Analysis 2

Mit ferngesteuerten Fahrzeugen, sogenannten Buggys, werden Rennen auf speziellen Fahrbahnen gefahren. Ein erster Fahrbahnabschnitt vom Startpunkt $S$ zum Punkt $P$ wird mithilfe einer Funktion $f$ modelliert. An der Stelle $x$ gibt $f(x)$ die Höhe der Fahrbahn an. Auf beiden Achsen im zugehörigen Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

Auf dem Beiblatt ist der Graph der Funktion $f$ größer dargestellt.

a1)

Gib mithilfe des Graphen die Höhe der Fahrbahn an der Stelle $x=1$ an.

(1 P)

a2)

Bestimme unter Verwendung geeigneter Hilfslinien in der Abbildung auf dem Beiblatt

die Stellen, an denen die Fahrbahnhöhe $1,6\,\text{m}$ beträgt, und
die Steigung der Fahrbahn an der Stelle $x=2.$

(5 P)

Verwende für den ersten Fahrbahnabschnitt im Folgenden

$f(x)=-0,01 x^{3}+0,21 x^{2}-1,2 x+3$ mit $x \in[0 ; 10] .$

Ein Buggy fährt von $S(0 \mid 3)$ nach $P(10 \mid 2)$ . Während der Fahrt nimmt die Höhe der Fahrbahn zunächst ab, bis sie ihren Minimalwert erreicht, und nimmt anschließend wieder zu.

b1)

Berechne die minimale Höhe der Fahrbahn.

(4 P)

b2)

Berechne die maximale Steigung, die der Buggy während der Fahrt überwindet.

(5 P)

b3)

Die Länge $l$ des Graphen der Funktion $f$ über dem Intervall $[a ; b]$ kann durch $l=\displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}\, \mathrm{d} x$ berechnet werden.

Berechne die Länge des Fahrbahnabschnitts.

(3 P)

Ein zweiter Fahrbahnabschnitt wird durch die Funktion $g$ mit

$g(x)=2 \cdot \mathrm{e}^{-0,4 \cdot(x-10)^{2}}$ und $x \in[10 ; 14]$

modelliert. An der Stelle $x$ gibt $g(x)$ die Höhe der Fahrbahn an.

c1)

Zeichne in die Abbildung auf dem Beiblatt den Graphen der Funktion $g$ unter Verwendung der dort angegebenen Wertetabelle.

(2 P)

c2)

Bestimme einen Term der ersten Ableitungsfunktion $g^{\prime}$ von $g.$

(2 P)

c3)

Der Graph von $g$ schließt im Punkt $P(10 \mid 2)$ an den Graphen von $f$ an. Untersuche, ob dieser Anschluss knickfrei ist.

(2 P)

c4)

Für jedes $a \in \mathbb{R}$ ist die Funktion $g_{a}$ mit $g_{a}(x)=2 \cdot \mathrm{e}^{-a \cdot(x-10)^{2}}$ und $x \in[10 ; 14]$ gegeben.

Weise nach, dass alle Funktionsgraphen der Schar durch den Punkt $P(10 \mid 2)$ verlaufen.
Zeige, dass $P$ der einzige Punkt ist, den je zwei verschiedene Graphen der Schar gemeinsam haben.

(5 P)

Ein Buggy fährt mit so hoher Geschwindigkeit, dass er am Übergang der beiden Fahrbahnabschnitte an der Stelle $x=10$ den Kontakt zur Fahrbahn verliert und ein Stück fliegt, bis er auf der durch $g$ modellierten Fahrbahn landet und weiterfährt.

Die Flugbahn lässt sich mithilfe einer Parabel beschreiben. Diese besitzt den Scheitelpunkt $P(10 \mid 2)$ und schneidet den Graphen von $g$ an der Stelle $x=12,3.$

d1)

Leite einen Funktionsterm der Funktion $h$ her, deren Graph diese Parabel ist.

[Kontrolle: $h(x) \approx-0,3325 x^{2}+6,65 x-31,25$ ]

(4 P)

d2)

Berechne die durchschnittliche Höhe der Flugbahn über der Fahrbahn.

(3 P)

d3)

Im Allgemeinen hängen die Weite des Fluges und die Geschwindigkeit $v$ des Buggys an der Stelle $x=10,$ an der dieser den Kontakt zur Fahrbahn verliert, voneinander ab.

Die zugehörige Flugbahn wird für $v \gt 0$ beschrieben mithilfe einer Parabel mit dem Funktionsterm

$h_{v}(x)=-\frac{5}{v^{2}}(x-10)^{2}+2 .$

Diese Parabel schneidet den Graphen von $g$ an der Stelle $x=10+k$ mit $0 \lt k\lt 4.$ Zeige, dass $v=\sqrt{\frac{5 k^{2}}{2-2 \cdot \mathrm{e}^{-0,4 k^{2}}}}$ gilt.

(4 P)

Material (Beiblatt)

Fahrbahnabschnitt vergrößert - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analysis 2)

Wertetabelle zu Teilaufgabe c1)

$x$	$g(x)$
$10$	$2,00$
$10,5$	$1,81$
$11$	$1,34$
$11,5$	$0,81$
$12$	$0,40$
$12,5$	$0,16$
$13$	$0,05$
$13,5$	$0,01$
$14$	$0,00$

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a1)

Aus der Abbildung auf dem Beiblatt lässt sich $f(1) =2$ ablesen.
An der Stelle $x=1$ ist die Fahrbahn also $2\,\text{m}$ hoch.

a2)

Stellen mit einer Fahrbahnhöhe von 1,6 m bestimmen

Skizze Fahrbahnhöhe - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analysis 2)

Steigung bestimmen

Die Steigung der Fahrbahn an der Stelle $x=2$ kann mit Hilfe der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=2$ bestimmt werden.

Tangente - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analysis 2)

An die Tangente lässt sich ein Steigungsdreieck anlegen. Die Tangente verläuft in etwa durch die Punkte $(0\mid 2,3)$ und $(4,8\mid 0).$ Für die Steigung an der Stelle $x=2$ ergibt sich daher:

$-\dfrac{2,3}{4,8} \approx -0,48$

b1)

Laut Aufgabenstellung nimmt die Höhe der Fahrbahn zunächst ab, bis sie ihren Minimalwert erreicht und nimmt dann wieder zu. Daher wird die minimale Höhe im Tiefpunkt des Graphen von $f$ angenommen.

1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extrempunkte anwenden

Für eine Extremstelle $x_E$ von $f$ muss $\(f$ erfüllt sein. Für die erste Ableitung gilt:

$\(f$

Gleichsetzen:

Rechenweg anzeigen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

$x_2=10$ liegt bereits am Ende des betrachteten Fahrbahnabschnitts und kann wegen der Beschreibung in der Aufgabenstellung daher nicht die Stelle mit der minimalen Höhe sein.

2. Schritt: Höhe berechnen

$f(4) = -0,01\cdot 4^3 +0,21 \cdot 4^2 -1,2\cdot 4+3$ $= 0,92$

Die minimale Höhe der Fahrbahn beträgt $0,92\,\text{m}.$

b2)

Die maximale Steigung entspricht dem globalen Maximum von $\(f$

1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen von $\(\boldsymbol{f$ anwenden

Für ein lokales Maximum von $f^{\prime}$ an der Stelle $x$ im Inneren des Definitionsbereichs muss wegen des notwendigen Kriteriums für Extremstellen $f^{\prime \prime}(x)=0$ gelten.

$f^{\prime \prime}(x)=-0,06 x+0,42$

Gleichsetzen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

2. Schritt: Auf Randextrema überprüfen

$f^{\prime}(7)= -0,03\cdot 7^2 +0,42\cdot 7 -1,2 = 0,27$

$f^{\prime}(0)= -0,03\cdot 0^2 +0,42\cdot 0 -1,2 = -1,2$

$f^{\prime}(10)= -0,03\cdot 10^2 +0,42\cdot 10 -1,2 = 0$

Mit dem Vorzeichenwechselkriterium ist eine hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum der 1 . Ableitung von $f$ an der Stelle $x=7$ erfüllt.
Zugleich zeigen die Werte von $f^{\prime}$ an den Rändern, dass dieses auch das globale Maximum ist.

Die maximale Steigung beträgt $0,27.$

b3)

Rechenweg anzeigen

$l\approx 10,79$

Die Fahrbahn hat eine Länge von ca. $10,79\, \mathrm{m}.$

c1)

Graph einzeichnen - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analysis 2)

c2)

Mit der Kettenregel folgt:

$\(g$ $= 2 \cdot \mathrm e^{-0,4\cdot (x-10)^2}\cdot ( -0,4\cdot 2\cdot 1\cdot (x-10))$ $= -1,6 \cdot (x-10)\cdot \mathrm e^{-0,4\cdot (x-10)^2}$

c3)

Für einen knickfreien Anschluss, müssen die Graphen von $f$ und $g$ an der Übergangsstelle $x=10$ die gleiche Steigung haben. Es muss also $\(f$ überprüft werden:

$\(f$ (siehe b2) )

$\(g$

Da $\(f$ gilt, ist der Anschluss knickfrei.

c4)

Verlauf der Graphen durch den Punkt nachweisen

$g_a(10) = 2\cdot \mathrm e^{-a\cdot (10-10)^2} = 2\cdot \mathrm e^0 =2$

Für alle $a\in \mathbb{R}$ gilt $g_a(10)=2.$ Somit verlaufen alle Graphen der Schar durch den Punkt $P(10\mid 2).$

Einzigen gemeinsamen Punkt zeigen

Betrachtet werden $a_1,a_2 \in \mathbb{R}$ mit $a_1\neq a_2$ und $a_1\neq 10$ sowie $a_2\neq 10.$ Für einen gemeinsamen Punkt $(x\mid y)$ muss $g_{a_1}(x) = g_{a_2}(x)$ erfüllt sein:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} g_{a_1}(x)&=& g_{a_2}(x) \\[5pt] & ...& \\[5pt] a_1 &=& a_2 \end{array}$

Da es also keine weiteren Schnittstellen gibt, ist $P$ der einzige Punkt, den je zwei verschiedene Graphen der Schar gemeinsam haben.

d1)

Mit der Scheitelpunktform gilt:

$h(x)= a\cdot (x-d)^2 +e$ wobei $(d\mid e)$ die Koordinaten des Scheitelpunkts sind.

Mit dem Scheitelpunkt $P(10\mid 2)$ folgt also:

$h(x)= a\cdot (x-10)^2 +2$

Die Parabel soll zudem den Graphen von $g$ an der Stelle $x=12,3$ schneiden. Also gilt:

$h(12,3) = g(12,3)$ $= 2\cdot \mathrm e^{-0,4\cdot (12,3-10)^2} = 2\cdot \mathrm e^{-2,116}$

Einsetzen in die Funktionsgleichung von $h:$

Rechenweg anzeigen

$a = \dfrac{2\cdot \mathrm e^{-2,116} -2}{5,29}\approx -0,3325$

Damit folgt:

$h(x)\approx -0,3325\cdot (x-10)^2+2$

d2)

Die Höhe der Flugbahn über der Fahrbahn wird für $x\in [10;12,3]$ durch die Differenzenfunktion $d$ beschrieben:

$d(x)= h(x) -g(x)$ $\approx -0,3325\cdot (x-10)^2+2 - 2\cdot \mathrm e^{-0,4\cdot (x-10)^2}$

Gesucht ist also der durchschnittliche Funktionswert von $d$ im Intervall $[10;12,3].$ Diesder kann mit der zugehörigen Formel und dem Taschenrechner berechnet werden:

Rechenweg anzeigen

$... \approx 0,244$

Die durchschnittliche Flughöhe über der Fahrbahn beträgt ca. $24,4\,\text{cm}.$

d3)

An der Stelle $x=10+k$ schneiden sich die Graphen von $g$ und $h_v.$ Also gilt:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} g(10+k) &=& h_v(10+k) \\[5pt] & ... & \\[5pt] v^2 &=& \dfrac{-5k^2}{2\cdot \mathrm e^{-0,4\cdot k^2}-2} \\[5pt] v^2 &=& \dfrac{5k^2}{2-2\cdot \mathrm e^{-0,4\cdot k^2}} \\[5pt] v_{1/2} &=& \pm \sqrt{\dfrac{5k^2}{2-2\cdot \mathrm e^{-0,4\cdot k^2}}} \end{array}$

Da Geschwindigkeiten nicht negativ sein können, folgt $v= \sqrt{\dfrac{5k^2}{2-2\cdot \mathrm e^{-0,4\cdot k^2}}}.$

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