit ist die größte momentane Änderungsrate der Temperatur etwa $2,03\,^\circ\text{C}$ pro Stunde und die kleinste etwa $-2,96\,^\circ\text{C}$ pro Stunde.

a4)

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{1}{18-4} \cdot \displaystyle \int_4^{18} s(t) \; \mathrm dt \approx 19,36$

Der Term beschreibt den Mittelwert der von 4 Uhr bis 18 Uhr gemessenen Temperaturen in $^\circ\text{C}.$

b1)

Zuerst wird der Wert der Funktion $f$ an der Stelle $x = 10$ berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} f(10) &=& 4,8 \cdot \mathrm e^{0,062 \cdot 10} \\ &=& 4,8 \cdot \mathrm e^{0,62} \\ &\approx& 8,92 \end{array}$

Nun wird die Stelle $x$ bestimmt, an der $f(x) = 20$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 4,8 \cdot \mathrm e^{0,062 \cdot x} &=& 20 &\quad \scriptsize \mid\; :4,8 \\ \mathrm e^{0,062 \cdot x} &=& \dfrac{20}{4,8} &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\ 0,062x &=& \ln\left(\dfrac{20}{4,8}\right) &\quad \scriptsize \mid \;:0,062 \\ x &\approx& 23,02 \end{array}$

Somit ist $f(10) \approx 8,92$ und die Stelle, bei der $f(x) = 20$ ist, liegt bei $x \approx 23,02$ .

b2)

An einer solchen Stelle $x$ würde $\(f$ gelten. Für die Ableitung von $f$ gilt:

$\(f$

Da stets $\mathrm{e}^{0,062 \cdot x} \neq 0$ gilt, folgt:

Rechenweg anzeigen

$0,062 = 1$

Da dies ein Widerspruch ist, gibt es keine solche Stelle $x,$ die Aussage ist also falsch.

b3)

Je höher die Temperatur ist, desto mehr Wasser kann die Luft maximal enthalten.

c1)

c2)

Wegen $s(15)=25,5$ beträgt die Temperatur um 15 Uhr $25,5^{\circ} \mathrm{C}.$

Da $60 \% \cdot f(25,5) \approx 14,00$ ist, liegen ca. $14 \;\text{g}$ Wasser in einem Kubikmeter Luft vor.

Wegen $s(18)=21,84$ beträgt die Temperatur um 18 Uhr noch $21,84^{\circ} \mathrm{C}.$

Der Anteil $p = \dfrac{14}{f(21,84)}\approx \dfrac{14}{18,67} \approx 0,75$ entspricht somit einer relativen Luftfeuchtigkeit von ca. $75 \%$ .

d1)

Der Wert beschreibt die maximale Masse an Wasser in Gramm, die ein Kubikmeter Luft um 12 Uhr am nächsten Tag enthalten kann.

d2)

Wenn $t_m$ eine lokale Maximalstelle von $\tilde{s}$ ist, wechselt $\(\tilde{s}$ an der Stelle $t_m$ das Vorzeichen von positiv zu negativ. Da laut Aufgabenstellung für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt, dass $\(f$ hat $\(v$ stets dasselbe Vorzeichen wie $\(\tilde{s}$ Somit vollzieht auch $v^{\prime}(t)$ an der Stelle $t_m$ einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?